Autor Tema: Axiomas de la Teoría de Conjuntos

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

02 Mayo, 2009, 01:03 am
Leído 81630 veces

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,346
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
(Actualizado: 14/10/2011)

Este thread intenta dejar una referencia fija en el foro en donde se listen los axiomas de la teoría de conjuntos en sus formulaciones más aceptadas hoy día como "estándar".

Por lo general aparecen discusiones en el foro sobre teoría de conjuntos, que son de todo tenor, matemático y filosófico.
Para evitar discutir en el aire, es bueno tener una referencia común como ésta.



Quiero agradecer sobretodo a las correcciones que hicieron cada cual en su momento LauLuna y Donald (Carlos Ivorra).

Aprovecho, pues, para disculparme por los errores que pueda haber cometido.
Si bien hacer uso de la Teoría de Conjuntos siempre me resultó fácil, el costado constructivo de la teoría me ha costado, y hoy día me sigue resultando algo difícil y se me escapan muchos detalles de todo tipo. Uno tiene que aceptar sus limitaciones. :banghead:

Así que no tengan vergüenza en indicar errores, si los detectan.



Hasta ahora la única exposición clara y completa que he encontrado en Internet es la de Ivorra:

Logica y Teoría de conjuntos, Ivorra Castillo

De allí he extraído básicamente la lista de axiomas de las tres teorías principales que vamos a desarrollar: ZFC, NBG, MK.



Generalidades

Como todo el mundo sabe, hay varias maneras de presentar la Teoría de Conjuntos, y la preferencia por una u otra puede ser personal.
En todo caso, lo importante es que las matemáticas que hagamos sean consecuentes con todos los sistemas axiomáticos de conjuntos que se aceptan en la actualidad.

Vamos a ver los sistemas más conocidos: el ZF, el ZFC, el NBG y el MK.

Se asume en la teoría axiomática que hay unos símbolos que representan objetos generales de ella, y unos signos que indican sus relaciones mutuas.

Habría que hacer toda la construcción de fórmulas lógicas antes de comenzar (construcción de la lógica de primer orden), pero no lo voy a hacer por ahora, así entramos directo en tema.

Tan sólo asumamos que hay una lista de símbolos que vamos a usar, y sólo ellos:
\( ( \quad ) \quad \wedge\quad \vee\quad \neg \quad |\quad \forall\quad \exists\quad\Longrightarrow\quad \rightarrow\quad \Longleftrightarrow\quad\in\quad \subset\quad =\quad \cup\quad \cap\quad \{\quad \}\quad \mathcal{P}\quad \setminus \)

También vamos a usar símbolos para las variables: \( a, b, c, x, z, \) etc.
Por ahora pensemos que disponemos de tantas variables como queramos.



Índice


02 Mayo, 2009, 04:43 pm
Respuesta #1

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,346
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
ZFC MK MK ;)  NBG

Teoría de Conjuntos ZFC (Zermelo-Fraenkel + Choice)

El sistema axiomático de Zermelo y Fraenkel, abreviado ZF, supone que los conjuntos son ''cosas que no sabemos en realidad de donde han surgido, pero que se relacionan entre sí a través de ciertos axiomas''.

Para nosotros los conjuntos intuitivamente eran una bolsa que adentro contenía ciertos elementos.
Parecía haber una distinción entre el contenedor, y el contenido.

Pero en teoría de conjuntos no hay distinción real entre lo que puede ser un conjunto y lo que puede ser un elemento de un conjunto. Esto obedece a una necesidad de simplificación en el tratamiento teórico.
A todos los objetos de la teoría los llamamos conjuntos, y unos pueden pertenecer a otros, según ciertas reglas estipuladas en los axiomas.

Así que, entendiendo intuitivamente que ''todo de lo que hablamos'' es un conjunto, incluyendo los elementos, las famillias de partes de conjuntos, familias de familias, funciones, relaciones, productos cartesianos, etc., etc., ya no hay confusión de qué es un conjunto y qué no lo es.

Se asume además que existe una relación de pertenencia \( \in \) y una de inclusión \( \subset  \), que es aplicable entre elementos de la teoría.

Si bien en ZF todo es un conjunto. En otras teorías, se diferencia entre conjuntos y clases.



Veamos los axiomas de ZF.

En primer lugar, digamos que en la teoría ZF puede considerarse que los conjuntos son elementos primitivos,
esto vendría a decir que se habla de ciertos entes \( A, B, C, X, w, x, y, z, \) etc., sin explicitar quiénes son, y solamente se dice de ellos qué tipo de relaciones lógicas valen entre ellos, a través de una lista de axiomas.

También hay otra primitiva, que es la relación de pertenencia \( \in \).
Se escribe \( x \in A \), y se lee x pertenece a A.
Cómo se relacionan los conjuntos a través de esta relación, o sea, la manera en que esa relación funciona,
es algo que también se describe a través de los axiomas.

Sin embargo, ya podemos definir una relación a partir de estas meras primitivas.
Se trata de la relación de inclusión.
Se dice que \( A \) está incluido en \( B \), y se escribe \( A\subset B \), si y sólo si,
para cualquier elemento \( x \) que pertenece a \( A \), ocurre que también \( x \) pertenece a \( B \).
Esto se escribe en símbolos así:

\( A\subset B \Longleftrightarrow{\forall{x}(x\in A \Rightarrow{x\in B}{})}. \)

Se lee: \( A \) está incluido en \( B \) si para todos los conjuntos \( x \) de la teoría ZF, cada vez que \( x \) está \( A \), implica que \( x \) también está en \( B \).

Ahora los axiomas de ZF son estos:

  • Axioma de Extensión. Dos conjuntos son iguales si a ambos pertenecen los mismos elementos.

  • Axoima del Vacío. Existe un conjunto, denotado \( \emptyset  \), que no contiene elemento alguno.

  • Axioma del Par. Dados dos objetos \( x, y \), de la teoría ZF, existe un conjunto \( Z = \{x,y\} \) formado sólo por esos dos elementos.

  • Axioma de la Unión. Dado un conjunto de conjuntos C, existe el conjunto \( \cup C=\cup _{X\in C} X \).

  • Axioma del Conjunto Potencia. Dado un conjunto \( X \), existe el conjunto formado por todos los subconjuntos de X, y se denota \( \matchcal{P}(X) \).

  • Axioma de Especificación. Sea dada una propiedad \( \phi (x) \) aplicable a objetos \( x \) de la teoría ZF. Dado un conjunto X, existe el conjunto A de todos los \( x\in X \) tal que \( \phi (x) \) es verdadera. Dicho conjunto se denota: \( \{x\in X:\phi (x)\} \).

  • Axioma de Reemplazo. Si A es un conjunto, y \( \phi (x,y) \) es una propiedad de elementos \( x,y \) de la teoría ZF tal que para cada \( x\in A \) existe un único objeto \( y \) que hace \( \phi (x,y) \) cierta, entonces existe un conjunto B que contiene a tales elementos \( y \), y en tal caso se puede formar una \( función \) f con dominio A y rango B.

  • Axioma de Regularidad. Si X es un conjunto no vacío, entonces existe un elemento \( Y \in X \) tal que \( X\cap Y=\emptyset  \).

  • Axioma de Infinitud. En ZF existe un conjunto X que contiene como elementos a los conjuntos \( \emptyset , \{\emptyset \}, \{\emptyset ,\{\emptyset \}\}, \) etcétera.
    Formalmente: \( \emptyset \in X \), y \( n\in X\Longrightarrow{n\cup \{n\}\in X} \).


Abriendo el desplegable siguiente, hallaremos más detalles:

Detalles, expresión exacta en lenguaje de 1er orden, interpretación y análisis de cada axioma

  • Axioma de Extensión: Dos conjuntos A, B, son iguales, y se denota A = B, si contienen los mismos elementos, o sea,

    \( A = B\Longleftrightarrow \forall x{(x\in A\Longleftrightarrow{x\in B})} \).

