Autor Tema: Hallar el conjunto cociente de la siguiente relación.

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10 Marzo, 2021, 11:17 am
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w a y s

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Hola.

Tengo el siguiente enunciado:

  Se define en $$\Bbb{Z}$$ la relación de equivalencia dada por $$xRy$$ si $$x(x-1)-y(y-1)$$ es múltiplo de $$3$$. Determina el conjunto cociente $$\Bbb{Z}/R$$.

Estoy teniendo problemas para hallar las clases de equivalencia ¿Podría alguien, por favor, darme alguna idea?

Gracias de antemano.

Saludos.

10 Marzo, 2021, 11:49 am
Respuesta #1

feriva

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Hola.

Tengo el siguiente enunciado:

  Se define en $$\Bbb{Z}$$ la relación de equivalencia dada por $$xRy$$ si $$x(x-1)-y(y-1)$$ es múltiplo de $$3$$. Determina el conjunto cociente $$\Bbb{Z}/R$$.

Estoy teniendo problemas para hallar las clases de equivalencia ¿Podría alguien, por favor, darme alguna idea?

Gracias de antemano.

Saludos.

Una pista: son números consecutivos. En tres tres números consecutivos uno de ellos es múltiplo de tres. Ahora mismo no he pensado más; si no pasa nadie y me da tiempo, añado algo.

Aquí tenía que haber puesto signos de equivalente en vez de "=" (además ya había dicho Luis lo que había que hacer mientras escribía)
Ah, dice además conjunto cociente, que no había caído; no sólo para los resto cero.

Spoiler

Si el resto es 1 respecto de un sumando, en el otro será 2:

\( x^{2}-x-1=y^{2}-y-2
  \)

\( y^{2}-y=x^{2}-x+1
  \)

y análogamente, en otro caso, tomando las letras al revés, sin perder generalidad.

Quiere decir que \( x^{2}-x+1=ky
  \).

Luego, con resto cero la condición es \( x^{2}-x\pm y^{2}-y\equiv0(mod3)
  \)

Se tiene \( y^{2}-y=kx
  \) y viceversa, donde k es múltiplo de 3.

A ver si eso te puede servir para darte alguna idea al menos (incluso aunque me haya equivocado).


[cerrar]
Saludos.


10 Marzo, 2021, 12:01 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Hola.

Tengo el siguiente enunciado:

  Se define en $$\Bbb{Z}$$ la relación de equivalencia dada por $$xRy$$ si $$x(x-1)-y(y-1)$$ es múltiplo de $$3$$. Determina el conjunto cociente $$\Bbb{Z}/R$$.

Estoy teniendo problemas para hallar las clases de equivalencia ¿Podría alguien, por favor, darme alguna idea?

Gracias de antemano.

Fíjate que la relación es lo mismo que decir que \( xTy \) si \( x(x-1)\equiv y(y-1) \) mod \( 3 \)

¿Cuáles son los posibles restos módulo \( 3 \) al hacer \( x(x-1) \)?.

Sólo tienes tres casos a analizar. Si \( x\equiv 0,1,2 \) mod \( 3 \).

Saludos.

11 Marzo, 2021, 12:28 am
Respuesta #3

w a y s

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Hola de nuevo.

Antes que nada, muchas gracias a feriva y a Luis Fuentes por vuestra ayuda.

¿Cuáles son los posibles restos módulo \( 3 \) al hacer \( x(x-1) \)?.

Sólo tienes tres casos a analizar. Si \( x\equiv 0,1,2 \) mod \( 3 \).

Saludos.

Siguiendo por la idea que me dio Luis Fuentes. Puesto que la relación es de módulo $$3$$, como mucho se tendría que $$\Bbb{Z}/R=\{\left[ 0 \right] ,\left[ 1 \right] ,\left[ 2 \right] \}$$. he comprobado que $$0R1$$ y que $$0 \not R 2$$

Ahora bien, pongamos $$\Bbb{Z}/R=\{\left[ 0 \right] ,\left[ 2 \right] \}$$, Ahora quiero probar que es así, para ello he de probar que $$\left[0\right] \cap \left[2\right]=\emptyset$$ y  que $$\left[0\right] \cup \left[2\right]=\Bbb{Z}$$.

Comencemos por probar que $$\left[0\right] \cap \left[2\right]=\emptyset$$.

Basta con ver que $$0(0-1)-2(2-1)=-2$$ y dado que $$-2$$ no es múltiplo de $$3$$ se tiene que $$0 \not R 2$$ luego $$\left[0\right] \cap \left[2\right]=\emptyset$$.

Ahora vamos a probar que $$\left[0\right] \cup \left[2\right]=\Bbb{Z}$$. Lo haremos por doble inclusión.

