Autor Tema: ¿Es esta proposición falsa?

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15 Marzo, 2021, 10:01 pm
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w a y s

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Hola.

Estaba viendo la siguiente proposición:

   Sea $$\Bbb{R}$$ con la relación de orden usual. Consideremos $$X \subset \Bbb{R}$$ y el conjunto $$Q=\{x\in \Bbb{R}: x \leq 0\}$$ . Prueba que $$X$$ tiene mínimo si y sólo si $$X \cap Q$$ tiene mínimo.

Puedo tomar entonces $$X=\{x \in \Bbb{R}: 1 \leq x\}$$; luego $$X \subset \Bbb{R}$$ y $$1= mín (X)$$. Entonces se tiene $$X \cap Q= \emptyset$$. Mis dudas vienen ahora ya que de ser así ¿tiene el vacío mínimo? ¿está el vacío acotado? ¿sería entonces esta proposición falsa?

Muchas gracias de antemano.

Saludos.

16 Marzo, 2021, 12:21 am
Respuesta #1

feriva

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Hola.

Estaba viendo la siguiente proposición:

   Sea $$\Bbb{R}$$ con la relación de orden usual. Consideremos $$X \subset \Bbb{R}$$ y el conjunto $$Q=\{x\in \Bbb{R}: x \leq 0\}$$ . Prueba que $$X$$ tiene mínimo si y sólo si $$X \cap Q$$ tiene mínimo.

Puedo tomar entonces $$X=\{x \in \Bbb{R}: 1 \leq x\}$$; luego $$X \subset \Bbb{R}$$ y $$1= mín (X)$$. Entonces se tiene $$X \cap Q= \emptyset$$. Mis dudas vienen ahora ya que de ser así ¿tiene el vacío mínimo? ¿está el vacío acotado? ¿sería entonces esta proposición falsa?

Muchas gracias de antemano.

Saludos.

Acotado sí está, mira ( ). Mínimo... como no tiene ningún elemento, no sé, no estoy seguro.

Saludos.

16 Marzo, 2021, 01:34 am
Respuesta #2

Carlos Ivorra

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¿tiene el vacío mínimo?

No, el mínimo de un conjunto tiene que ser un elemento del conjunto, y el vacío anda escaso de elementos.

¿está el vacío acotado?

Sí. Cualquier número real es una cota superior e inferior del conjunto vacío.

¿sería entonces esta proposición falsa?

Tan falsa como un billete de 7 euros.

16 Marzo, 2021, 06:14 am
Respuesta #3

Fernando Revilla

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    Siguiendo con el vacío, se puede preguntar si para un conjunto ordenado \( E \) con orden \( \le \) existen \( \inf \emptyset \) y \( \sup \emptyset \) pues al contrario que con el máximo y mínimo, el ínfimo y el supremo de un conjunto no necesariamente han de pertenecer al conjunto.

    Para todo \( a\in E \), las implicaciones \( x\in\emptyset\Rightarrow x\le a \) y \( x\in\emptyset\Rightarrow a\le x \) son ciertas (antecedente falso) por tanto todo elemento de \( E \) es a la vez cota inferior y superior de \( \emptyset \) (como ya comentó Carlos). Por tanto, \( \inf \emptyset \) existe sí y sólo si existe \( \max E \), siendo \( \inf \emptyset =\max E \) y \( \sup \emptyset \) existe sí y sólo si existe \( \min E \), siendo \( \sup \emptyset =\min E \).

    Por ejemplo en \( \mathbb{R} \) con el orden usual, no existe ni \( \inf \emptyset \) ni \( \sup \emptyset \) pero en \( \overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \left\{{-\infty,+\infty}\right\} \) con el orden usual, tenemos \( \inf \emptyset=+\infty \) y \( \sup \emptyset=-\infty \). Aquí se da la aparente paradoja de que el ínfimo de un conjunto es mayor que su supremo, pero ya sabemos como se las gasta el conjunto vacío :).

17 Marzo, 2021, 09:26 pm
Respuesta #4

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Hola de nuevo. Antes que nada disculpad que haya tardado tanto en responder y gracias por haberme ayudado.


Acotado sí está, mira ( ).

feriva, sinceramente creo que no entiendo muy bien esto. ;D

¿tiene el vacío mínimo?

No, el mínimo de un conjunto tiene que ser un elemento del conjunto, y el vacío anda escaso de elementos.

¿está el vacío acotado?

Sí. Cualquier número real es una cota superior e inferior del conjunto vacío.

¿sería entonces esta proposición falsa?

Tan falsa como un billete de 7 euros.

Gracias Carlos Ivorra, por haber respondido a mis dudas.

