Autor Tema: Axiomas de la Teoría de Conjuntos

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23 Mayo, 2009, 12:38 am
Respuesta #10

argentinator

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ZFC MK MK ;)  NBG

Gracias por los comentarios LauLuna.
En cuanto pueda voy a revisar y corregir los axiomas acorde a tus sugerencias.
Aún me falta enunciar el sistema NBG (ya ha sido agregado a la lista de sistemas axiomáticos), que aunque es muy similar al MK, conviene tenerlo enunciado en forma separada para estudiarlo por sí mismo.

Toda sugerencia en este tema será más que bienvenida, porque no soy experto en los aspectos exactos y profundos de la lógica de estos días, y toda contribución de alguien que sabe de estos temas, como es tu caso, será muy valiosa.

Espero lograr el objetivo de acercar los axiomas lógicos actuales de la teoría de conjuntos a todos los que usan/usamos la matemática sin detenernos demasiado a pensar en estos temas.
Uno muchas veces sabe razonar correctamente, uno entiende que debe diferenciar entre conjuntos y clases, y que ciertas operaciones o construcciones de conjuntos están ''prohibidas'', pero llega un momento que no se puede llegar a comprender más sin meterse en el ''lodo'' y embarrarse de verdad en el asunto.

En cuanto ''sienta'' que esto de los axiomas está más o menos bien discutido y maduro, será momento de hilar más fino y comenzar desde el principio, o sea, los lenguajes de primer orden, la formación de fórmulas, y todo lo necesario para poder ''hablar'' correctamente el lenguaje de la lógica.

Por ahora eso lo he dejado intencionadamente ''en el aire'', asumiendo que uno ''entiende'' que hay reglas para formar proposiciones, que hay que poner cuantificadores de un modo y no de otro, mas me pareció que para que sea útil a todos quienes no tenemos familiaridad con el tema es mejor ir introduciendo estas cuestiones un poco ''anestesiadas'' o ''amortiguadas'', porque si no se pone duro el terreno, y por lo menos a mí me cuesta avanzar.

A veces el problema que he tenido a la hora de elegir el modo de presentar los axiomas es porque en distintas fuentes aparecen enunciados con sutiles diferencias. Principalmente me basé en el texto de Ivorra y en el resumen de Wikipedia. Me sorprendió hallar diferencias que me parecieron grandes.
Creo que es este hilo el adecuado para ir desglosando de a poco el significado de esas diferencias, o sea, discutir los distintos sistemas axiomáticos.

Así que Lau, te agradecería que me recomiendes una fuente de donde extraer y copiar los axiomas de cada uno de los 3 sistemas ZF, MK, NBG, que los lógicos consideren que son ''esos'' como deben presentarse y enseñarse, o sea, algo más o menos estandarizado.

Después de todo, necesitamos cierto consenso para que estos axiomas nos queden disponibles y así poder trabajar con ellos y usarlos en el trabajo matemático.
Después de ese consenso estoy más que dispuesto a discutir las distintas versiones de axiomas y sistemas, incluso esos sistemas algo exóticos que andan por ahí.

Una última observación, respecto a lo que dijiste de que en cierto sentido ZF es ''mejor'' que NBG.
Lo que creo entender de tu exposición es que ''supuestos más débiles'' dan lugar a ''menor riesgo de paradojas'', o sea, si tengo menos axiomas o menos fuerza en cada axioma, el riesgo de que los axiomas se ''peleen'' entre sí es menor.
Eso está muy bien, pero según he visto en Ivorra, por ejemplo, hay muchos puntos de contacto entre ambos sistemas axiomáticos, y según tengo entendido, uno puede ir más o menos libremente de un enfoque al otro.
Parece a simple vista que NBG trabaja con más ''objetos'' (o sea, clases), pero que al restringirse a ''conjuntos'' ambas teorías serían totalmente equivalentes, por un lado, y que en NBG/MK las pruebas son más simples e intuitivas.
Desde este último punto de vista sería ''preferible'' el sistema NBG o el MK, por la manera en que uno puede expresarse y probar cosas, sin necesidad de salirse de lo que uno conoce como teoría clásica de conjuntos y clases.
El sistema ZF me parece más rudo para un matemático (aunque tal vez no lo sea, y quizá sólo me lo parece a mí).

