[ancape]

Hola

A propósito del hilo planteado por petras https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=125589.msg512325;topicseen#msg512325 se me ocurre plantear algo parecido pero con las alturas, esto es:

Sea \( △ABC \) un triángulo cuyos lados miden \( BC=a \),\( AC=b \) y \( AB=c. \) Si \( ha \), \( hb \) y \( hc \) son las
mediciones de las alturas relativas a los lados \( BC \), \( AC \) y \( AB \), respectivamente.

a) Demuestre que existe un triángulo \( △DEF \) cuyos lados miden \( ha \), \( hb \) y \( hc \).
b) Determina la razón de las áreas de los triángulos \( △ABC \) y \( △DEF \).

He tratado de hacerlo de forma análoga a como hizo Luis con las medianas pero no sé adaptar la demostración. Sigo pensando en la adaptación o en una nueva.

Saludos

[ancape]

Hola

Adjunto una demostración del a), esto es, \( ha,hb,hc \) forman un triángulo. Creo que está bien pero no estoy muy seguro. ¡¡¡ Últimamente fallo mucho !!!

Spoiler

Podemos suponer que \( a\geq{b} \) y \( a\geq{c} \). Por cálculo del área de \( ABC \) tendremos \( a·ha = b·hb = c·hc \) \( \Rightarrow{} \) \( hb+hc=ha·(\displaystyle\frac{a}{b}+\displaystyle\frac{a}{c})\Rightarrow{}hb+hc\geq{}2·ha>ha \). Así \( ha>hb+hc \) y los segmentos \( ha,hb,hc \) forman un triángulo.

[cerrar]

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Adjunto una demostración del a), esto es, \( ha,hb,hc \) forman un triángulo. Creo que está bien pero no estoy muy seguro. ¡¡¡ Últimamente fallo mucho !!!


Podemos suponer que \( a\geq{b} \) y \( a\geq{c} \). Por cálculo del área de \( ABC \) tendremos \( a·ha = b·hb = c·hc \) \( \Rightarrow{} \) \( hb+hc=ha·(\displaystyle\frac{a}{b}+\displaystyle\frac{a}{c})\Rightarrow{}hb+hc\geq{}2·ha>ha \). Así \( ha>hb+hc \)

No está bien. Supongo que en lo que está en rojo querías poner \( ha<hb+hc \); pero aun así con eso lo único que pruebas es que la altura más pequeña de las tres es menor que la suma de las otras dos, lo cual es obvio.

Lo que si es correcto es tener en cuenta que \( a·ha = b·hb = c·hc \), de donde las alturas son inversamente proporcionales a los lados. Pero de ahí es fácil ver que entonces las alturas NO siempre formarán un triángulo. Por ejemplo si los lados son \( 2,5,6 \) sus inversos \( 1/2,1/5,1/6 \) NO forman un triángulo porque:

\( \dfrac{1}{2}>\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6} \).

Saludos.

[ancape]

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No está bien. Supongo que en lo que está en rojo querías poner \( ha<hb+hc \); pero aun así con eso lo único que pruebas es que la altura más pequeña de las tres es menor que la suma de las otras dos, lo cual es obvio.

Lo que si es correcto es tener en cuenta que \( a·ha = b·hb = c·hc \), de donde las alturas son inversamente proporcionales a los lados. Pero de ahí es fácil ver que entonces las alturas NO siempre formarán un triángulo.
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¡¡¡ Gracias !!!