    Observemos que esta construcción nos habla de cualquier ''cosa'' \( x \) que esté dando vueltas en la atmósfera de la teoría.
    No nos dice si \( A, B, x \) son conjuntos, clases, elementos, frutas secas, ni nada.
    Solamente se nos dice que al afirmar que \( A \) y \( B \) son iguales es equivalente a decir que para todo conjunto \( x \) que yo considere en la teoría de conjuntos, si resulta que \( x \) está en \( A \) también estará en \( B \), y viceversa.

  • Conjunto vacío. Es posible definir la fórmula lógica \( \forall x  (x\not\in \Phi ) \).
    El axioma del conjunto vacío establece que existe un conjunto con esa propiedad:

    \( \exists{\Phi }:\forall x  (x\not\in \Phi ) \).

    Por axioma de extensión, sólo puede haber un conjunto con esa propiedad, luego el vacío existe y es único.
    Se usa ahora el símbolo \( \emptyset  \) para denotar este conjunto vacío único.

  • Axioma del Par. Dados dos conjuntos \( x, y \), existe un conjunto \( Z \) que contiene a \( x \) e \( y \). Este conjunto se denota por\(  Z = \{x,y\} \). En símbolos:

    \( \forall x,y(\exists Z:(x\in Z,y\in Z )) \) (existencia de un conjunto \( Z \) que contiene a ambos \( x, y \))
    \( \forall x,y(\exists Z: (\forall w:(w\in Z \Longleftrightarrow{w=x \vee w=y}))) \) (existe un conjunto \( Z \) que contiene sólo a \( x \) e \( y \), y no contiene a otros elementos \( w \)).

  • Axioma de la Unión. Dado un conjunto \( C \), se puede definir la unión de todos los conjuntos \( X \) que pertenecen a \( C \).
    El conjunto \( C \) representa una gran familia de conjuntos \( X \), donde \( X \) varía en los elementos de \( C \).
    Un elemento \( w \) pertenece a la unión \( U \) de la familia \( C \), si y sólo si, existe un elemento \( X \) que está en la familia \( C \), y que además contiene al elemento \( w \).
    Ahora bien, ¿es cierto que existe un tal conjunto?
    Esto se decreta por axioma, a través de la siguiente fórmula:

    \( \forall{C}(\exists{U}:(\forall{w}(w\in U \Longleftrightarrow{\exists{X}(X\in C \wedge w\in X)}))) \)

    Traduciendo a castellano, esto dice:
    Para cualquier familia dada \( C \), existe un conjunto denotado \( U \), tal que todo elemento \( w \) en \( U \) se puede afirmar que hay algún \( X \) de manera que \( X \) sea un elemento de la familia \( C \), y además \( w \) sea un elemento de \( X \).
    Por el axioma de extensión, el conjunto de la unión ha de ser único, y lo denotaremos \( \bigcup C \).
    Otra notación más familiar para muchos de nosotros es la que usa subíndices:

    \( U=\bigcup_{X\in C} X \),

    pero acostumbrémonos a la notación de operador:

    \( U=\bigcup C, \)

    que vale lo mismo.

  • Axioma del Conjunto Potencia. Dado un conjunto \( X \), podemos hablar de todos los subconjuntos \( S \) que están incluidos en \( X \), o sea, aquellos \( S \) que satisfacen \( S\subset  X \).
    Esto en sí mismo permite pensar en el concepto de ''todos los subconjuntos de \( X \)''.
    Pero, ¿existe un conjunto en la teoría ZF que conste de todos los subconjuntos de X?
    El Axioma del Conjunto Potencia establece por decreto que este conjunto existe, y lo hace con esta fórmula:

    \( \forall{X}(\exists{Z}(\forall{S}(S\in Z \Longleftrightarrow{{S\subset X}}))) \)

    En castellano eso dice que, dado cualquier conjunto \( X \),
    puedo formar un conjunto \( Z \), el conjunto potencia de \( X \),
    de manera que los elementos de \( Z \) son todos aquellos conjuntos \( S \) tales que \( S \) es subconjunto de \( X \).
    En realidad, la fórmula no usaría el símbolo de subconjunto \( \subset  \),
    sino la definición que dimos de inclusión más arriba, pero... podemos simplificar un poquito sin daño alguno.
    Por el Axioma de Extensión, el conjunto potencia ha de ser único, y lo denotaremos \( \matchcal{P}(X) \).

  • Axioma de Especificación: Sea  \( \phi(v) \) una fórmula de un lenguaje de primer orden que contenga una variable libre \( v \).
    Entonces, para cualquier conjunto \( X \) existe un conjunto \( Y \) cuyos elementos son aquellos elementos \( v \) de \( X \) que cumplen \( \phi (v) \).

    ¿Qué diablos es una fórmula de primer orden con una variable libre \( v \)?

    Imaginemos una expresión lógica que usa un número finito de cuantificadores del tipo \( \forall  \) o \( \exists{} \), usa variables varias \( x, y, A, B \), etc., y usa también operadores lógicos de conjunción, disyunción, negación, implicación y biimplicación: \( \wedge,\vee,\neg ,\Longrightarrow{},\Longleftrightarrow{} \).
    Supòngamos además que figura una variable \( v \) en la fórmula, pero de manera que ningún cuantificador en la fórmula afecte a \( v \).
    O sea, no aparece ningún trozo diciendo ''\( \forall{v}... \)'' o ''\( \exists{}{v}... \)''.
    Eso es una fórmula con variable v libre. O sea, \( v \) está libre de cuantificadores.
    Además, se supone que los cuantificadores afectan a variables \( x, y, A, B, \) etc., que no son fórmulas de la lógica.
    O sea, no se puede decir ''para toda proposición \( P \), se cumple que ...''.
    En ese caso, \( \phi  \) es una fórmula de lenguaje de primer orden.

    El axioma de especificación sirve para definir conjuntos a través de propiedades o proposiciones,
    pero según el devenir de las fórmulas de primer orden de la lógica, esto quiere decir que las propiedades deben referirse exclusivamente a variables, no a proposiciones, por ejemplo.
    Se escribe así:

    \( \forall{X}(\exists{Y}(\forall{v}(v\in Y \Longleftrightarrow{v\in X \wedge \phi (v)}))) \)

    Se lee así:
    Para todo conjunto \( X \), existe un conjunto \( Y \), de manera que los elementos de \( Y \) son aquellos de \( X \) que satisfacen la propiedad o fórmula \( \phi (v) \).

    Naturalmente, \( Y \) resulta ser un subconjunto de \( X \).
    Esto también nos restringe la manera de definir conjuntos a través de propiedades dadas.
    Nos está diciendo que, para definir un conjunto por propiedades \( \phi  \), debemos indicar primero un conjunto \( X \), y luego considerar los elementos de ese conjunto que cumplen la propiedad indicada.
    No se pueden obtener conjuntos con más elementos que los que \( X \) contiene.

    El conjunto definido por este axioma se denota como \( \{x\in X: \phi (x)\} \).

  • Axioma de Reemplazo. Supongamos que \( \phi (a,b) \) es una fórmula de lenguaje de primer orden con dos variables libres \( a, b \). Sea dado un conjunto \( A \). Supongamos además que para cada elemento \( x\in A \) existe un único elemento \( y \) de la teoría de conjuntos (o sea, un conjunto, que en principio no se sabe por dónde anda) tal que \( \phi(x,y) \) es "cierta".
    Bajo estas condiciones, existe un conjunto \( B \) (que nada tiene que ver con \( A \), en principio), que contiene a todos aquellos elementos \( y \) que cumplían \( \phi (x,y) \), y esto para todos los \( x \) de \( A \), o sea, debo considerar que \( y \) pertenece a una gran unión.
    La hipótesis sobre \( A \) nos está diciendo que podemos pensar que hay una función \( f \) de \( A \), tal que para cada \( x \) de \( A \) hay un único elemento que cumple \( f(x) = y \).

    Si ahora pretendo amontonar todos esos elementos \( y \) en un conjunto \( B \), ¿puedo hacerlo?
    Para ello, tendría que saber que todos esos elementos \( y \) son capaces de formar por sí mismos un conjunto.
    Una vez que el axioma establece esto, estamos aptos para definir una función \( f \) de \( A \) con imagen igual a un conjunto \( B \) que contiene a todos los elementos \( y = f(x) \).