En Ivorra se estudian las relaciones entre ambos sistemas, y por lo poco que alcancé a entender, da la sensación de que son sistemas muy cercanos entre sí, y que todo lo que se prueba en un sistema, para conjuntos, es cierto en el otro sistema, y que esto sigue siendo cierto incluso en el caso de que en NBG/MK se usen ''clases'' en los pasos intermedios de las demostraciones, mientras que en ZF no. ¿Es esto correcto?

Otro texto que tengo a mano, por supuesto, es el famoso libro de Kelley de Topología, en cuyo apéndice están los axiomas MK, según los listara Kelley hace medio siglo atrás.

La lucha por comprender será ardua, pero en ello estamos.
Saludos

24 Mayo, 2009, 09:30 pm
Respuesta #11

LauLuna

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Hola Argentinator,

El artículo de Von Neumann se puede encontrar en Van Heijenoort, como probablemente sabes. Pero también sabrás que la formulación original de Von Neumann cayó pronto en desuso y que solemos usar la de Gödel. Por eso, un "locus classicus" para NBG es el artículo de Gödel de 1940 sobre la consistencia del axioma de elección. Mendelson, en 'Introduction to Mathematical Logic' (ed. 1997, p. 225 y ss.) da una versión que no se aparta mucho de la de Gödel.

La cuestión respecto de NBG es si conservamos la pléyade de axiomas de existencia de clases (siete en la versión de Mendelson, ocho en la de Gödel) o los sustituimos por el esquema axiomático de formación de clases, que simplifica la exposición y, de todas maneras, resulta ser equivalente a un conjunto finito de sus instancias.

Si en el esquema de formación de clases permitimos que que la fórmula utilizada B(x) contenga cuantificadores sobre clases y no sólo conjuntos, tenemos MK (lo que no implica que podamos formar clases de clases sino sólo que podemos formar clases de conjuntos con ayuda de la cuantificación sobre clases). Compruebo en Mendelson que efectivamente Mostowski demostró en 1951 que MK prueba la consistencia de NBG y, por tanto, es más fuerte que éste, si éste es consistente.

ZFC y NBG son equivalentes, como dices, en cierto sentido. NBG es una extensión conservativa de ZFC (es decir, no demuestra nada en el lenguaje de ZFC que ZFC no demuestre) y lo que NBG dice sobre clases propias, podemos apañarnos en ZFC para expresarlo, como también dices.

Ivorra es una buena fuente; la entrada de Wikipedia para NBG me parece también excelente:

http://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann%E2%80%93Bernays%E2%80%93G%C3%B6del_set_theory#Axiomatizating_NBG

Un saludo




25 Mayo, 2009, 12:07 am
Respuesta #12

argentinator

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En todo caso, no estoy tan interesado sobre la versión original de los axiomas,
sino cómo es que han quedado tras el paso de los años.
Imagino que esos axiomas se han pulido, reformulado y escrito de un modo u otro, acorde a distintos criterios,
ya sea pedagógicos o de razones teóricas,
y que se han ido estabilizando hacia algún tipo de formato ya algo estandarizado.

Así que si me dices que Ivorra y NBG de Wikipedia son fuentes fiables, te tomo la palabra.
Voy a buscar el libro de Mendelson para completar el trabajo.

Muchas gracias Lau por tu ayuda


14 Agosto, 2009, 06:43 am
Respuesta #13

argentinator

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Permíteme unos comentarios.

En la respuesta 2, al definir la relación de inclusión, dices "necesariamente ocurre" y creo que deberías decir simplemente "ocurre". El "necesariamente" conlleva demasiada filosofía y es inútil para la definición.

