Autor Tema: Duda en sección 1.5 del libro Teoría descriptiva de conjuntos de Carlos Ivorra

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

21 Febrero, 2021, 02:42 pm
Leído 322 veces

Eparoh

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 291
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola a todos, tengo algunas dudas relativas a la sección 1.5 del libro Teoría descriptiva de conjuntos, las cuales intentaré exponer a continuación de la mejor forma posible.

La primera duda es respecto a la definición 1.35, donde no entiendo a que se refiere la última parte de la definición, cuando se dice que de igual forma se define \( S(\Gamma) \) para \( \Gamma \) una clase de conjuntos definida sobre una familia de espacios topológicos.

¿Querría decir que \( A \in S(\Gamma) \) si, y solo si, existe un esquema de Suslin \( F: \omega^{<\omega} \longrightarrow \Gamma \) tal que \( S(F)=A \)?

Pero, si esto es así entonces ¿estamos entendiendo los esquemas de Suslin definidos ahora sobre clases en lugar de conjuntos?

Ahora, el resto de mis dudas son respecto al teorema 1.37.

La primera duda que me surge es si la condición de los diámetros es independiente de la métrica completa que se considere en el espacio polaco. Me explico.

Al probar que a) implica b), la condición de los diámetros se demuestra a partir de la continuidad de \( f \) y como la continuidad es una propiedad topológica, obtenemos el mismo resultado independientemente de la métrica que consideremos en \( X \). Por tanto entiendo que hemos probado que si \( A \) es analítico, entonces existe un esquema de Suslin que cumple todas las condiciones de b), donde al hacer referencia a la condición de los diámetros, se entiende que es independiente de la métrica que se considere en \( X \).

Ahora bien, al probar b) implica c), se fija previamente una métrica en \( X \) con la que se define \( F' \) el esquema de Suslin buscado. Entonces, la demostración de que \( F' \) cumple la condición de los diámetros la he desarrollado de esta forma:

Dado \( s \in \omega^n \) y dos puntos \( x, y \in F'(s) \), se tiene que \( d(x, F(x)), d(y,F(s)) < 1/n \) luego existen \( z_1, z_2 \in F(s) \) tales que \( d(x,z_1), d(y,z_2) < 1/n \) y así

\( d(x,y) \leq d(x,z_1) + d(z_1,z_2) + d(z_2, y) < \dfrac{2}{n} + d(F(s)) \)

Por tanto, dado \( x \in \mathcal{N} \), se tiene que de lo anterior

\( d\left(F' \left(x|_n \right)\right)=\operatorname{sup} \left\{d(x,y): x, y \in F' \left(x|_n \right) \right\} \leq \dfrac{2}{n} + d(F(x|_n)) \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0 \)

y efectivamente \( F' \) satisface la condición de los diámetros para la métrica \( d \).
Pero, ¿no podría haber otra métrica completa equivalente a \( d \) en \( X \) para la cual \( F' \) no satisficiera la condición de los diámetros?

En general, he visto que si las dos métricas \( d, d' \) definidas en \( X \) son Lipschitz-equivalentes  (es decir, existen \( \alpha, \beta >0 \) tales que para cada par de puntos \( x, y \in X \), \( \alpha d'(x,y) \leq d(x,y) \leq \beta d'(x,y) \)) entonces si un esquema de Suslin \( A \) satisface la condición de los diámetros para \( d \), lo satisface también para \( d' \) y viceversa. Sin embargo, no lo he podido ver en general y me queda esa duda de la dependencia con la métrica en el teorema 1.37.

Mi segunda duda es respecto a que d) implica a), pues no veo porque es consecuencia directa del teorema 1.36.

Por último, esto no es en si una duda pero si me gustaría saber si he entendido más o menos bien la definición 1.35 y el comentario después de está.
Según entiendo, dado \( X \) un espacio polaco, hemos probado que

\( \Sigma_1^1 (X) = S(\Pi_1^0(X))=S(\Sigma_1^0(X))=S(\mathcal{B}(X)) \)

pues, si \( A \subset X \) es analítico, entonces por b) y c) del teorema 1.37 se tiene que \( A \in S(\Pi_1^0(X)) \), \( A \in S(\Sigma_1^0(X)) \) y \( A \in S(\mathcal{B}(X)) \); y recíprocamente, si \( A \) estuviera en cualquiera de estos tres conjuntos, en particular será \( A=S(F) \) con \( F \) un esquema de Suslin analítico, y por d) del teorema 1.37, será \( A \) analítico.

¿Es esto correcto?

Ps. En la demostración del teorema 1.37 al probar a) implica b), en la parte de ver la condición de los diámetros, ¿no habría que tomar \( B_{\epsilon/2} (f(x)) \) para que el diámetro fuera efectivamente al final menor o igual que \( \epsilon \)? Quiero decir, si no, el diámetro de la bola \( B_{\epsilon} (f(x)) \) es \( 2 \epsilon \) y con todo tendrías que el diámetro de \( F_{x|_n} \) es \( \leq 2 \epsilon \). De cualquier forma, se que la prueba es correcta aunque obtengas un \( 2 \epsilon \) al final, solamente quiero saber si es realmente una errata o estoy confundido en algo.

Un saludo y muchas gracias por las respuestas.

21 Febrero, 2021, 04:17 pm
Respuesta #1

Carlos Ivorra

  • Administrador
  • Mensajes: 9,674
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Página web personal
La primera duda es respecto a la definición 1.35, donde no entiendo a que se refiere la última parte de la definición, cuando se dice que de igual forma se define \( S(\Gamma) \) para \( \Gamma \) una clase de conjuntos definida sobre una familia de espacios topológicos.

