[AveFenix]

Hola estoy con un ejercicio pero no entiendo    . Realicé la primera parte sin problemas pero luego ...

Saco captura porque es mas facil.

La primera parte no voy a entrar en detalle pero se obtiene

\[
f_n(x) = \begin{cases}
n^2x & \text{si } x \in [0, \frac{1}{n}) \\
-n^2x + 2n & \text{si } x \in [\frac{1}{n}, \frac{2}{n}) \\
0 & \text{si } x \in [\frac{2}{n}, +\infty)
\end{cases}
\]

ahora la parte de comprobar que fn converge puntualmente a f  en \( [0,1] \) donde \( f:f(x)=0 \)  y calcule \( \displaystyle\int_{0}^{1}fn(t) \) y \( \displaystyle\int_{0}^{1}f(t)dt \)

Para la convergencia puntual entonces lim n tiende a infinito,  pero como el intervalo es en \( [0,1] \) ?

A mi se me ocurre que digamos si tomo el tramo 1, en  \( n^2x \) si \( x \) esta en \( \in{[0,1/n)} \)  entonces como \( n\to \infty \) el intervalo es \( [0,0) \) (?) entonces \( n^2x \) es cero .

Tramo 2, lo mismo pero no me queda claro ya que ahi tenderia a \( +\infty \) no? pues \( -n^2x \) sera \( 0 \) pero \( 2n \) tiende a \( \infty \).

Tramo 3, ahi siempre es \( 0 \)

Luego lo de las integrales no me queda nada claro como se haría.

Gracias!

[delmar]

Hola

Respecto a la primera parte observa \( \forall{0<x\leq{1}}, \  \ \exists{N}\in{Z^+} \ / \ \displaystyle\frac{2}{N}<x\Rightarrow{si \ \ \ n\geq{N}\Rightarrow{f_n(x)=0}} \), por definición de límite \( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{f_n(x)}=0, \ 0<x\leq{1} \)
Si x=0 por ser \( f_n(0)=0, \ \forall{n}\in{Z^+} \) se implica también \( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{f_n(0)}=0 \)



Saludos

[AveFenix]

A ver, porque esta muy resumido lo tuyo. Lo que entiendo es lo siguiente.


Dada la sucesión de funciones \( f_n(x) \), definidas como sigue:

\[
f_n(x) = \begin{cases}
n^2x & \text{si } x \in [0, \frac{1}{n}) \\
-n^2x + 2n & \text{si } x \in [\frac{1}{n}, \frac{2}{n}) \\
0 & \text{si } x \in [\frac{2}{n}, +\infty)
\end{cases}
\]

Se requiere demostrar que \( f_n(x) \) converge puntualmente a \( f(x) = 0 \) en el intervalo \( [0,1] \).

Demostración:

1. Si \( x = 0 \): Cuando \( x = 0 \), independientemente del valor de \( n \), \( f_n(0) = 0 \). Esto se debe a que para cualquier \( n \), la primera condición en la definición de \( f_n(x) \) se cumple, ya que \( 0 \) pertenece al intervalo \( [0, \frac{1}{n}) \). Entonces, \( f_n(0) = n^2 \cdot 0 = 0 \). Dado que para cualquier \( n \), \( f_n(0) \) es siempre cero, se sigue que \( \lim_{n \to \infty} f_n(0) = 0 \).

2. Si \( 0 < x \leq 1 \): Para este caso, consideremos un \( x \) en este intervalo. Dado que \( x \) no es cero, existe un \( N \) tal que \( 2/N < x \). Esto significa que para \( n \geq N \), \( x \) estará en el intervalo \( [\frac{1}{n}, \frac{2}{n}) \). En este intervalo, la segunda condición en la definición de \( f_n(x) \) se cumple (??) , por lo que \( f_n(x) = 0 \). En otras palabras, para \( n \) suficientemente grande (es decir, \( n \geq N \)), la función \( f_n(x) \) es cero para \( x \) en el intervalo \( (0,1] \).

En ambos casos, para todo \( x \) en el intervalo \( [0,1] \), se tiene \( \lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0 \). Por lo tanto, la sucesión de funciones \( f_n(x) \) converge puntualmente a \( f(x) = 0 \) en el intervalo \( [0,1] \).



Estaría correcto asi?



Y la parte de las integrales como seria?

[AveFenix]

Intente hacer las integrales, estaría correcto asi?