He hecho la corrección acorde a tu sugerencia.

En la respuesta 2, al exponer el axioma de elección, hablas de un conjunto que contenga "al menos un elemento" y creo que deberías decir "exactamente un elemento"; creo que en algunos usos del axioma de elección la diferencia puede ser relevante, por ejemplo, al deducir el lema de Zorn a partir del axioma de eleción, PERO NO ESTOY SEGURO AHORA MISMO.

Si vos no estás seguro, yo menos aún.

En la respuesta 3 al enunciar el axioma de formación de clases deberías advertir que los objetos a los que se refiere no son clases cualesquiera sino conjuntos. Así la clase universal contiene a todos los conjuntos y sólo a ellos.

He corregido esto acorde a tu sugerencia. La razón de que originalmente lo había puesto mal es que no estaba demasiado seguro de cómo definían esto otros autores, y quizá yo mismo no terminaba de entender bien si se cuantificaba sobre conjuntos o clases. Es la falta de práctica en este campo. Pero me he convencido finalmente de que lo que decías estaba más que bien, y he agregado entonces algunas convenciones y abreviaturas que aparecen en el libro de Ivorra, a fin de que quede todo bien definido.


Finalmente, he notado que Ivorra hace uso de un signo descriptor.
Me gustaría saber si ciertos teoremas o axiomas de las teorías tanto ZFC como MK pueden darse sin recurrir a ese signo descriptor.

Por ejemplo, cuando se dice en el Axioma de formación de clases que hay una única clase Y que satisface bla bla bla, Ivorra escribe algo como \( Y|\forall{x}(x\in Y \Leftrightarrow{\phi(x)}) \).

¿Hay una forma equivalente de escribir esa fórmula sin el uso de descriptores?


14 Agosto, 2009, 05:59 pm
Respuesta #14

LauLuna

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Dice Argentinator:

Citar
Finalmente, he notado que Ivorra hace uso de un signo descriptor.
Me gustaría saber si ciertos teoremas o axiomas de las teorías tanto ZFC como MK pueden darse sin recurrir a ese signo descriptor.

Por ejemplo, cuando se dice en el Axioma de formación de clases que hay una única clase Y que satisface bla bla bla, Ivorra escribe algo como \( Y|\forall{x}(x\in Y \Leftrightarrow{\phi(x)}) \).

¿Hay una forma equivalente de escribir esa fórmula sin el uso de descriptores?

Ese descriptor debe ser equivalente al de Russell, que normalmente se simboliza mediante una yota. El descriptor tiene dos funciones:

1. Implica unicidad.
2. Convierte una descripción en un nombre, es decir, permite nombrar a través de una descripción del objeto nombrado.

La unicidad puede expresarse sin el descriptor. Si quiero decir que existe un solo x que es P, digo que existe un x que es P y que todo y que es P, es igual a x.

En cuanto a la función de servir como nombre, entendemos que los lenguajes formales disponen de constantes individuales que pueden introducir cuando haga falta para nombrar un objeto destacado. Un sistema formal podría, naturalmente, incorporar el descriptor para dar nombres a los objetos cuya existencia demuestra pero no creo que sea necesario.

Pensándolo bien, ni siquiera el uso de constantes individuales parece imprescindible. Por ejemplo, para decir:

el único conjunto que es P pertenece al único conjunto que es Q

podríamos decir

existen x e y tales que x es P, y es Q, x pertenece a y, para todo z, si z es P, z=x, para todo w, si w es Q, w=y.

El descriptor es más útil en el metalenguaje o en la metateoría.

Un saludo.

