Autor Tema: ¿Cómo refutar la paradoja de Russell en ZF?

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23 Marzo, 2021, 12:03 am
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Elius

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¿Cómo refutar la paradoja de Russell en ZF?

Abel Luis Peralta


El sistema de Zermelo-Fraenkel no impide plantear el esquema paradójico de Russell. Sólo que cuando se reemplaza el argumento por el conjunto que está siendo definido, el enunciado resultante es falso, no paradójico.

Conjunto \( R \) en el sistema de Frege:
   
   Por el axioma de comprehensión irrestricto:
         
\( \exists y\,\forall x(x\in y)\Leftrightarrow F(x) \)

...donde \( F(x) \) es cualquier fórmula bien formada del sistema. Reemplazando la fórmula, y el existencial por el nombre del conjunto definido:

\( \forall x(x\in R)\Leftrightarrow (x\notin x) \)

Instanciando la variable \( x \) con \( R \):

\( (R\in R)\Leftrightarrow (R\not\in R) \)

Conjunto \( R \) en el sistema ZF:

Por el axioma de especificación (llamado también de separación):

\( \exists y\,\forall x\,\exists z[(x\in y)\Leftrightarrow(x\in z)\wedge F(x)] \)

Reemplazando el esquema de la fórmula por una fórmula concreta, y el existencial por el nombre del conjunto definido:

|1|: \( \forall x\,\exists z [(x\in R)\Leftrightarrow (x\in z)\wedge (x\not\in x)] \)

No podemos reemplazar \( x \) por \( R \), porque no existe ningún conjunto \( z \) del cual sea miembro, por lo tanto no se cumple el segundo miembro de la equivalencia.

El sistema ZF también permite definir el complemento de \( R \) en forma independiente, es decir, sin usar el conjunto \( R \) en su definición, sino simplemente como el conjunto \( M \) de todos los conjuntos auto pertenecientes, los que sí son miembros de sí mismos.

\( \forall x\,\exists z [(x\in M)\Leftrightarrow(x\in z)\wedge(x\in x)] \)

Luego se puede construir el complemento de M, que es el complemento del complemento R, sin que en principio sea evidente su condición de doble complemento:

\(  \forall x\,\exists z[(x\in M^C)\Leftrightarrow (x\in z)\wedge (x\not\in M)] \)

Luego, instanciando en la fórmula |1|:

\( \exists z[(M^C\in R)\Leftrightarrow (M^C\in z)\wedge (M^C\not\in M^C)] \)

Pero \( MC \) es el complemento del complemento de \( R \), de modo que puede demostrarse que:

\( (M^C\subseteq R\wedge R\subseteq M^C)\Longrightarrow (R\equiv M^C) \)

 Es decir que  \( MC \) y  \( R \) son dos nombres para el mismo conjunto.

\( \exists z [(R\in R)\Leftrightarrow (R\in z)\wedge (R\not\in R)] \)

Si suponemos que \( R\in R \), entonces:
   
\( (R\in R)\Longrightarrow \exists z(R\in z)\wedge (R\not\in R) \)

\( \exists z(R\in z)\wedge (R\not\in R) \)

\( (R\not\in R) \)

Si suponemos que \( R\not\in R \), entonces:

\( \exists z(R\in z)\wedge (R\not\in R)\Longrightarrow (R\in R) \)

Por todo lo cual:

\( (R\in R)\Leftrightarrow(R\not\in R) \)

Si suponemos que \( R \) es miembro de algún conjunto se sigue con facilidad que es miembro de sí mismo, por Modus Ponens.

Si suponemos que \( R \) no es miembro de ningún conjunto, en particular no es miembro de sí mismo, por lo tanto pertenece a \( MC \), el complemento de \( M \), el conjunto de todos los conjuntos que son miembros de sí mismos; por lo tanto, no es el caso que no sea miembro de algún conjunto, y vale el párrafo anterior.

Asumo que habrá una forma de refutar este razonamiento, pero por el momento no alcanzo a vislumbrarlo.

Mensaje corregido desde la administración.

Debes de escribir las fórmulas en LaTeX.

23 Marzo, 2021, 09:59 am
Respuesta #1

geómetracat

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El axioma de separación en ZF que pones no es correcto. Debería ser:
\[ \forall z \exists y \forall x (x \in y \leftrightarrow x\in z \wedge F(x)) \].

Primero tienes que especificar un conjunto \[ z \], y entonces el axioma de separación te da el conjunto \[ y \] de los elementos de \[ z \] que cumplen la propiedad. Pero el conjunto \[ y \] depende de \[ z \].
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

23 Marzo, 2021, 05:36 pm
Respuesta #2

Elius

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El axioma de separación en ZF que pones no es correcto. Debería ser:
\[ \forall z \exists y \forall x (x \in y \leftrightarrow x\in z \wedge F(x)) \].