    Para decir "existe un único \( z \) ..." se usa el cuantificador \( \exists{!}z \), que no quiere decir ''el factorial de EXISTE'', jaja, sino que es una abreviatura de una formulilla lógica (que no voy a escribir) que significa ''existe un \( z \) tal que bla bla bla, y además ese \( z \) es el único que satisface bla bla bla...''

    Ahora escribimos en simbolos lógicos precisos el axioma de reemplazo:
    \( \forall{A}:\big[\forall{x(x\in A  \Rightarrow{}\exists!{y}:\phi (x,y)})\big]\Longrightarrow{}\big[\exists{B}(\forall{y}(y\in B\Leftrightarrow{\exists{x}(x\in A \wedge \phi (x,y))}))\big] \)

    Si semejante chorizo de fórmula no se entiende, podemos quizá poner una versión más sencilla del mismo.
    Supongamos que \( A \) es un conjunto con un solo elemento \( x \).
    Supongamos que existe un único conjunto \( y \), que nada tiene que ver con \( A \) ni \( x \), tal que \( \phi (x,y) \) es "cierta".
    En ese caso, existe el conjunto \( B \) que contiene a ese elemento \( y \), y a ningún otro.
    Como no me interesa hablar del conjunto \( A \), sino del \( x \) solitario, esto en símbolos se dice así:

    \( \forall{x:\big[\exists!{y}:\phi (x,y)}\big]\Longrightarrow{}\big[\exists{B}(\forall{y}(y\in B\Leftrightarrow{\phi (x,y))}\big] \)

    Estamos diciendo que podemos formar funciones de conjuntos de un elemento.
    Luego, podríamos eventualmente usar el axioma de la unión para definir imágenes de funciones...
    Bastaría con unir todos esos conjuntos unitarios.

    El problema aquí es que el axioma de la unión requiere que todos los elementos \( y \) que consideremos deben pertenecer a un gran conjunto \( C \) previo, si no, no se puede definir la unión. ¿Unión de qué si no?
    O sea que no sabemos si hay un conjunto que contenga todas esas imágenes \( y \).

    Así que hay que arreglárselas para establecer eso como axioma, y eso es lo que se ha hecho más arriba con el axioma de reemplazo. El cuantificador existencial en el segundo corchete es lo que debe ponerse en lugar de la operación de unión de conjuntos unitarios.
    Una vez establecido el axioma, sí que puede operarse con uniones en la imagen de cualquier función, sin temor, pues sabemos que nos dará un conjunto como resultado, y que coincide con el rango de la función.

    Este axioma es difícil de entender simbólicamente, pero la idea intuitiva es sencilla. Si tengo una función con dominio \( A \), me interesa poder decir que todos los elementos de su recorrido conforman un conjunto en toda regla. Al hacerlo, lo llamo \( B \).
    Y digo finalmente, en paz con mi espíritu: ''las imágenes de conjuntos por funciones dadas, son también conjuntos''.

  • Axioma de Regularidad. Para todo conjunto no vacío \( X \), existe un elemento \( Y \) en \( X \) (siempre es otro conjunto) tal que la intersección de \( Y \) con \( X \) es vacía. En símbolos:

    \( \forall{X}(X\neq\emptyset \Longrightarrow{}\exists{Y}(Y\in X, X\cap  Y=\emptyset ) \).

    ¿Qué diablos es esto?
    Ocurre que a algunas personas dañinas se les podría ocurrir definir conjuntos que se contengan a sí mismos: \( X = \{X\} \),
    o conjuntos como \( X = \{Y\} \), \( Y = \{X\} \), o cosas peores.

    Para evitar estas peculiaridades, es que entra en escena el axioma de regularidad, el cual evita tales cosas.

  • Axioma de infinitud. Existe un conjunto \( X \) tal que el vacío \( \emptyset  \) es uno de los elementos de \( X \), y además, dado cualquier elemento \( Z \) de \( X \), el conjunto \( Z\cup \{Z\} \) también es un elemento de \( X \).

    Esto implica que \( X \) contiene a los siguientes elementos:

    \( \emptyset , \{\emptyset \}, \{\emptyset ,\{\emptyset \}\}, \), y así sucesivamente.

    En realidad, puede haber muchos conjuntos \( X \) que contengan a esos elementos, pues puede contener también a otros elementos más, ya que el axioma no lo impide.
    La clave del axioma está en afirmar que por lo menos existe al menos un conjunto que cumple eso.
    Necesariamente, un tal conjunto debe ser infinito.

    Un conjunto \( X \) se define como infinito, por ejemplo, si existen un subconjunto \( Y \) incluido propiamente en \( X \) (o sea, subconjunto de \( X \) distinto de \( X \)) y una función \( f \) con dominio en \( Y \) y cuyo recorrido es todo \( X \).
    Puede demostrarse que hay un conjunto que contiene solamente a los elementos nombrados en la lista anterior.
    A ese conjunto se lo denota con \( N \).
    Definimos el conjunto \( N' = N \setminus \{\emptyset \} \), y a continuación definimos la función \( f:N'\to N \) mediante:

    \( f(A)=\cup A=\cup _{X\in A} X \).

    Así, poniendo \( 1=\{\emptyset \} \), \( 2=\{0,1\} \), \( 3=\{0,1,2\} \), etc. (verificar que cumplen la propiedad del axioma), se tiene

    \( f(n\cup \{n\}) = n \).

    Eso es una función cuyo recorrido es todo \( N \), y esto prueba que \( N \) es un conjunto infinito.

    Otra observación.
    El axioma del vacío junto con el axioma del par nos permite construir los elementos
    \( \emptyset , \{\emptyset \}, \{\emptyset ,\{\emptyset \}\}, \), etc.
    Sin embargo, no podemos afirmar a priori que existe un conjunto que contenga a todos esos objetos como elementos.
    El axioma de infinitud afirma que existe un conjunto que contiene a esos elementos,
    y luego puede probarse que hay un conjunto que contiene sólo a esos elementos, el \( N \).


Todos esos axiomas definen la axiomática de Zermelo-Fraenkel.
El axioma de especificación puede deducirse del axioma de reemplazo, así que es superfluo desde un punto de vista lógico (aunque sigue siendo cierto si se lo quita, pues sería un teorema).
El axioma del par se deduce del axioma del conjunto potencia, el esquema de especificación y el axioma de unión. Así que también es superfluo.

Si se pone como axioma la existencia de al menos un conjunto, entonces el axioma de especificación permite probar que existe el conjunto vacío con la fórmula \( \phi (a) = ''a\neq a'' \).

La lista de axiomas no superfluos de ZF sería:

  • Axioma de Extensión.
  • Axioma del Vacío (o bien de Existencia de al menos un Conjunto).
  • Axioma de la Unión.
  • Axioma del Conjunto Potencia.
  • Axioma de Reemplazo.
  • Axioma de Regularidad.
  • Axioma de Infinitud.

[cerrar]



Si a la lista de Axiomas de la teoría ZF le agregamos el Axioma de Elección, queda el sistema axiomático ZFC, o sea, Zermelo-Fraenkel más Choice (elección).
Este axioma dice que, dada una familia de conjuntos no vacíos, puedo definir un nuevo conjunto que contenga al menos un elemento de cada conjunto de la familia.
Eso implica que, dada una familia \( \mathcal{F} \) de conjuntos no vacíos, existe una función de elección \( c \), con dominio \( \mathcal{F} \), y cuya imagen está contenida en la unión \( \cup \mathcal{F} \), y de manera que para cada \( X \in \mathcal{F} \) se cumple que \( f(X)\in X \), o sea, \( f(X) \) es un elementito que está dentro del mismo \( X \). MMmmm.
En símbolos lógicos se escribe así:

Axioma de elección. \( \forall{\mathcal{F}}(\exists{f}(f:\mathcal{F}\to \cup_{X\in \mathcal{F}} X, \forall{X\in \mathcal{F}}(X\neq\emptyset \Rightarrow{f(X)\in X}))) \).