14 Agosto, 2009, 10:40 pm
Respuesta #15

Jabato

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Hay una cuestión que quisiera plantear aquí, no se que os parecerá. En mi opinión parece que desde un punto de vista meramente intuitivo los conjuntos serían una construcción mental del hombre en cuanto que son colecciones de objetos (parece que el término "colección" es altamente subjetivo y por lo tanto es imaginado, es menos natural) y deberían ser posteriores a los elementos y sus propiedades que son conceptos mucho más primitivos (tamaño, forma, color, ubicación, etc). Pienso que sería más lógico considerar a los elementos y sus propiedades como elementos básicos de la teoría de conjuntos y a partir de ellos definir los conceptos de clase y conjunto, lo que a primera vista parece relativamente sencillo. Así podríamos establecer como primer axioma de una nueva teoría de conjuntos la existencia de infinitos elementos, cada uno de ellos con infinitas propiedades y como segundo axioma la exigencia de que dos elementos son iguales si y solo si satisfacen las mismas propiedades. A partir de aquí definir los conceptos de conjunto y de clase parece relativamente sencillo, creo, y mostrar un modelo capaz de aunar las teorías mostradas en el debate parece que sería posible.

¿Porqué mantener dos teorías (ó más) distintas si podemos mantener una sola unificada?

¿Nadie se ha planteado nunca la posibilidad de tal unificación?

Por ejemplo, para la teoría ZFC, bastaría con definir conjunto como la reunión de elementos que satisfacen una (ó varias) determinada propiedad, y a partir de ahí el resto sería similar a lo ya expuesto. Probablemnte habría que salvar algunos escollos, pero a primera vista parece que sea posible realizar la unificación de todas las teorías en una sola.

Saludos, Jabato.

15 Agosto, 2009, 03:40 am
Respuesta #16

argentinator

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La motivación principal de este thread es que haya en el foro del rinconmatematico una lista con los sistemas axiomáticos estándar de conjuntos, enunciados en forma precisa, usando los signos y convenciones que se usan actualmente en la teoría moderna de lenguajes formales y lógica matemática.
Además se procura dejar una explicación intuitiva de lo que significa cada axioma.


No está demás discutir el porqué de dichas teorías, me parece que está bien hablar un poco de eso acá.
Si el debate se abre demasiado por otras ramas, se puede separar en otro hilo.

Te cuento cuál es mi impresión sobre las teorías de conjuntos tal como están especificadas actualmente.
Me ha quedado un post muy largo, pero no lo puedo reducir.
Me parece que todo lo que te voy a decir forma parte del panorama que explica por qué no hay una teoría unificada.

El creador de la teoría de conjuntos es George Cantor, un poco antes del año 1900.
El señor Cantor consideraba a los conjuntos como "colecciones" de cualquier cosa, en un sentido intuitivo.
Él no había dado una definición concreta de "conjunto" o de "clase", o de "elemento".

Sin embargo, el uso intuitivo y sin restricciones de la idea "intuitiva" de conjunto como una colección, conduce a paradojas inaceptables, como Bertrand Russell mostró con sus clásicos ejemplos.
No puede existir un conjunto que contenga a todos los conjuntos, pues debiera contenerse a sí mismo, y esto conduce a paradojas.
(A lo mejor sería bueno dejar fijo también un hilo donde se enumeren las paradojas clásicas de la lógica y la teoría de conjuntos).

Los matemáticos de los años 1900 reaccionaron de diversas formas ante la teoría de conjuntos.
Russell mostró que había paradojas, Hilbert simpatizaba enormemente con las ideas de Cantor, y sostuvo que valía la pena considerar a los conjuntos como parte fundamental de la matemática, y bastaba para ello andarse con cuidado para evitar paradojas.
Hubo otros matemáticos que se resistieron a Cantor considerando que su teoría era algo descabellado, o que de matemática no tenía nada.

El hecho es que los "conjuntos" sobrevivieron.
Pero para ello es necesario considerar que ciertas "clases" no son "conjuntos".
Es una distinción algo arbitraria, pero es un requisito técnico ineludible, porque la matemática no puede darse el lujo de ser autocontradictoria.

