Hola, no, no son equivalentes. En general no se puede intercambiar el [texx] \exists [/texx] y [texx] \forall [/texx], y en las situaciones que se puede hacer, ese resultado se suele llamar teorema en mayúsculas.
Por ponerte un ejemplo útil, sea [texx] f_n:\mathbb R\longrightarrow \mathbb R [/texx] una sucesión de funciones y [texx] f:\mathbb R\longrightarrow \mathbb R [/texx] otra funcion. La propiedad:
$$ \forall \epsilon>0 \; \forall x\in \mathbb R \; \exists N \in \mathbb N \; \forall n\geq N \; |f_n(x)-f(x)|<\epsilon $$
Es equivalente a decir que, [texx] f_n [/texx] convergen a [texx] f [/texx] puntualmente:
$$ \lim_nf_n(x)=f(x), \;\; \forall x\in \mathbb R $$
Sin embargo la propiedad:
$$ \forall \epsilon>0 \; \exists N \in \mathbb N \; \forall x\in \mathbb R \; \forall n\geq N \; |f_n(x)-f(x)|<\epsilon $$
Es muchísimo más fuerte, y se llama límite uniforme: [texx] f_n [/texx] converge uniformemente a [texx] f [/texx].
Fíjate que sólo hemos intercambiado [texx] \exists N\in \mathbb N [/texx] y [texx] \forall x \in \mathbb R [/texx]. Esto significa que en el primer caso [texx] N=N(x,\epsilon) [/texx] puede depender de [texx] x [/texx] y [texx] \epsilon [/texx], pero en el segundo caso [texx] N=N(\epsilon) [/texx] sólo puede depender de [texx] \epsilon [/texx] (mucho más fuerte). ¿Qué implica ésto? Vamos a poner un ejemplo:
$$ f_n(x)=(x+\frac{1}{n})^2, \; f(x)=x^2 $$
Es fácil de ver que el límite puntual de [texx] f_n [/texx] es [texx] f [/texx]. Pero el límite no es uniforme pues si:
$$ |f_n(x)-f(x)|=\frac{2|x|}{n}+\frac{1}{n^2}<\epsilon $$
Entonces:
$$ n>\frac{2|x|}{\epsilon} $$
Luego no podemos escoger [texx] N [/texx] independiente de [texx] x [/texx].
Espero que este ejemplo aclare los conceptos de intercambiar los cuantificadores.
Ahora voy a dar un ejemplo sencillo, pon [texx] p(x,y)\equiv x=y [/texx].
Está claro que para todo [texx] y [/texx] hay un [texx] x\;(=y) [/texx] tal que se cumple [texx] p(x,y) [/texx].
Pero, no existe ningún [texx] x [/texx] tal que todo [texx] y [/texx] cumpla [texx] p(x,y) [/texx], (pues si [texx] x=3 [/texx] y [texx] x=5 [/texx], [texx] 3=5 [/texx] y esto no es verdad)