Notemos que no hace falta exigir que los elementos de la familia sean todos no vacíos.
Pero la elección se hace sobre los elementos no vacíos de la familia.


02 Mayo, 2009, 04:43 pm
Respuesta #2

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,346
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
ZFC MK MK ;)  NBG



Teorema. EN ZFC: el producto cartesiano \( A\times B \) de dos conjuntos \( A, B \), es un conjunto.


Demostración. (click aquí para visualizar)

Dado un elemento fijo \( a_0\in A \), existe el conjunto \( B_{a_0} \) formado por todos los elementos de la forma \( (a_0, b) \), para \( b \in B \), o sea, existe el conjunto:

\( B_{a_0}=\{(a_0,b):b\in B\} \).

¿Por qué existe ese conjunto? Se aplica el axioma de la unión, escribiendo:

\( B_{a_0} = \bigcup_{b\in B} \{(a_0,b)\}. \)

El resultado de esa unión existe y es un conjunto, por el axioma de la unión.

Ahora podemos hablar de una función \( f \) cuyo dominio es \( A \) y tal que \( f(a_0) = B_{a_0} \) para cada \( a_0 \in A \).
Por Axioma de Reemplazo, existe un conjunto que es la imagen de \( A \) por esta función.

O sea, existe el conjunto \( C = \{B_{a_0}:a_0\in A\}. \)

Finalmente, por axioma de la unión, la unión \( V \) formada por todos los elementos de \( C \) es un conjunto.

Ahora bien, se puede demostrar (y si no, al menos tratar de convencerse) de que el conjunto \( V \) consta exactamente de todos los pares ordenados de la forma \( (a, b) \), con \( a \in A, b\in B \).

Ergo, \( A \times{}B \) existe, es un conjunto en ZFC, porque \( A \times{}B \) coincide con lo que hemos llamado \( V \).


[cerrar]

02 Mayo, 2009, 04:43 pm
Respuesta #3

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,346
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
ZFC MK MK ;)  NBG

Teoría de Conjuntos MK (Morse-Kelley)

A continuación vamos a mostrar la lista de axiomas de la teoría MK de Morse y Kelley.

Para ello me he fijado un poco en un texto de Ivorra que está disponible en esta dirección:
Ivorra-Axiomas-Conjuntos

También se puede mirar la página de Wikipedia:
Wikipedia: Teoría de Morse-Kelley (en inglés)

Antes que explicarlo con mis palabras el enfoque de la teoría MK, creo que es mejor citar a Ivorra:

Si el planteamiento de ZF es "vamos a hablar de unos objetos llamados conjuntos y una relación de pertenencia que no definimos, pero que cumplen los axiomas siguientes", el planteamiento de MK es "vamos a hablar de unos objetos llamados clases y una relación de pertenencia que no definimos, pero que cumplen los axiomas siguientes". En otras palabras, ahora \( \forall X \) y \( \exists X \) se leen "para toda clase X" y "existe una clase X".

Todo objeto de la teoría MK es una clase. Hay clases que se llaman conjuntos, y otras que no son conjuntos. Éstas últimas se llaman clases propias.
Así que, todo conjunto es una clase. Pero, ¿cómo sabemos cuáles clases son conjuntos?
Es fácil, a partir de la siguiente definición:

Definición. Una clase \( X \) es un conjunto si y sólo si existe alguna clase \( Y \) tal que \( X \) pertenece a \( Y \). En símbolos:
                                 \( X\text{\ es un conjunto\ }\equiv{}\exists{Y}(X\in Y) \)

  • Axioma de Extensión. Dos clases son iguales si a ambas pertenecen los mismos elementos.
  • Axioma de Formación de Clases. Sea dada una propiedad \( \phi (x) \) aplicable a objetos \( x \) de la teoría MK.  Existe la clase Z de todos los \( x \) tal que \( x \) es un conjunto y \( \phi (x) \) es verdadera. Dicha clase se denota: \( Z=\{x:\phi (x)\} \).

    En este punto será útil que establezcamos convenciones y abreviaturas.
    Cuando las clases involucradas sean conjuntos, las denotaremos con letras minúsculas, como \( x, y, z \), etc.
    Cuando se trate de clases que pueden ser conjuntos o no, se denotarán con mayúsculas, como \( X, Y, Z \), etc.
    También se usarán abreviaturas asociadas a los cuantificadores, cuando aparezcan clases que son conjuntos.
    Más precisamente, se definen las abreviaturas siguientes:
    • \( \forall{x}\phi(x) \) es una forma abreviada de escribir la fórmula: \( \forall{X}(X\text{\ es un conjunto\ }\Rightarrow{} \phi(X)) \)
    • \( \exists{}{x}\phi(x) \) es una forma abreviada de escribir la fórmula: \( \exists{}{X}(X\text{\ es un conjunto\ }\wedge \phi(X)) \)
    • \( \{x:\phi(x)\} \) es una forma abreviada de escribir que: \( Y \) es la clase tal que \( \forall{x}(x\in Y \Leftrightarrow{\phi(x)}) \)

    Notemos esta sutileza: el segundo axioma nos dice que existe al menos una clase \( Y \) formada por todos los elementos \( x \) tales que \( \phi(x) \) es cierta, pero no nos asegura de si hay muchas de tales \( Y \).
    Para asegurarnos de que sólo hay una tal clase \( Y \) posible, se aplica el primer axioma.