Todo esto muestra que, históricamente, la formalización de la teoría de conjuntos surgió como una necesidad técnica ante todo, y fue posterior a su "implantación" inicial en el mundo matemático. Al principio se usaba sin formalización, o poca formalización, o con formalizaciones incompletas, o erróneas, o autocontradictorias.

Los matemáticos de aquellos tiempos en torno al 1900 y posterior, se preguntaban cuál era el mejor fundamento para la teoría de conjuntos. Eso requiere discutir cuáles son todos los axiomas necesarios para sostener el trabajo de los matemáticos, y a su vez asegurarse de que no haya paradojas.
Cuando los axiomas son demasiado potentes o arriesgados, afirman demasiado, y llega un momento que se obtiene una contradicción, o un disparate.
Si los axiomas dicen demasiado poco, entonces no alcanza para usar a la teoría de conjuntos como lenguaje para toda la matemática existente.

Un equilibrio entre ambos requisitos es un asunto muy delicado.

De esta manera surgen varios enfoques distintos, y teorías alternativas, según el resultado del esfuerzo de cada investigador.

Los sistemas ZFC, NBG y MK son, hasta donde yo sé, los sistemas más estandarizados, y que uno puede usar en el trabajo matemático.

Unificar las teorías es algo deseable... pero también es deseable investigar alternativas.
Así como antes había una sola geometría, la euclidiana, y luego surgieron las variedades,
también con la teoría de conjuntos se pueden estudiar sistemas alternativos.
La diferencia está en que los conjuntos se usan como lenguaje de la matemática.
No son una teoría más. También está en relación estrecha con la lógica misma, y los detalles a veces se mezclan.
Los conjuntos se meten hasta los tuétanos en la matemática, así que hay que ir con cuidado acerca de lo que se permite ser conjunto, y lo que no, etc.

Con respecto a la consistencia de "una teoría de conjuntos dada", está el teorema de Godel para decirnos que jamás podremos probar si una tal teoría es consistente.
Estamos un poco en tinieblas con eso.
Pero eso no nos autoriza a poner cualquier cosa como axioma, porque dentro de nuestro conocimiento, debemos evitar las fuentes de inconsistencia.

Una teoría de conjuntos inconsistente significa dejar toda la matemática inútil.
Es peor que el acelerador de partículas LHC.

Me parece que no hay una teoría completamente unificada porque el campo de los fundamentos de la matemática y la teoría de conjuntos es aún un tema de investigación en desarrollo.

El problema no es unificar y punto, sino que la gente no se pone de acuerdo sobre cuál debiera ser ese sistema único.
Es un gran logro tener tan sólo 3 teorías de conjuntos.
Cada una de esas teorías ha unificado unas cuantas otras variantes que antes han sido propuestas por muchos investigadores.
Quizá algún día haya una sola teoría estándar fijada de una vez por todas, pero parece que no hay mucho apuro por eso.

Como ya se ha discutido unos posts antes, según explica Ivorra, el sistema ZFC se puede considerar como un subsistema de NBG o MK.
Sin embargo, cuando hablamos de conjuntos y no de clases, ambos sistemas prueban los mismos teoremas.
Lo que es cierto en uno, es también cierto en el otro.

Creo que eso te está dando bastante unificación de teorías.
No hay peligro en considerar una u otra, porque en el trabajo matemático cotidiano ambas teorías conducen a los mismos resultados.

La diferencia está en las clases propias.
En la teoría ZFC las clases no existen. Esto es así porque se usan construcciones o enfoques "menos arriesgados" desde el punto de vista lógico.
Si alguna vez se probara que la teoría MK es inconsistente, aún tendríamos a mano la teoría ZFC, que prueba los mismos teoremas, pero que todavía tendría la chance de ser consistente, matemáticamente válida.

Sin embargo la teoría MK sobrevive porque mediante el "truquillo" de usar clases y conjuntos permite a los matemáticos trabajar de una manera más clara para ellos, sin tener que involucrarse en las restricciones expresivas que le impone la teoría ZFC.