Comencemos por ver si $$\left[0\right] \cup \left[2\right]\subset \Bbb{Z}$$. Por la definición de clase de equivalencia, tenemos que $$\left[0\right] \subset \Bbb{Z}$$ y que $$\left[2\right] \subset \Bbb{Z}$$, luego $$\left[0\right] \cup \left[2\right]\subset \Bbb{Z}$$

Ahora vamos a ver si $$\Bbb{Z} \subset \left[0\right] \cup \left[2\right]$$. Sea $$x \in \Bbb{Z}$$, entonces por el teorema de la división entera se tiene que existen únicos $$q,r \in \Bbb{Z}$$ tales que $$x=3q+r$$ con $$r \in \left[0,2\right]$$. Ahora tendremos que evaluar los tres casos.

  $$\bullet$$ Si $$r=0$$ entonces se tiene que $$x=3q$$ multiplicando por $$(x-1)$$ a ambos lados se tiene que $$x(x-1)=3q(x-1)=3(qx-q)$$; de donde se deduce que $$x(x-1)- 0(0-1)$$ es un  múltiplo de $$3$$ concluimos que $$x \in \left[0\right]$$

Y ahora cuando trato de ver para $$r=1$$ y para $$r=2$$ no soy capaz de concluir que es múltiplo de $$3$$.

¿Podría alguien decirme si por aquí voy bien?

Gracias de nuevo a ambos por vuestra ayuda. ;D

Saludos.

11 Marzo, 2021, 09:29 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Siguiendo por la idea que me dio Luis Fuentes. Puesto que la relación es de módulo $$3$$, como mucho se tendría que $$\Bbb{Z}/R=\{\left[ 0 \right] ,\left[ 1 \right] ,\left[ 2 \right] \}$$. he comprobado que $$0R1$$ y que $$0 \not R 2$$

Ahora bien, pongamos $$\Bbb{Z}/R=\{\left[ 0 \right] ,\left[ 2 \right] \}$$, Ahora quiero probar que es así, para ello he de probar que $$\left[0\right] \cap \left[2\right]=\emptyset$$ y  que $$\left[0\right] \cup \left[2\right]=\Bbb{Z}$$.

Comencemos por probar que $$\left[0\right] \cap \left[2\right]=\emptyset$$.

Basta con ver que $$0(0-1)-2(2-1)=-2$$ y dado que $$-2$$ no es múltiplo de $$3$$ se tiene que $$0 \not R 2$$ luego $$\left[0\right] \cap \left[2\right]=\emptyset$$.

Bien.

Citar
Ahora vamos a probar que $$\left[0\right] \cup \left[2\right]=\Bbb{Z}$$. Lo haremos por doble inclusión.

Comencemos por ver si $$\left[0\right] \cup \left[2\right]\subset \Bbb{Z}$$. Por la definición de clase de equivalencia, tenemos que $$\left[0\right] \subset \Bbb{Z}$$ y que $$\left[2\right] \subset \Bbb{Z}$$, luego $$\left[0\right] \cup \left[2\right]\subset \Bbb{Z}$$

Si. Aunque sobran las justificaciones. En cualquier relación de equivalencia, cualquier clase, por definición, es un subconjunto del conjunto donde definimos la relación.

Citar
Ahora vamos a ver si $$\Bbb{Z} \subset \left[0\right] \cup \left[2\right]$$. Sea $$x \in \Bbb{Z}$$, entonces por el teorema de la división entera se tiene que existen únicos $$q,r \in \Bbb{Z}$$ tales que $$x=3q+r$$ con $$r \in \left[0,2\right]$$. Ahora tendremos que evaluar los tres casos.

  $$\bullet$$ Si $$r=0$$ eentonces se tiene que $$x=3q$$ multiplicando por $$(x-1)$$ a ambos lados se tiene que $$x(x-1)=3q(x-1)=3(qx-q)$$; de donde se deduce que $$x(x-1)- 0(0-1)$$ es un  múltiplo de $$3$$ concluimos que $$x \in \left[0\right]$$

Bien.

Citar
Y ahora cuando trato de ver para $$r=1$$ y para $$r=2$$ no soy capaz de concluir que es múltiplo de $$3$$.

En general si \( x=3k+r \) entonces:

\( x(x-1)=(3k+r)(3k+r-1)=3k(3k+r-1)+3kr+r(r-1)=3(k(3k+r-1)+kr)+r(r-1) \)

Entonces:

- si \( r=1 \) el resultado es \( 0=0(0-1) \) por tanto \( x \) está en la clase del \( 0 \).
- si \( r=2 \) el resultado es \( 2=2(2-1) \) por tanto \( x \) está en la clase del \( 2 \).

Saludos.

11 Marzo, 2021, 10:48 am
Respuesta #5

w a y s

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Hola de nuevo Luis Fuentes.

Muchas gracias por revisar lo que llevaba hecho y por ayudarme a concluirlo.

Ya lo veo claro. :)

Gracias de nuevo.

Saludos.