    A partir de esos dos primeros axiomas, se pueden definir las clases siguientes:
    • \( \emptyset=\{x:x\neq x\} \) (clase vacía)
    • \( \mathcal{U}=\{x: x=x\} \) (clase universal)
    • \( X\cap Y =\{x:x\in X \wedge x\in Y\} \) (intersección de dos clases)
    • \( X\cup Y =\{x:x\in X \vee x\in Y\} \) (unión de dos clases)
    • \( \bar X=\{x:x\not\in X\} \) (clase complementaria)
    • \( X\setminus Y=\{x:x\in X \wedge x\not\in Y\} \) (diferencia de clases)
    • \( \mathcal{P}(X) = \{S:S\subset X\} \) (clase de partes o subconjuntos)
    • \( \{X_1,...,X_n\}=\{x:x\in X_1 \vee ... \vee x\in X_n\} \)
    • \( \bigcup_{X\in \mathcal{C}} X = \{x: \exists{X}(X\in\mathcal{C}\wedge x\in X)\} \) (unión de la familia de conjuntos que pertenecen a una clase \( \mathcal{C} \)).
    Si bien todos estos objetos existen como clases, no sabemos aún cuáles o cuándo son conjuntos o no.
    Eso se especifica mediante los siguientes axiomas.
  • Axioma del Par. Para cualesquiera clases \( x, y \) que también son conjuntos, existe la clase \( P \), tal que \( u\in P \) si y sólo si \( u=x \) ó \( u=y \). Además \( P \) es un conjunto, y se denota \( P=\{x,y\} \).
    Cuando \( x, y \) son conjuntos, entonces existen las clases \( \{x\}, \{x,y\}, \{\{x\},\{x,y\}\} \).
    Se define ahora el par ordenado de \( x, y \) como \( (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\} \).
    En general, si \( x, y \) son clases que no son conjuntos, se puede probar que \( \{x,y\}=\emptyset \), que es una especie de trivialidad (no tiene sentido trabajar con pares formados por clases).
    Si una de las clases, digamos \( x \) es un conjunto y la otra no, entonces \( \{x,y\} = \{x\} \).
    Lo importante es que siempre se puede formar la clase que es el par de otras dos clases, y dicha clase es un conjunto.
    Pero, sólo tiene sentido como ''par'' cuando ambas clases \( x,y, \) son también conjuntos.
    Ahora es posible definir el producto cartesiano de dos clases \( X, Y \) como
    \( X\times Y =\{u:\exists{v,w}(v\in X,w\in Y,u=(v,w))\}. \)
  • Axioma del conjunto vacío. Existe una clase tal que para toda clase que también es conjunto, x, ocurre que \( x\not\in\emptyset  \).
    Luego, la clase vacía \( \emptyset \) es un conjunto, el conjunto vacío.
  • Axioma de la Unión. Para toda clase \( \mathcal{C} \) que también sea conjunto, existe la clase \( \bigcup \mathcal{C}=\bigcup_{X\in \mathcal{C}} X \), formada por todos aquellos elementos \( x \) tales que existe un \( X\in\mathcal{C} \) tal que \( x\in X \). Además, la clase \( \bigcup\mathcal{C} \)es un conjunto.
    Si bien la unión de elementos de una clase dada está definida, para poder asegurar que esta unión es un conjunto, la clase dada debe ser también un conjunto.
  • Axioma del Conjunto Potencia. Dada una clase que es un conjunto, \( X \), la clase de sus partes \( \mathcal{P}(X) \) es un conjunto.
  • Axioma de Reemplazo. Si una función \( F \) tiene como dominio un conjunto \( A \), y es suprayectiva, su clase imagen B es un conjunto. En símbolos:
    \( \forall{F,X,Y}(F:X\to Y\text{\ suprayectiva\ }\wedge X \text{\ es un conjunto\ }\Longrightarrow{Y\text{\ es un conjunto}}). \)
    De aquí se puede deducir que:
    • Toda subclase de un conjunto es también un conjunto.
    • Para todos los \( X,Y \), \( X\times  Y \) es un conjunto.
    • Toda clase que es una relación entre un par de conjuntos (subclase del producto cartesiano del par) es también un conjunto.
    • Toda función F es una relación, y toda función cuyo dominio es un conjunto, es tal que su rango es un conjunto. Luego F es también un conjunto.
  • Axioma de Regularidad. Si X es una clase, que es un conjunto no vacío, entonces existe un elemento \( Y \in X \) tal que \( X\cap Y=\emptyset  \).
  • Axioma de Infinitud. En MK existe una clase, que es un conjunto, digamos \( X \), que contiene como elementos a los conjuntos \( \emptyset , \{\emptyset \}, \{\emptyset ,\{\emptyset \}\}, \) etcétera.
    Formalmente: \( \emptyset \in X \), y \( n\in X\Longrightarrow{n\cup \{n\}\in X} \).
  • Axioma de elección. Sea \( \mathcal{F} \) una clase que es un conjunto. Supongamos que además \( \mathcal{F} \) es una familia de conjuntos. Entonces existe una función de elección \( f \), que a cada elemento \( X \) no vacío de la familia \( \mathcal F \) le asigna un elemento \( x \) de \( X \). En símbolos:
    \( \forall{\mathcal{F}\text{\ conjunto\ }}(\exists{f}(f:\mathcal{F}\to \cup_{X\in \mathcal{F}} X, \forall{X\in \mathcal{F}}(X\neq\emptyset \Rightarrow{f(X)\in X}))) \).
    En particular, por el axioma de reemplazo, el rango \( B \) de \( f \) es un conjunto, el cual tiene un elemento \( x \) al menos de cada \( X \) de \( \mathcal F \).


02 Mayo, 2009, 04:43 pm
Respuesta #4

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,346
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
ZFC MK MK ;)  NBG

Axiomas de MK para el uso cotidiano.

Los axiomas de ZFC evitan que los matemáticos puedan hablar de clases como si fuesen objetos naturales de la teoría.
Se puede considerar en ZFC que una clase vendría a ser una fórmula de algún tipo, o sea, una construcción a base de primitivas lógicas, la cual no sería cuantificable.
En ZFC lo único que admite cuantificadores son unos términos primitivos llamados variables.
Cuando se arma una fórmula, se construye con términos primitivos y conectores, y en tal caso no es una variable. Todo esto está dicho, claro está, grosso modo.
Luego, las fórmulas que quedan dependiendo de ciertas variables, se piensa en ellas como definidoras de propiedades.
Si a través de los axiomas de la teoría ZF esas propiedades definen un objeto de la teoría, se dice que dicho objeto es un conjunto propiamente dicho. Si no define objeto alguno de la teoría, se puede pensar que esa fórmula rebelde es algo así como una clase propia.

Todas estas convenciones son de tipo interpretativo, vale decir, metalógico o metamatemático, como prefieran.
Pero para el trabajo matemático cotidiano, y acostumbrados como estamos todos nosotros al álgebra de clases, este tipo de cosas pueden traernos serias dudas.

A mí y a muchos otros nos gustaría que las clases propias sean objetos de la teoría misma, y que uno pueda decir que, simplemente, sus propiedades no definen conjuntos, y que, por ende, son objetos singulares de la teoría con los que hay que andarse con cuidado.

Las teorías NBG y MK permiten este tipo de tratamiento.
Además, veremos en su momento que ambas teorías son compatibles con la teoría ZFC,
o sea que en la práctica matemática cotidiana puede usarse una teoría u otra indistintamente.

Ahora bien. En textos en los que se desarrollan y explican estas teorías, como es el caso del libro de Ivorra, cuyo enlace puse en el post anterior, se prefiere expresar los axiomas de NBG y MK en un formato similar al que se usa en ZFC.
Estimo que esto se hace así para mostrar más claramente las relaciones entre ambas teorías, y ver que con un mismo lenguaje lógico ambas pueden expresarse de manera análoga.

No obstante, si uno tiene la intención de entender esos axiomas en función de la práctica cotidiana de la matemática, conviene tener una versión alternativa, más sencilla.

Por ejemplo, los axiomas que afirman que las clases vacía, clase de la unión sobre los elementos de un conjunto, clase de partes de un conjunto dado, se enunciarían más fácilmente diciendo que:
  • La clase vacía \( \emptyset \) es un conjunto.
  • Si \( \mathcal C \) es un conjunto, la clase unión \( \bigcup\mathcal C \) es un conjunto.
  • Si X es un conjunto, la clase potencia \( \mathcal{P}(X) \) es un conjunto.

Estas clases estaban definidas, al menos como clases, tras haber enunciado el Axioma de Formación de Clases.
En ZF hay que dar toda la descripción de esas clases en los Axiomas para establecer su existencia, lo cual equivale a decir que son conjuntos. Pues en ZF existir y ser conjunto es lo mismo.

Sin embargo, en NBF y MK podemos formar clases en base a ''propiedades'', o sea, en base a fórmulas lógicas con variables libres, y a continuación queda establecida la existencia de clases que cumplen dichas propiedades. El caso es que estas clases no siempre son conjuntos, y hay que decretar que lo son en algún axioma de la teoría, o bien probarlo con un teorema.

Me parece más sencillo de entender esta forma de trabajar, en la cual uno usa el Axioma de formación de clases para definir lo que se le ocurra, y a continuación dice que tal o cual clase así definida es o no un conjunto. Es más fácil de enunciar y de comprender, y si la teoría de conjuntos lo permite, tanto mejor, porque así nos ahorramos el tener que entender esas fórmulas lógicas tan rudas y complicadas, que tienen un estilo notacional poco familiar para la mayoría de nosotros.

Con esto en mente, yo pondría ahora usar el Axioma de Formación de Clases junto con el Axioma de Extensión, para enunciar que dos clases son iguales, escribiendo algo como:
\( A=\{a:\phi(a)\},B=\{b:\phi(b)\}\Longrightarrow{A= B} \).

Puedo dejar de lado el expresionismo lógico moderno de ZF, en base a fórmulas que se ven extrañas, para usar la notación más familiar de la teoría clásica de conjuntos, que usa esas famosas llavecitas { ... }.
Y eso es todo el meollo del asunto, quizá: la costumbre, la comodidad, la tradición.

Lo paradójico de todo esto es que, de tanto buscar la manera de entender la relación entre las fórmulas lógicas y la teoría de conjuntos clásica que uno cree manejar, al final uno termina comprendiendo esas intrincadas y poco amigables fórmulas de la lógica. Tanto así que al final uno podrá ''modernizarse'' escribiendo expresiones lógico-matemáticas al estilo de MK, por ejemplo.