Para ser más explícito.
Las propiedades de los elementos x, NO SON ELEMENTOS básicos de la teoría de conjuntos.
No hay propiedades.
En el lenguaje formal que se usa para la teoría de conjuntos, lo que se usa son fórmulas genéricas que actúan sobre variables.
Estas fórmulas se construyen en base a reglas mecánicas bien precisas.

De esta manera, los "conceptos" ya no son parte de la matemática.
Se han sustituido las "propiedades" por fórmulas vacías sin significado.

Ahora bien, ZFC trabaja exclusivamente con fórmulas (lógicas) actuando sobre cierta variable x, y uno las interpreta intuitivamente como "propiedades", pero son sólo signos encadenados sin significado previo.

En la teoría MK dada una fórmula (de la lógica formal) F(x), se introduce el Axioma de que "existe una clase C_F tal que sus elementos son todos aquellos que hacen verdadera la fórmula lógica F(x)".

El Axioma de Formación de clases no es, pues, un solo Axioma, sino una familia de infinitos axiomas, uno por cada fórmula F(x) que uno es capaz de construir.
En este momento, una fórmula dada F(x) se identifica con una clase, y entonces se puede hablar de la propiedad F, porque hay una clase C_F en el sistema que tiene una correspondencia directa con la fórmula F.

Así que en MK sí se puede hablar de propiedades.

Y es por esto que es difícil decidirse por ZFC o MK.
Si nos quedamos con MK, tenemos más riesgos de inconsistencia, pero lo bueno es que podemos hablar de propiedades, incluso cuantificar indirectamente sobre propiedades, pues podemos cuantificar sobre las "clases" que definen esas propiedades.
Con ZFC no podemos cuantificar sobre todas las propiedades (siempre de manera indirecta), sino sólo en aquellas que definen o determinan un conjunto (Axiomas de Especificación y de Reemplazo, no hay Axioma de Formación de "conjuntos").

La teoría ZFC hace "malabarismos" para evitar las clases propias, porque suponen una fuente posible de contradicciones.

Pero es una teoría que hace falta tener en cuenta, porque es menos inconsistente...

A continuación hablaré de tus ideas de elementos y propiedades...

15 Agosto, 2009, 03:54 am
Respuesta #17

Jabato

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Bueno, no se si me has entenido, mi idea no es usar las teorías ya existentes sino crear una nueva teoría que determine la existencia de los elementos y de sus propiedades de forma axiomática.

1º.- Existen infinitos elementos distintos.

2º.- Cada elemento presenta infinitas propiedades, cualidades ó llámalas como prefieras, rasgos diferenciales que hacen que unos elementos se diferencien de otros.

3º.- Dos elementos son iguales si y solo si tienen las mismas propiedades.

Y a partir de aquí definir clase, conjunto, y los otros axiomas en "versión unificada".

¿Porque no puede hacerse algo así?, dame una razón concreta si la conoces, y si no dime que no la sabes, pero no me cuentes la historia completa de las TC, que ya más ó menos me hago una idea.

Saludos, Jabato.

15 Agosto, 2009, 04:01 am
Respuesta #18

argentinator

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Pienso que sería más lógico considerar a los elementos y sus propiedades como elementos básicos de la teoría de conjuntos y a partir de ellos definir los conceptos de clase y conjunto, lo que a primera vista parece relativamente sencillo.

¿Más fácil? Depende del punto de vista.
En todo caso, las "propiedades" ¿qué cosa son?
Hay que poner axiomas y reglas sobre ellas.
Si se aceptan elementos y propiedades como objetos de una misma teoría, esto significaría que uno podría ponerle cuantificadores a las propiedades, y además esto mismo es lo que estás sugiriendo al definir un elemento como aquel que satisface una lista de propiedades.

