Autor Tema: Axioma de elección

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15 Marzo, 2021, 03:06 pm
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JordiMath

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Leo en el libro Teoría de Conjuntos de Carlos Ivorra (página 141), que una relación R en un conjunto A está bien fundada si y solo si no existe ninguna sucesión \( \{x_n\}_{n\in{\omega}} \) de elementos de A tal que \( \wedge{n}\in{\omega} \quad x_{n+1}Rx_n \)

Y posteriormente, en la demostración, si no lo entiendo mal, se dice que si se cumplen las hipótesis del principio de elecciones dependientes entonces la relación no está bien fundada.

Entonces, ¿ello significa que la relación expuesta en el principio de elecciones dependientes no está bien fundada? ¿Lo estoy entendiendo correctamente?

15 Marzo, 2021, 09:38 pm
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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Leo en el libro Teoría de Conjuntos de Carlos Ivorra (página 141), que una relación R en un conjunto A está bien fundada si y solo si no existe ninguna sucesión \( \{x_n\}_{n\in{\omega}} \) de elementos de A tal que \( \wedge{n}\in{\omega} \quad x_{n+1}Rx_n \)

Y posteriormente, en la demostración, si no lo entiendo mal, se dice que si se cumplen las hipótesis del principio de elecciones dependientes entonces la relación no está bien fundada.

Entonces, ¿ello significa que la relación expuesta en el principio de elecciones dependientes no está bien fundada? ¿Lo estoy entendiendo correctamente?

Sí, es cierto. El principio de elecciones dependientes te asegura que si una relación cumple su hipótesis entonces no está bien fundada. Pero no sólo que no está bien fundada en el sentido de la definición (que exista un conjunto sin minimal) sino en el sentido fuerte de que hay una sucesión decreciente respecto de la relación.

16 Marzo, 2021, 06:52 pm
Respuesta #2

JordiMath

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Entonces teniendo en cuenta que el principio de elecciones dependientes se puede inferir del axioma de elección (aunque entiendo que el axioma de elección es más amplio porque puede no ser dependiente), ¿no hay ahí una cierta contradicción con el axioma de regularidad? ¿La inexistencia de minimal y la existencia de una sucesión decreciente no son incompatibles con la regularidad?

16 Marzo, 2021, 06:57 pm
Respuesta #3

Carlos Ivorra

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Entonces teniendo en cuenta que el principio de elecciones dependientes se puede inferir del axioma de elección (aunque entiendo que el axioma de elección es más amplio porque puede no ser dependiente), ¿no hay ahí una cierta contradicción con el axioma de regularidad? ¿La inexistencia de minimal y la existencia de una sucesión decreciente no son incompatibles con la regularidad?

El axioma de regularidad dice que la relación de pertenencia está bien fundada, no que cualquier relación que puedas considerar tenga que estar bien fundada. Por ejemplo, si consideras los números naturales con la relación inversa al orden usual, es decir:

\( \cdots < 5<4<3<2<1<0, \)

se trata de una relación que no está bien fundada, y eso no contradice al axioma de regularidad ni a ningún otro axioma.