Otro tipo de cosas que pueden probarse y usarse en las teorías NBG y MK es que los productos cartesianos de conjuntos también son conjuntos. Para ello en la prueba se necesita el axioma de la unión.
Junto al Axioma de Reemplazo, se puede probar que una función es ella misma un conjunto, si y sólo si, su dominio es un conjunto. En ese caso, una función termina siendo un caso especial de relación, o sea, un subconjunto del producto cartesiano de su dominio y de su rango.

¿Existen funciones que involucren clases propias?
Creo yo que en esto hay una gran cuestión que nos aleja del tratamiento cotidiano de funciones.
Una función se define en teoría axiomática de conjuntos a partir de una cierta fórmula, la cual satisface una propiedad que se denomina unicidad de la imagen, la cual más o menos nos podemos imaginar qué es lo que significa.
Estas funciones tienen un dominio y un rango, cada uno de los cuales es una determinada clase.
En cuanto una función \( f \) tiene como dominio un conjunto \( D \), su rango también es un conjunto \( R \), por el Axioma de Reemplazo, y se puede probar que \( f \) coincide (Axioma de Extensión) con una subclase del producto cartesiano \( D\times R \), el cual es un conjunto.
Pero entonces \( f \) es un conjunto en ese caso, formado por pares ordenados, con primera componente en \( D \) y segunda componente en \( R \).

Cuando el dominio de la función no es un conjunto, la función tampoco es un conjunto, o sea, ella y su dominio son clases propias. En ese caso, según lo que he interpretado del libro de Ivorra, la función no sería ''necesariamente'' una subclase del producto cartesiano de las clases dominio y rango.
Me refiero a que el producto cartesiano toma una forma más trivial, que no sirve para expresar bien a la función.

En cuanto al Axioma de Regularidad, sólo se encarga de evitar la existencia de conjuntos extraños, como aquellos que se pertenezcan a sí mismos, o situaciones más enredadas.
En la práctica cotidiana de la matemática, este axioma no nos sirve de nada, y no debemos preocuparnos por él.


02 Mayo, 2009, 04:53 pm
Respuesta #5

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,346
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
ZFC MK MK ;)  NBG

Teoría de Conjuntos NBG (Neumann-Bernays-Gödel)

Para completar la lista de sistemas estándar que establecen la teoría de conjuntos, listamos a continuación los Axiomas del sistema NBG, de von Neumann-Bernays-Gödel.

Al igual que en MK, se definen conjuntos como toda aquella clase que pertenece a alguna otra clase.
Se llaman clases propias a aquellas clases que no son conjuntos.
También se usa la convención de que las letras mayúsculas representan clases cualesquiera, mientras que las letras minúsculas denotan clases que son conjuntos.

Esta es la lista de Axiomas NBG:


  • Axioma de Extensión. Dos clases son iguales si a ambas pertenecen los mismos elementos.
  • Axioma de Intersección. Dadas dos clases cualesquiera, existe la clase de todos los elementos que pertenecen al mismo tiempo a ambas clases, que es su intersección.
    La intersección de las clases \( X \) e \( Y \) se denota \( X\cap Y \).
  • Axioma de Complemento. Dada una clase cualquiera \( X \), existe la clase complemento \( Y \), formada por todos aquellos conjuntos que no pertenecen a \( X \).
    Se denota \( Y = X^c \).
  • Axioma del Par. Para cualesquiera clases \( x, y \) que también son conjuntos, existe la clase \( P \), tal que \( u\in P \) si y sólo si \( u=x \) ó \( u=y \). Además \( P \) es un conjunto, y se denota \( P=\{x,y\} \).
    A partir de aquí tiene sentido definir el par ordenado de dos conjuntos \( x, y \), de la forma típica:

    \( (x,y)=\{x,\{x,y\}\} \)

    Esta definición satisface la propiedad de par ordenado: \( {(x,y) = (u,v) \Longleftrightarrow{x=y, y= v}} \).
  • Axioma de Pertenencia. Existe la clase \( A \) formada por todos los pares ordenados \( (x,y) \), de conjuntos \( x, y \) tales que \( x\in y \).
    En símbolos:

    \( \exists{A:\big[\forall{x,y:(x,y)\in A \Longleftrightarrow{x\in y}}\big]} \)
  • Axioma del Dominio de una Relación. Dada una clase formada por pares ordenados \( (x,y) \) de conjuntos \( x,y \), se puede formar una clase \( B \) que contiene a todas las primeras componentes \( x \) de dichos pares ordenados.
    En símbolos, esto se escribe así:
    \( \forall{A:[\exists{B:(\forall{x,y}:x\in B\Longleftrightarrow{\exists{y}:(x,y)\in A})}]} \)
    Aquí no se dice de entrada que la clase \( A \) está formada sólo por pares ordenados, sino que en realidad se toma una clase arbitraria \( A \), y se consideran todos los posibles pares ordenados que son elementos de \( A \).
  • Axioma del Producto Cartesiano. Dada una clase \( A \), se puede formar la clase \( B \) que contiene todos los pares ordenados \( (x,y) \) de conjuntos \( x,y \), donde \( x \) es un elemento de \( A \), e \( y \) es cualquier conjunto. En símbolos, está dicho así:

    \( \forall{A:[\exists{B:(\forall{x,y}:(x,y)\in B\Longleftrightarrow{x\in A})}]} \)
    Al parecer, está definiendo una clase \( B \) que contiene algo así como el "producto cartesiano" de \( A \) por la "clase universal".
    A partir de ahí, por medio de subclases, tendría sentido hablar del "producto cartesiano" de dos clases específicas \( C, D \), bastando para ello restringir las segundas componentes de los pares \( (x,y) \).
    No obstante, aún no hemos probado que existe dichas clase universal o las subclases, etc.
  • Axioma de Relación Inversa. Dada una clase formada por pares ordenados \( (x,y) \) de conjuntos \( x,y \), se puede formar la clase con los pares en orden invertido \( (y,x) \).
    El enunciado preciso es semejante el Axioma del Dominio, en que no se supone que la clase de partida \( A \) esté formada exclusivamente por pares ordenados, sino que se extraen de ella los elementos que son pares ordenados.
  • Axioma de Permutación de Ternas Ordenadas (1ra forma). Dada una clase \( A \) formada por ternas ordenadas \( (y, z,x) \) de conjuntos \( x, y, z \), se puede formar la clase de las correspondientes ternas permutadas \( (x,y,z) \).
    Los detalles y aclaraciones son similares a lo dicho en el Axioma de Relación Inversa.
  • Axioma de Permutación de Ternas Ordenadas (2da forma). Dada una clase \( A \) formada por ternas ordenadas \( (x,z,y) \) de conjuntos \( x, y, z \), se puede formar la clase de las correspondientes ternas permutadas \( (x,y,z) \).
    Los detalles y aclaraciones son similares a lo dicho en el Axioma de Relación Inversa.
  • Axioma del conjunto vacío. Existe una clase tal que para toda clase \( x \) que también es conjunto ocurre que \( x\not\in\emptyset  \).
    Además, la clase vacía \( \emptyset \) es un conjunto, el conjunto vacío.
  • Axioma de la Unión. Para toda clase \( \mathcal{C} \) que también sea conjunto, existe la clase \( \bigcup \mathcal{C}=\bigcup_{X\in \mathcal{C}} X \), formada por todos aquellos elementos \( x \) tales que existe un \( X\in\mathcal{C} \) tal que \( x\in X \). Además, la clase \( \bigcup\mathcal{C} \)es un conjunto.
  • Axioma de Reemplazo. Si \( a \) es un conjunto, y \( F \) es una clase "funcional", existe un conjunto \( b \), tal que \( y\in b \) siempre y cuando exista algún \( x\in a \) de manera que el par \( (x,y)\in F \).
    Lo que estamos diciendo es que la clase \( F \) está formada por pares ordenados, que a su vez tienen la propiedad de unicidad de la imagen, es decir, si \( (u,v),(u,w)\in F \) entonces \( v=w \).
    Por lo tanto \( F \) es una "función". No nos animamos a decirlo directamente, porque aún la teoría está en "formación", y el término "función" debe tener mayores precisiones.
    Finalmente, el Axioma define la "imagen" que se obtiene al aplicar la "función" \( F \) al "dominio" \( a \).
    Más aún, dicha "imagen" es un conjunto.
  • Axioma del Conjunto Potencia. Dado un conjunto \( x \), existe el conjunto formado por todos los subconjuntos de \( x \), y se denota \( \matchcal{P}(x) \).
  • Axioma de Regularidad. Si \( x \) es un conjunto no vacío, entonces existe un elemento \( y \in x \) tal que \( x\cap y=\emptyset  \).
  • Axioma de Infinitud. En NBG existe un conjunto \( x \) que contiene como elementos a los conjuntos \( \emptyset , \{\emptyset \}, \{\emptyset ,\{\emptyset \}\}, \) etcétera.
    Formalmente: \( \emptyset \in X \), y \( n\in X\Longrightarrow{n\cup \{n\}\in X} \).
    La idea es introducir un conjunto infinito.
    También puede hacerse admitiendo la existencia de una función biyectiva con una parte propia de algún conjunto no vacío.
  • Axioma de elección. Sea \( \mathcal{F} \) una clase que es un conjunto. Supongamos que además \( \mathcal{F} \) es una familia de conjuntos. Entonces existe una función de elección \( f \), que a cada elemento \( X \) no vacío de la familia \( \mathcal F \) le asigna un elemento \( x \) de \( X \).