Primero tienes que especificar un conjunto \[ z \], y entonces el axioma de separación te da el conjunto \[ y \] de los elementos de \[ z \] que cumplen la propiedad. Pero el conjunto \[ y \] depende de \[ z \].
Te dejo adjuntas fotos de las páginas de "Los métodos de la lógica", de W.v.O. Quine, donde explica ese asunto.
Puesto que es un esquema axiomático, Zermelo dejó la variable *z* libre. Pero si la cuantificas universalmente, fíjate que cada miembro de *y* debería estar en todos los *z*. Eso implicaría que estaría en un conjunto dado y también en su complemento, lo que es imposible. Eso que hace que todo lo que se puede definir con ese axioma universalizado que pones son clases vacías, como bien dice Quine. En la segunda foto explica por qué usar el existencial.


23 Marzo, 2021, 06:58 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Creo que te has olvidado de adjuntar las fotos. Pero el axioma en ZF es el que he puesto yo, lo puedes comprobar en cualquier sitio donde aparezca la lista de axiomas de ZF.
De hecho es precisamente la idea para evitar la paradoja de Russell: como el axioma de comprehensión sin restricciones da lugar a paradojas, lo restringimos a que dado un conjunto \[ z \] (que sabemos previamente que existe) podemos formar el conjunto de los elementos de \[ z \] que cumplen la condición \[ F \]. Ahora la paradoja de Russell se convierte en una demostración en ZF de que no existe el conjunto de todos los conjuntos.

No es cierto que \[ y \] sea la clase vacía, pues el \[ y \] depende de \[ z \]. Es decir, cuando escribes \[ \forall z \exists y \dots \] esto quiere decir "para cada \[ z \] existe un \[ y \] (que puede ser distinto para cada \[ z \]) tal que...
Cosa distinta sería \[ \exists y \forall z \], eso sí quiere decir que hay un conjunto \[ y \] (siempre el mismo) tal que para todo \[ z \]...

Añadido:
La fórmula que pones, \[ \exists y\,\forall x\,\exists z[(x\in y)\Leftrightarrow(x\in z)\wedge F(x)]
 \], es trivialmente cierta (sin ningún tipo de especificación). Si tomas \[ y=\emptyset \], para cada conjunto \[ x \] se cumple \[ \exists z[(x\in \emptyset)\Leftrightarrow(x\in z)\wedge F(x)]
 \]. En efecto, tomando \[ z=\emptyset \] tenemos que se cumple \[ (x\in \emptyset)\Leftrightarrow(x\in \emptyset)\wedge F(x) \] (pues ambos lados son falsos, sea quien sea \[ F \]).

Añadido 2:
He visto ahora que las fotos del libro de Quine están en el primer mensaje.
Estás malinterpretando lo que dice. En la primera foto, cuando se dice que el axioma de separación de Zermelo no proporciona clases distintas de la clase vacía se refiere a que con ese axioma por sí solo no puedes demostrar que exista ningún conjunto que no sea el conjunto vacío. Por eso en ZF hay que añadir el axioma del par, el axioma de la unión, el axioma del conjunto potencia, etc, para poder formar otros conjuntos a partir del vacío. En cambio, en la versión irrestricta del axioma de comprehensión (aunque contradictoria) tales axiomas adicionales no eran necesarios.

En la segunda foto, lo que aparece es el axioma \[ \exists y \forall x (x \in y \leftrightarrow (\exists z\, x\in z) \wedge F(x)) \]. Pero esto no es equivalente a lo que ponías tú, pues no puedes sacar el \[ \exists z \] fuera del bicondicional. Este es un axioma que tiene mucho sentido en teorías donde el concepto primitivo son clases, como NBG. Aquí se define conjunto como una clase que pertenece a otra clase. Las clases que no son conjuntos (no pertenecen a ninguna otra clase) se llaman clases propias. Por tanto, una clase \[ x \] es un conjunto si cumple \[ \exists z(x \in z) \], que es lo que aparece en la fórmula. Es decir, este axioma te dice que para cada fórmula \[ F(x) \] existe una clase cuyos elementos son exactamente los conjuntos (¡y no las clases en general!) que cumplen \[ F(x) \].
Si intentas reproducir aquí la paradoja de Russell, aplicando esto a la fórmula \[ F(x):= x \notin x \], lo que ocurre es que el axioma te dice que existe una clase \[ R \] cuyos elementos son los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos. Entonces la paradoja de Russell se convierte en una demostración de que \[ R \] es una clase propia (no es un conjunto, \[ R \] no pertenece a ninguna otra clase).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

23 Marzo, 2021, 07:21 pm
Respuesta #4

manooooh

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Hola

Perdón el off-topic y quizás la respuesta sea bastante larga como para contestar, pero ¿por qué los conjuntos se denotan con letra minúscula? ¿No existe la noción de "elemento de un conjunto"? Porque en otro caso lo único que se me ocurre cuando veo \( x\in y \) donde \( x,y \) son conjuntos como ustedes afirman, es cuando \( y=\mathcal Px \).