1. Integral de \( f_n(t) \) desde \( 0 \) hasta \( 1 \):
\[
\int_{0}^{1} f_n(t) dt = \int_{0}^{1} \begin{cases}
n^2t & \text{si } t \in [0, \frac{1}{n}) \\
-n^2t + 2n & \text{si } t \in [\frac{1}{n}, \frac{2}{n}) \\
0 & \text{si } t \in [\frac{2}{n}, +\infty)
\end{cases} dt
\]

Dividimos la integral en tres partes:
\[
\int_{0}^{1} f_n(t) dt = \int_{0}^{\frac{1}{n}} n^2t dt + \int_{\frac{1}{n}}^{\frac{2}{n}} (-n^2t + 2n) dt + \int_{\frac{2}{n}}^{1} 0 dt
\]

Calculamos cada integral por separado:

a) Integral en el primer intervalo \( [0, \frac{1}{n}) \):
\[
\int_{0}^{\frac{1}{n}} n^2t dt = n^2 \int_{0}^{\frac{1}{n}} t dt = n^2 \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{\frac{1}{n}} = n^2 \left( \frac{1}{2n^2} - 0 \right) = \frac{1}{2}
\]

b) Integral en el segundo intervalo \( [\frac{1}{n}, \frac{2}{n}) \):
\[
\int_{\frac{1}{n}}^{\frac{2}{n}} (-n^2t + 2n) dt = \left[ -\frac{n^2t^2}{2} + 2nt \right]_{\frac{1}{n}}^{\frac{2}{n}} = -\frac{n^2}{2} \left( \frac{4}{n^2} - \frac{1}{n^2} \right) + 2n \left( \frac{2}{n} - \frac{1}{n} \right)
\]
\[
= -\frac{n^2}{2} \left( \frac{3}{n^2} \right) + 2n \left( \frac{1}{n} \right) = -\frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{2}
\]

c) Integral en el tercer intervalo \( [\frac{2}{n}, 1] \):
Como \( f_n(t) = 0 \) en este intervalo, la integral es cero.

Entonces, sumamos todas las integrales:
\[
\int_{0}^{1} f_n(t) dt = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 0 = 1
\]

2. Integral de \( f(t) \) desde \( 0 \) hasta \( 1 \):
\[
\int_{0}^{1} f(t) dt = 0
\]

Por lo tanto, la integral de \( f_n(t) \) desde \( 0 \) hasta \( 1 \) es \( 1 \), mientras que la integral de \( f(t) \) desde \( 0 \) hasta \( 1 \) es \( 0 \).

[delmar]

El razonamiento en 1) es correcto.

2) Para \( 0<x\leq{1} \) siempre \( \exists{N}\in{Z^+} \ / \ \displaystyle\frac{2}{N}<x\Rightarrow{si \ \ n\geq{N}\Rightarrow{\displaystyle\frac{2}{n}}<x} \) esto implica que \( f_n(x)=0 \ si \ \ n\geq{N} \)  por definición límite ....

Saludos

Nota : En lo que has puesto en 2 esta incorrecto

Haber, porque esta muy resumido lo tuyo. Lo que entiendo es lo siguiente.


Dada la sucesión de funciones \( f_n(x) \), definidas como sigue:

\[
f_n(x) = \begin{cases}
n^2x & \text{si } x \in [0, \frac{1}{n}) \\
-n^2x + 2n & \text{si } x \in [\frac{1}{n}, \frac{2}{n}) \\
0 & \text{si } x \in [\frac{2}{n}, +\infty)
\end{cases}
\]

Se requiere demostrar que \( f_n(x) \) converge puntualmente a \( f(x) = 0 \) en el intervalo \( [0,1] \).

Demostración:


2. Si \( 0 < x \leq 1 \): Para este caso, consideremos un \( x \) en este intervalo. Dado que \( x \) no es cero, existe un \( N \) tal que \( 2/N < x \). Esto significa que para \( n \geq N \), \( x \) estará en el intervalo \( [\frac{1}{n}, \frac{2}{n}) \). En este intervalo, la segunda condición en la definición de \( f_n(x) \) se cumple (??) , por lo que \( f_n(x) = 0 \). En otras palabras, para \( n \) suficientemente grande (es decir, \( n \geq N \)), la función \( f_n(x) \) es cero para \( x \) en el intervalo \( (0,1] \).

En ambos casos, para todo \( x \) en el intervalo \( [0,1] \), se tiene \( \lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0 \). Por lo tanto, la sucesión de funciones \( f_n(x) \) converge puntualmente a \( f(x) = 0 \) en el intervalo \( [0,1] \).



Estaría correcto asi?



Y la parte de las integrales como seria?

Lo que esta en rojo en incorrecto \( x>\displaystyle\frac{2}{n} \) por eso su valor \( f_n(x)=0 \)

[delmar]

La integración que has hecho sí es correcta.


Saludos

[AveFenix]

Gracias, Delmar, por tu contribución. En cuanto pueda, haré otra pregunta sobre topología en la sección correspondiente, te espero por ahi (?) xD . Saludos