Esta lista tiene una apariencia diferente a ZFC y MK.


02 Mayo, 2009, 04:53 pm
Respuesta #6

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,346
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
ZFC MK MK ;)  NBG

Es importante destacar las relaciones entre los tres sistemas.

Podemos imaginarnos que ZFC es una "subteoría" de NBG, y asimismo que NBG es una "subteoría" de MK.

¿Qué diferencia hay entre los "objetos" de los que se habla en cada teoría?
Primero voy a dar una respuesta infantil, y después doy la versión más técnica.

Podríamos pensar algo como esto:

  • Todo objeto que está en ZFC es un conjunto.
  • Los conjuntos que "están" en ZFC,NBG y MK son los "mismos".
  • En NBG y MK hay clases propias que, por definición, no son conjuntos.
  • Toda clase propia que "está" en NBG también "está" en MK.
  • Algunas clases propias que "están" en MK no "están" en NBG.

¿Por qué esa respuesta es "infantil?
Bueno, acá habría que entrar en ciertos detalles que me gustaría obviar sobre los Fundamentos de la Matemática, en los que aparecen Modelos asociados a teorías axiomáticas de conjuntos.

Intentaré explicar la situación sin entrar en tecnicismo alguno, mediante una analogía geométrica.
Imaginemos el concepto de "superficie curva bidimensional".
Podemos definir axiomáticamente lo que significa ser una superficie curva bidimensional, y demostrar diversos hechos sobre ella, como por ejemplo: que en cada punto tiene un plano tangente, o dar fórmulas para ciertas áreas o ángulos entre curvas sobre la superficie, etc.
Pero, dado una geodésica sobre la superficie, y un punto externo a ella, no podríamos asegurar si por dicho punto pasa una sola "paralela" a la geodésica dada.

Esto depende de cada superficie curva que tomemos como ejemplo.

Acá, decir "ejemplo" viene a ser sinónimo de "tomar un modelo específico en el que los axiomas de superficie curva se cumplen".
Hay propiedades que son particulares al ejemplo/modelo que se elija, y otras propiedades que son generales, pues valen para cualquier caso (en este caso, para toda superficie).

En la Teoría de Conjuntos pasa lo mismo.
Una lista de axiomas, como la de NBG, es una formulación axiomática abstracta, y luego habría que considerar diversos modelos que satisfacen (o no) esos axiomas.
Por ejemplo, hay modelos en donde vale la Hipótesis Generalizada del Continuo y modelos en los que no.

La cosa se complica si ahora estudiamos varios sistemas axiomáticos distintos al mismo tiempo: ZFC, NBG y MK. Hay "modelos" que servirán de "ejemplos" para unas teorías, y para otras no.

La relación entre las teorías dadas es la siguiente.

  • Dado un modelo que satisface los axiomas de ZFC, es posible ampliarlo agregándole clases propias, resultando un modelo que también satisface los axiomas de NBG.
    Esta ampliación es necesaria porque en ningún modelo de ZFC hay clases propias, mientras que en NBG siempre tenemos al menos una clase propia: la universal.
  • Todo modelo que satisface los axiomas de MK también satisface los axiomas de NBG.
    Sin embargo la recíproca no es cierta en general.
  • Todo teorema que se puede demostrar en ZFC, también se puede demostrar en NBG y en MK.
    Lo recíproco no siempre se cumple.
  • Todo teorema que se puede demosrtar en NBG, también se puede demostrar en MK.
    La recíproca no siempre se cumple.

En MK teníamos el Axioma de Formación de Clases.
En NBG no se tiene ese axioma, pero tenemos el siguiente teorema, que sirve al mismo propósito:

Teorema de Formación de Clases: Sea dada una propiedad \( \phi (x) \) aplicable a objetos \( x \) de la teoría NBG.  Existe la clase \( Z \) de todos los \( x \) tal que \( x \) es un conjunto y \( \phi (x) \) es verdadera. Dicha clase se denota: \( Z=\{x:\phi (x)\} \). (Hay un detalle técnico que aclaramos abajo).

Lo enunciamos porque es un resultado importante.
Omito los detalles de la demostración, pues requieren que uno se inmiscuya en cuestiones más específicas de la teoría de lenguajes de primer orden, que por ahora deseo evitar.

Hay sutilezas técnicas que no se ven a simple vista.
Una de ellas se refiere al tipo de fórmulas del lenguaje de primer orden que pueden utilizarse en el Teorema de Formación de Clases.
En NBG, las variables cuantificadas que aparezcan en la fórmula, tienen que referirse sólo a conjuntos, mientras que en MK no existe dicha restricción.

Si bien esto no agrega ni resta nada a la capacidad de construir o definir conjuntos, tendrá consecuencias en aspectos sutiles de la teoría: aparición de algunas nuevas clases propias en MK, o bien la posibilidad de demostrar teoremas sobre conjuntos en MK que en NBG o en ZFC no es posible demostrar.

Otro aspecto técnico es el siguiente:

Las teorías de conjuntos no pueden demostrar su propia consistencia, debido a que entran dentro del llamado Teorema de Gödel. Por lo tanto, siempre hay que "suponer" que tal o cual teoría es consistente (no contradictoria), y estudiar en todo caso la "consistencia relativa" entre sistemas, o sea: si suponemos que una teoría axiomática T1 es consistente podemos demostrar que otra teoría T2 también lo es.

Se puede decir, en tal sentido, que NBG tiene el mismo "riesgo de inconsistencia" que ZFC, vale decir, ambas teorías son igual de "consistentes", o bien la consistencia de una implica la de la otra.
Esto es llamativo, pues NBG tiene un universo de discurso más amplio que ZFC, ya que agrega clases propias.

Sin embargo, MK tiene un "riesgo de inconsistencia" estrictamente mayor que las otras dos teorías.
Esto echaría por tierra las recomendaciones que hice en el post anterior, en que sugería usar esta teoría para el trabajo cotidiano de la matemática.
El poder demostrativo de MK es mayor.

Es importante no enunciar teorías con demasiado "poder" porque caeríamos en el error de Frege, cuyo resultado fue una teoría profunda y audaz, pero lamentablemente inconsistente.

Tanto en NBG como en MK, el Axioma/Teorema de Formación de Clases es lo que simplifica la teoría, pues a partir de allí puede desarrollarse con gran comodidad el cálculo de clases. Luego, aclarar qué clases son o no conjuntos, es más fácil de indicar o visualizar.

Por ahora no entraré en más detalles sobre todo esto.