Sería algo así como: x es el elemento tal que \( F(x) \) es cierta para toda propiedad F, tal que \( F\in L \), donde L es una lista de propiedades.
El escribir eso en formato lógico ya supone complicaciones en el manejo de los signos que se refieren a una cosa y otra.
Habría que separar las aguas entre elementos y propiedades, para que no se confundan.
Entonces, cómo se define axiomáticamente un elemento o una propiedad.

Por otro lado, según "he oído" (aquí se acabó mi conocimiento) que existen teorías donde conviven los elementos, los conjuntos, y las propiedades. Al cuantificar sobre propiedades se usan lenguajes de segundo orden.
El lenguaje empleado para ZFC y MK es de primer orden.

Quizá LauLuna pueda precisar más sobre esto, pero los lenguajes de segundo orden merecen un estudio más detallado de consistencia, y me parece que al final complican el manejo lógico.
Fijate que todos estos axiomas se expresan en algún lenguaje formal, con reglas estrictas.
No he hablado mucho de ello, pero se trata de una gran cuestión.
¿Qué lenguaje formal debo usar y con qué reglas, para poder "decir" o "expresar" una teoría maravillosa que a mí se me ha ocurrido?
Si me sirvo del lenguaje coloquial, caigo de nuevo en riesgos (enormes) de inconsistencias.
Si uso un lenguaje formal, tengo que poner reglas que "no se peleen" entre sí al hablar de elementos y propiedades.
Tengo que inventarme el lenguaje, y tener cuidado con lo que estoy diciendo, porque podría estar "permitiendo" cosas alocadas, fuera del sentido común, o más precisamente, contrarias a "mi intención inicial".

Mi sospecha es que los lenguajes de segundo orden son más complicados, y "menos" consistentes, lógicamente hablando.
Pero la verdad es que casi no he visto nada de esto.

Los lenguajes de primer orden son más claros y sencillos de implementar,
pero requieren que dejemos las "propiedades" como algo que no está como un objeto "palpable" dentro de la teoría,
sino que son meras fórmulas vacías de significado, que uno interpreta luego según la costumbre, o las entiende como mejor le parezca.

La razón de usar fórmulas así, es que las fórmulas de la lógica formal son objetos que se pueden construir en forma objetiva, en un número finito de pasos.

Si no, ¿qué es una "propiedad"? Si aceptamos a una "propiedad" con toda la arbitrariedad que la mente humana permite, dentro de la gran bruma de los "conceptos posibles", no queda muy claro cuál es la frontera entre lo que es una "propiedad" y lo que no lo es.

En cambio, mediante el uso de fórmulas estrictas de un lenguaje formal, hasta una computadora puede determinar si algo es una fórmula o no.

También es cierto que hay infinitas fórmulas posibles. O sea, se pueden generar en cantidad infinita, pero se puede determinar si algo es o no una fórmula en un número finito de pasos.
Aprendi bastante de eso gracias al thread "Teorema de Godel" en este mismo subforo.
Si te da ganas de darte una vuelta por ahí, verás el sistema formal que fue construyendo Gustavo paso a paso.
Un sistema así es necesario para expresar luego axiomas de cualquier teoría, como por ejemplo la de conjuntos.

Las dificultades están, según me parece a mí, en construir todo desde cero con el suficiente cuidado para que no falte ni sobre nada, que no haya inconsistencias, y que todo funciones como los matemáticos desean.

En cuanto a teorías que cuantifican tanto sobre elementos como sobre propiedades, seguramente las habrá, y tendré que buscar por ahí a ver que encuentro.
Nunca me he puesto en ello porque antes quiero terminar de entender las teorías hechas con lenguajes de primer orden, que ya bastanta trabajo me dan.

En resumen, que hacer eso de mezclar elementos y propiedades en una misma teoría... no es algo tan trivial.
Los escollos no son "pequeños". Eso es lo que creo, a pesar de ignorar los detalles pertinentes.