    Siguiendo con el vacío, se puede preguntar si para un conjunto ordenado \( E \) con orden \( \le \) existen \( \inf \emptyset \) y \( \sup \emptyset \) pues al contrario que con el máximo y mínimo, el ínfimo y el supremo de un conjunto no necesariamente han de pertenecer al conjunto.

    Para todo \( a\in E \), las implicaciones \( x\in\emptyset\Rightarrow x\le a \) y \( x\in\emptyset\Rightarrow a\le x \) son ciertas (antecedente falso) por tanto todo elemento de \( E \) es a la vez cota inferior y superior de \( \emptyset \) (como ya comentó Carlos). Por tanto, \( \inf \emptyset \) existe sí y sólo si existe \( \max E \), siendo \( \inf \emptyset =\max E \) y \( \sup \emptyset \) existe sí y sólo si existe \( \min E \), siendo \( \sup \emptyset =\min E \).

    Por ejemplo en \( \mathbb{R} \) con el orden usual, no existe ni \( \inf \emptyset \) ni \( \sup \emptyset \) pero en \( \overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \left\{{-\infty,+\infty}\right\} \) con el orden usual, tenemos \( \inf \emptyset=+\infty \) y \( \sup \emptyset=-\infty \). Aquí se da la aparente paradoja de que el ínfimo de un conjunto es mayor que su supremo, pero ya sabemos como se las gasta el conjunto vacío :).

Gracias a ti también Fernando Revilla, por haber visto en mayor profundidad lo que respondía Carlos Ivorra, gracias a esto ya conseguí que me quedase claro del todo.

Gracias a todos de nuevo.

Saludos.

17 Marzo, 2021, 09:42 pm
Respuesta #5

feriva

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Hola de nuevo. Antes que nada disculpad que haya tardado tanto en responder y gracias por haberme ayudado.


Acotado sí está, mira ( ).

feriva, sinceramente creo que no entiendo muy bien esto. ;D


Tienes razón, tendría que ser cerrado [ ] :D

Saludos.

17 Marzo, 2021, 11:29 pm
Respuesta #6

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Hola de nuevo.

Hola de nuevo. Antes que nada disculpad que haya tardado tanto en responder y gracias por haberme ayudado.


Acotado sí está, mira ( ).

feriva, sinceramente creo que no entiendo muy bien esto. ;D


Tienes razón, tendría que ser cerrado [ ] :D

Saludos.

Perdona, creo que no me he explicado bien, a lo que yo me refería es a que no etniendo lo que significa poner $$2$$ paréntesis así $$()$$,sin que haya nada en medio, siento no haberme expresado con claridad.

Saludos.

18 Marzo, 2021, 12:02 am
Respuesta #7

feriva

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Hola de nuevo.

Hola de nuevo. Antes que nada disculpad que haya tardado tanto en responder y gracias por haberme ayudado.


Acotado sí está, mira ( ).

feriva, sinceramente creo que no entiendo muy bien esto. ;D


Tienes razón, tendría que ser cerrado [ ] :D

Saludos.

Perdona, creo que no me he explicado bien, a lo que yo me refería es a que no etniendo lo que significa poner $$2$$ paréntesis así $$()$$,sin que haya nada en medio, siento no haberme expresado con claridad.

Saludos.

Sí que te has expresado bien. Lo que puse era una especie de broma sin más importancia (como lo de los corchetes)

Saludos.

18 Marzo, 2021, 12:38 am
Respuesta #8

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Hola de nuevo.

Hola de nuevo. Antes que nada disculpad que haya tardado tanto en responder y gracias por haberme ayudado.


Acotado sí está, mira ( ).

feriva, sinceramente creo que no entiendo muy bien esto. ;D


Tienes razón, tendría que ser cerrado [ ] :D

Saludos.

Perdona, creo que no me he explicado bien, a lo que yo me refería es a que no etniendo lo que significa poner $$2$$ paréntesis así $$()$$,sin que haya nada en medio, siento no haberme expresado con claridad.

Saludos.

Sí que te has expresado bien. Lo que puse era una especie de broma sin más importancia (como lo de los corchetes)

Saludos.

Ah, ya veo, perdona. La verdad es que no había pensado que fuera broma, lo siento. ;D

Saludos.

18 Marzo, 2021, 08:31 am
Respuesta #9

feriva

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Ah, ya veo, perdona. La verdad es que no había pensado que fuera broma, lo siento. ;D

Perdóname tú a mí, a veces olvido que la ironía no se entiende bien en internet; salvo a veces, cuando se conoce mucho a una persona.
Suelo decir cosas en broma, pero siempre con cariño, sin maldad ninguna, porque tengo mucho respeto y admiración por todos los que sois matemáticos (profesores o alumnos) me parece una carrera muy difícil y de mucho mérito.

Saludos.