Anexo: Comentario hecho por Carlos Ivorra ((Correcciones varias))

Pese a su parecido con MK, la teoría NBG no es equivalente a ella, sino a ZFC y la diferencia en la Propiedad de Formación de Clases es precisamente lo que hay que quitarle a  MK para que resulte equivalente a  ZFC. La equivalencia consiste en que se puede demostrar que toda afirmación que haga referencia únicamente a conjuntos (sin mencionar clases propias) puede demostrarse en  ZFC si y sólo si puede demostrarse en  NBG, mientras que existen afirmaciones sobre conjuntos (sobre números naturales, incluso) que pueden demostrarse en  MK y, por el contrario, no pueden probarse en  NBG (supuesto que sea consistente).

02 Mayo, 2009, 05:59 pm
Respuesta #7

Héctor Manuel

  • Lathi
  • Mensajes: 3,700
  • País: mx
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Muy a grandes rasgos, sabemos que un sistema axiomático debe tener, entre otras cosas, los llamados términos indefinidos y relaciones indefinidas.  Por ejemplo, en la geometría neutral, Hilbert mantiene como términos indefinidos a punto, recta y plano, y entre los tres aximas de incidencia, usa como relación indefinida la relación "el punto A incide con la recta L", que intuitivamente entendemos como "el punto A está sobre la recta L", aunque repito, la relación de incidencia, o de orden cuando se dan los axiomas de orden en esa misma geometrìa, son relaciones indefinidas entre los objetos del sistema.

Como MK, lo que sucede es:  Los términos indefinidos serán llamadas clases, mientras que la relación indefinida será la relación de pertenencia denotada por \( \in{} \). Así, el símbolo \( a\in{b} \) significa "la clase \( a \) pertenece a la clase \( b \)"

Diremos que la clase \( a \) es un conjunto si y solo si existe una clase \( b \) tal que \( a\in{b} \).  A la clase que no contiene ninguna otra clase se le llama clase nula, denotada por \( O \).

Poco a poco, esta teoría enlista cerca de 11 axiomas que permiten establecer la teoria de conjuntos, y evita así la aparición de paradojas.

02 Mayo, 2009, 08:33 pm
Respuesta #8

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,346
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
ZFC MK MK ;)  NBG

Investigando un poco en la axiomática MK, que al parecer es una versión algo simplificada de la NBG, me doy cuenta que el conjunto vacío aparece tanto como una definición como en un axioma.
Si nos fijamos, pareciera que la clase vacía es algo que puede definirse sin más herramienta que el Axioma de Formación de Clases.
Pero después necesitamos establecer que dicha clase vacía es, en verdad, un conjunto.
Para eso se agrega el axioma del vacío.

Sin embargo, en dicho axioma del vacío, se vuelve a definir lo que significa conjunto vacío, y de una manera distinta a la clase vacía.
Ese axioma establece la existencia de una clase que no contiene elementos, y que a su vez, se decreta que es un conjunto.

Da la casualidad que la clase vacía coincide con esta clase sin elementos, debido al Axioma de Extensión.
Y en ese caso, como la clase sin elementos es un conjunto, la clase vacía es también un conjunto.
Y ambas cosas son lo mismo, y todos felices.

Sutilezas como esa aparecen en los axiomas de MK, y hay que andarse con cuidado.

Otro ejemplo es el Axioma de la Unión.
El Axioma sólo permite definir la unión para una familia de conjuntos pertenecientes a un gran conjunto dado.
El resultado es, claro, un conjunto.

Pero ese no es el problema. ¿Qué pasa si pretendo definir la unión de los elementos de una clase?
Si pudiera, muy posiblemente el resultado de la operación no sería un conjunto...
Pero antes de hacer la operación tengo que estar autorizado a hacerla. ¿Puedo?
El Axioma de la Unión no me dice nada acerca del operador de Unión definido sobre clases que no sean conjuntos.
Sin embargo, se puede definir la clase ''unión'' usando el Axioma de Formación de Clases.
Luego, ambos operadores de unión, en principio serían diferentes.
Sin embargo, cuando aplico sendos operadores de unión a conjuntos, la unión definida desde el Axioma de Formación de Clases me da el mismo resultado que la unión de conjuntos aceptada en el Axioma de la Unión.

Estos detalles me parecen algo molestos, y fuente de confusiones.
A lo mejor sean inevitables.
Pero en todo caso es bueno que tengamos en cuenta estas sutilezas que muchas veces no aparecen explicadas.
Porque los lógicos se han acostumbrado tanto a los objetos de su teoría, que se olvidan del resto de los mortales que no estamos habituados a usar ese lenguaje en forma cotidiana.
A la mayoría de nosotros nos cuesta digerir ese lenguaje.

Yo, por ejemplo, por más que leo y releo, no logro acostumbrarme.
Al final, con esfuerzo, y explicaciones, e investigación, uno termina comprendiendo.
Pero de ahí a captar todas las sutilezas del lenguaje de la lógica, hay un salto no menor.

En cuanto pueda he de agregar los Axiomas según NBG. (Ya están agregados)
Son similares en su filosofía al sistema MK, así que no nos estaríamos perdiendo de mucho.

Pero es importante conocerlo, entre otras cosas, por ser Godel uno de sus fundadores.

Saludos

22 Mayo, 2009, 07:32 pm
Respuesta #9

LauLuna

  • $$\Large \color{#c88359}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 545
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Argentinator,

te felicito por la idea de exponer los axiomas de las axiomáticas de conjuntos así como por el resultado de la iniciativa; muy buen trabajo.

Permíteme unos comentarios.

En la respuesta 2, al definir la relación de inclusión, dices "necesariamente ocurre" y creo que deberías decir simplemente "ocurre". El "necesariamente" conlleva demasiada filosofía y es inútil para la definición.

Ya lo he corregido. Gracias LauLuna.
Argentinator


En la respuesta 2, al exponer el axioma de elección, hablas de un conjunto que contenga "al menos un elemento" y creo que deberías decir "exactamente un elemento"; creo que en algunos usos del axioma de elección la diferencia puede ser relevante, por ejemplo, al deducir el lema de Zorn a partir del axioma de eleción, PERO NO ESTOY SEGURO AHORA MISMO.

En la respuesta 3 al enunciar el axioma de formación de clases deberías advertir que los objetos a los que se refiere no son clases cualesquiera sino conjuntos. Así la clase universal contiene a todos los conjuntos y sólo a ellos.

Finalmente, en lo referente a la filosofía que hay detrás de ZF frente a NBG/MK, me gustaría señalar el coste que conlleva el aceptar las clases propias (las que no son conjuntos) como objetos individuales: hay que prohibir porque sí la construcción de una clase que contenga alguna de ellas. Esto no es filosóficamente muy coherente: dejamos que el axioma de formación de clases (comprehensión) opere (más o menos) libremente (al contrario que en ZF) para darnos ciertos objetos individuales que luego resultan no ser objetos individuales porque no pueden ser elementos de clases; por ejemplo, no existe una clase unitaria que contenga a la clase universal. Entonces la libertad añadida con respecto a ZF resulta al final ilusoria, porque las paradojas no perdonan.

La idea de ZF me parece más coherente: sabemos por las paradojas que no es el caso que para cada propiedad de conjuntos exista el conjunto de todos los conjuntos que la poseen; restrinjamos entonces el axioma de comprehensión ingenuo y convirtámoslo en un axioma de separación o especificación: dada una propiedad P y un conjunto C, existe el conjunto de todos los elementos de C que poseen P. En realidad, esta idea es una versión de la tesis de teoría de modelos de que siempre que cuantificamos nuestros cuantificadores operan sobre un conjunto, nunca sobre un universo que no pueda ser un conjunto. Avances recientes en lógica sugieren que esa es la idea clave para la comprensión y evitación de las paradojas.

Pero reconozco que es posible que NBG/MK sean mejores para la práctica matemática en algunos aspectos. El axioma de formación de clases de MK es muy práctico pero también muy potente, hace a MK estrictamente más potente que NBG (creo que lo demostró Mostowski) y, por tanto, aumenta el riesgo de inconsistencia. Pero es cierto que uno sigue teniendo la poderosa impresión de que ZF, ZFC, NBG y MK son todas teorías consistentes.

Saludos.