He visto en algunos mensajes tuyos antiguos que te gusta la idea de construir teorías de conjuntos a partir de ciertos "elementos" primitivos, que no sean "conjuntos".
Eso es distinto a las teorías ZFC y MK, en las cuales todo elemento es también un conjunto (pues ser un elemento significa pertenecer a una clase o conjunto, y esto es lo mismo en MK a decir que estamos ante una clase que es conjunto... bla bla).

Tan sólo diré que sé que hay teorías en donde los investigadores "ensayan" esa propuesta, y analizan la mejor manera de construir una teoría por ese camino.
De nuevo no sé los detalles.

Hay algunos temas de los que no es fácil encontrar información matemáticamente clara y precisa.

15 Agosto, 2009, 04:41 am
Respuesta #19

argentinator

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pero no me cuentes la historia completa de las TC, que ya más ó menos me hago una idea.

Me imaginé que ya tenías idea, pero tuve que escribirlo igual, porque mi visión del asunto tiene que ver con todo el trasfondo histórico de las teorias de conjuntos.
Pero claro, había entendido que querías unificar ZFC con MK.

Es cierto que no había entendido que tu intención no era "unificar las teorías", sino unificar los "objetos" de la teoría.
Como sea, cuando haya que cuantificar sobre las "propiedades"... es como engolosinarse demasiado.

Yo tengo una idea de por qué no se puede, pero hay que renegar un poco con el lodo de los lenguajes formales.
Para decir cualquier cosa en matemática se usa un cierto lenguaje L, formado por todas las combinaciones finitas de una lista finita de signos, digamos \( \forall{\exists{\Rightarrow{\equiv{\sim{\wedge\vee\cap{\cup{\in{}}}\emptyset}}}}}  x|01 \).

Con esos signos se enuncian reglas de formación de fórmulas lógicas.
Estas reglas dan un mecanismo de formación de expresiones en forma sistemática, realizable por un programa de computadora, en un número finito de pasos.
La clave está en que una computadora sea capaz de realizar el trabajo de verificación o construcción de las fórmulas, y en finitos pasos.

Luego vienen los axiomas. Se dan infinitos axiomas, pero mediante una lista de reglas o esquemas que, de nuevo, una máquina es capaz de verificar en un número finito de pasos si una fórmula dada es o no un axioma.
Después se definen con el mismo espíritu los criterios de demostrabilidad, y de verdad matemática.

En resumidas cuentas, todo es computacionalmente calculable.

Ahora, la computadora es capaz de analizar una "propiedad" a la vez, porque una "propiedad" es una "fórmula", y para saber si algo es o no una fórmula, debe ejecutarse la rutina pertinente, y verificar paso a paso.

Si uno "cuantifica" sobre infinitas "propiedades", está pidiendo admitir que uno puede tomar infinitas "fórmulas" a la vez.
Esto computacionalmente no puede hacerse, y en ese caso hay que confiar en criterios puramente "humanos".
Uno puede quizá razonar sobre infinitos elementos de un lenguaje, pero es un poco "ridículo" hacer algo así, porque para razonar sobre objetos infinitos necesitamos una previa formalización, y eso aún no lo tenemos, porque en la etapa de construcción de expresiones de un lenguaje formal, se supone que "aún estamos construyendo los andamiajes de la teoría posterior".

Es un mundo sin reglas, pues las estamos creando.
Así que cualquier elucubración sobre infinitos objetos allí tiene un componente subjetivo, muy discutible, porque no hay manera de precisarlo.
Se considera que lo "finitario" es objetivo, porque es "empíricamente comprobable" si algo es una formula o no.

No obstante, a pesar de esta situación, hay gente que habla de teorías no finitarias, y demuestra cosas ahí.
Yo no me las creo del todo, pero puede ser también por mi ignorancia.

Citar
¿Porque no puede hacerse algo así?

Poder se puede, la gente lo está investigando... pero no está claro que sea mejor o preferible.