Autor Tema: Paradoja de Russell: una solución gramatical

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13 Marzo, 2021, 04:26 am
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Elius

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Rehabilitación de la Teoría Intuitiva de Conjuntos

La versión del Barbero

Sostengo la hipótesis de que muchas paradojas llamadas lógicas o semánticas o de teoría de conjuntos, se originan en una limitación del lenguaje usado para generarlas.

En la versión popular de la paradoja de Russell conocida como "del barbero", y como consecuencia del lenguaje deliberadamente primitivo que se usa para construirla (para aproximarlo al lenguaje de la aritmética, sin modalidad ni tiempo), el barbero sólo puede quedar paralizado ante la contradicción:

“Barbero afeita x si y sólo si x no afeita x”

Luego, reemplazando x por “barbero”:

“Barbero afeita barbero si y sólo si barbero no afeita barbero”.

El barbero aprende a hablar un español castizo

En verdad, parece como si el barbero hubiera bajado del barco desde tierras en las que no se habla español.
Pero si usamos el lenguaje en modo normativo (entendiéndolo como una forma “diferida” del modo imperativo) y temporal (que no por eso es menos científico, porque la física usa un lenguaje matemático, al que incorpora el tiempo, desde hace siglos, y el lenguaje en modo normativo está incorporado a todos los procedimientos, por lo menos desde el algoritmo de Euclides, con el modismo "sea x tal que..."):

“El barbero debe afeitar a x, si y sólo si x no ha afeitado a x”.

Entonces, al reemplazar x por “el barbero”, resulta:

“El barbero debe afeitar al barbero, si y sólo si el barbero no ha afeitado al barbero”.

Ninguna contradicción, ninguna paradoja. El resultado es más bien trivial:

“Si el barbero no se ha afeitado, debe afeitarse”.

Asumiendo el lugar de Frege

También la versión principal de la paradoja (referida a conjuntos) puede evitarse, en el lenguaje de la Teoría de Conjuntos canónica, con un mínimo de precauciones.

Tal como la conocemos, la paradoja se construye de este modo.

Definamos el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos:

   \( x ∈ z ⇔ x ∉ x  \)

Reemplazando x por z:

   \(  z ∈ z ⇔ z ∉ z  \)



De la paradoja a la tautología

Ahora bien, el conjunto definido en realidad no es un conjunto independiente, sino el complemento de otro conjunto, el conjunto de todos los conjuntos que SÍ son miembros de sí mismos:

   \(  x ∈ z ⇔ x ∈ x  \)

Entonces podemos deducir su complemento, con base en los complementos de todos sus miembros:

    \( \sim{(x ∈ z)} ⇔ \sim{(x ∈ x)} \)

Entonces, reemplazando x por \( z \) :

    \( \sim{(z ∈ z)} ⇔ \sim{(z ∈ z)} \)
   
Se transforma entonces en una tautología trivial (no siempre las tautologías son triviales). Douglas Hofstadter (Gödel, Escher, Bach: un eterno y grácil bucle)no estaría feliz con esta solución.

El catálogo de catálogos que no se nombran a sí mismos

Este caso no está comprendido en la solución, porque no es una paradoja, sino un dilema.
La diferencia es que el dilema tiene solución, pero no completa. Tiene que cumplir dos condiciones: que ningún catálogo nombrado se nombre a sí mismo, y que ningún catálogo de ese tipo quede fuera.
Puede cumplir sólo la primera condición. Si se nombra a sí mismo es inconsistente. De modo que es fatalmente incompleto. Pero no es paradójico.

Perspectivas para una teoría intuitiva de conjuntos

Para lograr esto, no es necesario prohibir la autoreferencia, ni contar con teorías de tipos.
Sólo hay que evitar tratar a los complementos como si fueran conjuntos independientes.
¿Creen que se podría reconstruir la teoría intuitiva de conjuntos sobre esta base, con limitado alcance, pero en forma consistente?