Gracias y saludos

23 Marzo, 2021, 09:03 pm
Respuesta #5

geómetracat

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Perdón el off-topic y quizás la respuesta sea bastante larga como para contestar, pero ¿por qué los conjuntos se denotan con letra minúscula? ¿No existe la noción de "elemento de un conjunto"? Porque en otro caso lo único que se me ocurre cuando veo \( x\in y \) donde \( x,y \) son conjuntos como ustedes afirman, es cuando \( y=\mathcal Px \).
En las teorías axiomáticas de conjuntos más habitiales todo son conjuntos. Los elementos de un conjunto son a su vez conjuntos. No hay ninguna distinción entre "elemento de un conjunto" y "conjunto". En ZFC por ejemplo todo se construye a partir del conjunto vacío, en el sentido de que dado cualquier conjunto, si tomas elementos de los elementos de los elementos ... del conjunto, al final siempre llegas al conjunto vacío. Al principio esto puede chocar un poco, porque cuando se trabaja intuitivamente con conjuntos se suele hacer una distinción entre elementos y conjuntos, pero el hacerlo así simplifica mucho la teoría porque solamente hay un tipo de objeto.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

23 Marzo, 2021, 10:35 pm
Respuesta #6

Elius

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Creo que te has olvidado de adjuntar las fotos. Pero el axioma en ZF es el que he puesto yo, lo puedes comprobar en cualquier sitio donde aparezca la lista de axiomas de ZF.

Adjunté un pdf con la versión del axioma que prefieres. La paradoja se deduce igual.

Puedo sacar \( z \) fuera del bicondicional ya que la primera condición no contiene ninguna variable \( z \), y por las reglas de la forma prenexa, es posible.

24 Marzo, 2021, 01:15 am
Respuesta #7

Elius

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No es cierto que \[ y \] sea la clase vacía, pues el \[ y \] depende de \[ z \]. Es decir, cuando escribes \[ \forall z \exists y \dots \] esto quiere decir "para cada \[ z \] existe un \[ y \] (que puede ser distinto para cada \[ z \]) tal que...
Cosa distinta sería \[ \exists y \forall z \], eso sí quiere decir que hay un conjunto \[ y \] (siempre el mismo) tal que para todo \[ z \]...

La versión con el existencial es fácil de ejemplificar:

"Para todo x, x pertenece a NROS_PARES si y sólo si, x pertenece a los NROS_NATURALES y x dividido entre dos tiene resto cero"

En lógica antigua, esto se llamaba definición por género próximo y diferencia específica.

¿Podrías darme un ejemplo de definición de un conjunto con el cuantificador universal para el conjunto auxiliar \( z \)?

24 Marzo, 2021, 01:27 am
Respuesta #8

geómetracat

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Puedo sacar \( z \) fuera del bicondicional ya que la primera condición no contiene ninguna variable \( z \), y por las reglas de la forma prenexa, es posible.

No, no lo es. Un ejemplo sencillo (en los números naturales): \[ \exists x(x\neq 0 \leftrightarrow 0\neq0) \] es verdadera (porque \[ 0\neq 0 \leftrightarrow 0\neq 0 \] es verdadera al ser ambos lados falsos), pero \[ (\exists x \, x \neq 0) \to 0\neq 0 \] es falsa: el lado izquierdo es verdadero pero el derecho es falso.
El motivo último es que si \[ x \] no aparece en \[ \psi \], \[ \exists x(\phi(x) \to \psi) \] es equivalente a \[ (\forall x \, \phi(x)) \to \psi \] y no a \[ (\exists x \, \phi(x))\to \psi \]. En efecto, \[ \exists x(\phi(x)\to \psi) \equiv \exists x(\neg \phi(x) \vee \psi) \equiv (\exists x \neg \phi(x)) \vee \psi\equiv (\neg \forall x \phi(x)) \vee \psi \equiv (\forall x \phi(x)) \to \psi \].

