Hola
"Para que la función sea derivable, debe existir y ser continua"
Simplemente:
1) Una condición necesaria para que una función sea derivable en un punto es que la función esté definida en un punto.
Ejemplos: Tu función \( f(x)=\begin{cases}{g(x)=x^2}&\text{si}& x\in \mathbb Q\\h(x)=6(x-3)+9 & \text{si}& x\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\end{cases} \) está definida en todo punto, porque para cualquier \( x\in \Bbb R \) está definido cuanto vale \( f(x). \)
La función \( f(x)=1/x \) sin embargo no está definida para \( x=0 \). Sería absurdo plantearse la derivabilidad en \( x=0. \)
2) Otra condición necesaria para que una función sea derivable en un punto es que sea continua. Si NO es continua ya no puede ser derivable. Si es continua, puede ser derivable en ese punto o puede no serlo.
Recuerda que condición necesaria para que se cumpla una propiedad, es una condición que, si NO se cumple es seguro que la propiedad no se verifica; pero si se cumple, la propiedad podría ser cierta o no.
Por ejemplo para ganar a lotería es condición necesaria jugar; si no juegas es imposible que la ganes. Ahora, jugar no te garantiza que ganes.
si \( x \) es racional, el dominio es para todo \( x \) , desde menos infinito a mas infinito
Olvida esta frase; sinceramente pudo querer decir cualquier cosa.
(1)- ¿Por qué la función tiene derivada en \( x=3 \)?
\( \displaystyle\lim_{x \to{3}}{\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}} \)
Este límite se convierte en dos:
(a)-\( \displaystyle\lim_{x \in \mathbb Q, x \to{3}}{\dfrac{x^2-9}{x-3}}=6 \)
(b)-\( \displaystyle\lim_{x \in \mathbb I, x \to{3}}{\dfrac{(6(x-3)+9)-9}{x-3}}=6 \)
Prueba de (a)
Para \( x\in \mathbb Q\;\forall{\epsilon_1>0}\;\exists\;{\delta_1} \) tal que si \( 0<|x-3|<\delta_1\Rightarrow{|g(x)-9|=|x^2-9|<\epsilon_1} \):
\( \delta_1=\mbox{mín}\left ({1,\dfrac{\epsilon_1}{3}}\right ) \)
Aunque la idea es buena, el problema es que lo que tenías que acotar por \( \varepsilon \) es:
\( \dfrac{x^2-9}{x-3}-6 \)
Tu has estudiado el límite:
\( \displaystyle\lim_{x \in \mathbb Q, x \to{3}}x^2-9=0 \)
en lugar de
\( \displaystyle\lim_{x \in \mathbb Q, x \to{3}}{\dfrac{x^2-9}{x-3}}=6 \)
Un error análogo lo has cometido en el trozo sobre los irracionales.
¿Por qué puedo definir límites dentro de los racionales, que tienen huecos en la recta real (viceversa para los irracionales)?
Para definir el concepto de límite en un punto tienes que poder acercarte a él tanto como quieras, simplemente. Puede ser por todos los números reales que hay en medio o dejar algún hueco. No hay ningún problema. Técnicamente no hay más que especificar que la variable \( x \) se mueve en un cierto conjunto \( D \). Y si calculamos el límite en \( x_0 \), tiene que haber puntos en \( D \) distintos de \( x_0 \) a distancia de \( x_0 \) "tan próxima" como queramos.
Si separamos el dominio de una función en dos subconjuntos, nos acercamos a un punto por cada uno de ellos, y por ambos alcanzan el mismo valor, la función se acerca a este valor por todo el dominio.
Supón que tienes:
\( f(x)=\begin{cases}{f_1(x)}&\text{si}& x\in A\\f_2(x) & \text{si}& x\in B\end{cases} \)
y
1) \( \displaystyle\lim_{x \to x_0,x\in A}{}f_1(x)=L \)
2) \( \displaystyle\lim_{x \to x_0,x\in B}{}f_2(x)=L \)
(*) Entonces por (1) dado \( \varepsilon>0 \) existe un \( \delta_1<0 \) tal que si \( 0<|x-x_0|<\delta_1 \), \( x\in A \) entonces \( |f_1(x)-L|<\varepsilon \)
(**) Por (2) dado \( \varepsilon>0 \) existe un \( \delta_2<0 \) tal que si \( 0<|x-x_0|<\delta_2 \), \( x\in B \) entonces \( |f_2(x)-L|<\varepsilon \)
Tomando \( \delta=\min(\delta_1,\delta_2) \) si \( 0<|x-x_0|<\delta \) tenemos:
- Si \( x\in A \), \( 0<|x-x_0|<\delta\leq \delta_1 \) y por (*) \( |f(x)-L|=|f_1(x)-L|<\varepsilon \)
- Si \( x\in B \), \( 0<|x-x_0|<\delta\leq \delta_2 \) y por (**) \( |f(x)-L|=|f_2(x)-L|<\varepsilon \)
Es decir, en cualquier caso si \( 0<|x-x_0|<\delta \) entonces \( |f(x)-L|<\varepsilon \)
Después para ver la NO derivabilidad en \( x\neq 3 \), lo más cómodo es ver que tan siquiera es continua (recuerda que la continuidad es una condición necesaria para la derivabilidad).
Para ello basta ver que sobre cada un de los dos conjuntos de definición (racionales e irracionales) el límite de la función en un punto \( x_0\neq 3 \) es diferente:
\( \displaystyle\lim_{x \to x_0,x\in \Bbb Q}{}f(x)=x_0^2 \)
\( \displaystyle\lim_{x \to x_0,x\in \Bbb I}{}f(x)=6x_0-9 \)
y \( x_0^2=6x_0-9 \) sólo si \( x_0=3 \).
Saludos.