Sobre el pdf: de \[ \forall z \exists y \forall x (x \in y \leftrightarrow (x\in z)\wedge F(x)) \] no puedes pasar a \[ \forall z \forall x (x \in R \leftrightarrow (x\in z)\wedge F(x)) \]. Los cuanticadores se deben eliminar de fuera hacia dentro, de manera que lo que es cierto es que fijado un \[ z \], existe un conjunto \[ R \], que depende de \[ z \], tal que \[ \forall x (x \in R \leftrightarrow (x\in z)\wedge F(x)) \]. Lo importante es que en esta última fórmula el \[ z \] ya está fijado.

De todas formas, esto no es muy relevante. Creo que el argumento que pretendías hacer es el argumento con clases, con el axioma de la segunda foto: \[ \exists y \forall x(x \in y \leftrightarrow (\exists z \, x \in z) \wedge F(x)) \].

Bien, veamos qué pasa. Tenemos que existe una clase \[ R \] que cumple:
\[ \forall x(x \in R \leftrightarrow (\exists z \, x \in z) \wedge x \notin x) \].
Por otro lado, tenemos una clase \[ M \] que cumple:
\[ \forall x(x \in M \leftrightarrow (\exists z \, x \in z) \wedge x\in x) \].
También tenemos el complemento de \[ M \]:
\[ \forall x(x \in M^c \leftrightarrow (\exists z \, x \in z) \wedge x \notin M) \].
Instanciando en la primera fórmula, tenemos:
\[ M^c \in R \leftrightarrow (\exists z \, M^c \in z) \wedge M^c \notin M^c \].
Como \[ M^c \] y \[ R \] son la misma clase, tenemos:
\[ R \in R \leftrightarrow (\exists z \, R\in z) \wedge R \notin R \] (cosa a la que podíamos haber llegado instanciando \[ R \] en la primera fórmula, sin dar tanta vuelta).
Pero ahora no hay paradoja. Si \[ R \in R \] entonces \[ (\exists z \, R\in z) \wedge R \notin R \], en particular \[ R \notin R \], contradicción. Por tanto debe ser \[ R \notin R \]. Pero ahora, la última fórmula te dice que \[ R \notin R \leftrightarrow \neg(\exists z \, R \in z) \vee R \in R \]. Si tuviéramos \[ \exists z \, R \in z \], entonces llegaríamos a \[ R \in R \] y sería una contradicción. Pero este argumento lo que demuestra entonces es que se tiene \[ \neg \exists z \, R \in z \] (y en particular que \[ R \notin R \]). No hay ninguna contradicción aquí. Es lo que te decía antes: la paradoja de Russell en NBG es una demostración de que \[ R \] es una clase propia.
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24 Marzo, 2021, 01:39 am
Respuesta #9

geómetracat

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La versión con el existencial es fácil de ejemplificar:

"Para todo x, x pertenece a NROS_PARES si y sólo si, x pertenece a los NROS_NATURALES y x dividido entre dos tiene resto cero"

En lógica antigua, esto se llamaba definición por género próximo y diferencia específica.
Lo siento, no lo entiendo muy bien. Esto es un ejemplo, ¿a qué exactamente?

Citar
¿Podrías darme un ejemplo de definición de un conjunto con el cuantificador universal para el conjunto auxiliar \( z \)?
No sé muy bien a qué te refieres. Pero cuando digo por ejemplo \[ \forall z \exists y \forall x (x \in y \leftrightarrow x\in z \wedge F(x)) \] lo que estoy diciendo es que para cada conjunto \[ z \] existe el subconjunto de \[ z \] formado por los elementos que cumplen \[ F(x) \].

Cuidado por eso: este axioma no es equivalente al de \[ \exists y \forall x (x \in y \leftrightarrow (\exists z \,x\in z) \wedge F(x)) \]. Este último te dice que existe la clase de todos los elementos que son conjuntos (pertenecen a alguna otra clase) y cumplen \[ F(x) \].

Por ejemplo, si aplicas el primer axioma a \[ x = x \], como \[ x=x \] es trivialmente cierto para todo \[ x \], obtienes que \[ \forall z \exists y \forall x (x\in y \leftrightarrow x \in z) \], que no es muy interesante: te está diciendo que para todo conjunto \[ z \] existe el subconjunto de \[ z \] formado por todos los elementos de \[ z \]. Pero esto es obvio, de hecho \[ y=z \].

En cambio, el segundo axioma aplicado a la misma fórmula te dice que \[ \exists y \forall x (x \in y \leftrightarrow (\exists z \, x \in z)) \]. Si llamamos \[ V \] a la clase \[ y \] cuya existencia afirma el axioma, este axioma te dice que existe una clase \[ V \] cuyos elementos son todas las clases que pertenecen a alguna otra clase (que en NBG son las clases a las que llamamos conjuntos).
Como ves, los dos axiomas dicen cosas muy distintas.
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