¿Querría decir que \( A \in S(\Gamma) \) si, y solo si, existe un esquema de Suslin \( F: \omega^{<\omega} \longrightarrow \Gamma \) tal que \( S(F)=A \)?

Pero, si esto es así entonces ¿estamos entendiendo los esquemas de Suslin definidos ahora sobre clases en lugar de conjuntos?

Más o menos: Un esquema de Suslin es una aplicación \( F:\omega^{<\omega}\longrightarrow \mathcal PX \) (o, más en particular, podemos exigir que sus imágenes sean conjuntos de una clase \( \Gamma \), es decir, que sean abiertos, o cerrados, etc.) Así, un esquema de Suslin actúa sobre sucesiones finitas de números naturales y da subconjuntos de un conjunto \( X \).

A su vez, a cada esquema de Suslin \( F \) cuyas imágenes sean subconjuntos de \( X \) le podemos asociar el conjunto \( S(F)\subset X \).

Así, el operador de Suslin \( S \) actúa sobre esquemas de Suslin y a cada uno le asigna un subconjunto de \( X \).

A su vez, si \( \Gamma \) es una clase de subconjuntos de \( X \), podemos definir otra clase de subconjuntos de \( X \) que llamamos \( S(\Gamma) \), formada por todos los conjuntos de la forma \( S(F) \), donde \( F \) recorre los esquemas de Suslin  \( F:\omega^{<\omega}\longrightarrow \Gamma \).

Y, un poco más en general, si \( \Gamma \) es una clase de conjuntos definibles en cualquier espacio topológico (o polaco) \( X \), es decir, que para cada espacio \( X \) tenemos una clase \( \Gamma(X) \), como pueda ser la clase de los abiertos de \( X \), o la de los cerrados de \( X \), o la de los conjuntos de Borel de \( X \), etc., entonces podemos definir una clase \( S(\Gamma) \) que, en cada espacio \( X \) se particulariza a la clase \( S(\Gamma)(X) \) formada por los conjuntos de la forma \( S(F) \), donde  \( F:\omega^{<\omega}\longrightarrow \Gamma(X) \).

Así, por ejemplo, el teorema 1.37 implica que si \( \Gamma \) es la clase de los cerrados en espacios polacos (es decir, si, para cada espacio polaco \( X \), se cumple que \( \Gamma(X) \) es la clase de los cerrados en \( X \)), entonces \( S(\Gamma) \) es la clase de los conjuntos analíticos en espacios polacos (es decir, que \( S(\Gamma)(X) \) es la clase de los conjuntos analíticos en \( X \)). En efecto, por el apartado b) todo conjunto analítico está en \( S(\Gamma) \) y por el apartado d) (donde no hay condiciones impuestas sobre el esquema de Suslin), todo conjunto de \( S(\Gamma)(X) \) es analítico.

Ahora, el resto de mis dudas son respecto al teorema 1.37.

La primera duda que me surge es si la condición de los diámetros es independiente de la métrica completa que se considere en el espacio polaco. Me explico.

Al probar que a) implica b), la condición de los diámetros se demuestra a partir de la continuidad de \( f \) y como la continuidad es una propiedad topológica, obtenemos el mismo resultado independientemente de la métrica que consideremos en \( X \). Por tanto entiendo que hemos probado que si \( A \) es analítico, entonces existe un esquema de Suslin que cumple todas las condiciones de b), donde al hacer referencia a la condición de los diámetros, se entiende que es independiente de la métrica que se considere en \( X \).

En efecto, la prueba muestra que si \( A \) es analítico, entonces b) se cumple con cualquier métrica completa que induzca la topología de \( X \).

Ahora bien, al probar b) implica c), se fija previamente una métrica en \( X \) con la que se define \( F' \) el esquema de Suslin buscado. Entonces, la demostración de que \( F' \) cumple la condición de los diámetros la he desarrollado de esta forma:

Dado \( s \in \omega^n \) y dos puntos \( x, y \in F'(s) \), se tiene que \( d(x, F(x)), d(y,F(s)) < 1/n \) luego existen \( z_1, z_2 \in F(s) \) tales que \( d(x,z_1), d(y,z_2) < 1/n \) y así

\( d(x,y) \leq d(x,z_1) + d(z_1,z_2) + d(z_2, y) < \dfrac{2}{n} + d(F(s)) \)

Por tanto, dado \( x \in \mathcal{N} \), se tiene que de lo anterior

\( d\left(F' \left(x|_n \right)\right)=\operatorname{sup} \left\{d(x,y): x, y \in F' \left(x|_n \right) \right\} \leq \dfrac{2}{n} + d(F(x|_n)) \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0 \)

y efectivamente \( F' \) satisface la condición de los diámetros para la métrica \( d \).
Pero, ¿no podría haber otra métrica completa equivalente a \( d \) en \( X \) para la cual \( F' \) no satisficiera la condición de los diámetros?

¿Y eso qué importa? Has probado que si b) se cumple para una métrica, entonces c) se cumple para esa misma métrica, luego si b) se cumple para todas las métricas, entonces c) se cumple para todas las métricas, ¿no?

En general, he visto que si las dos métricas \( d, d' \) definidas en \( X \) son Lipschitz-equivalentes  (es decir, existen \( \alpha, \beta >0 \) tales que para cada par de puntos \( x, y \in X \), \( \alpha d'(x,y) \leq d(x,y) \leq \beta d'(x,y) \)) entonces si un esquema de Suslin \( A \) satisface la condición de los diámetros para \( d \), lo satisface también para \( d' \) y viceversa. Sin embargo, no lo he podido ver en general y me queda esa duda de la dependencia con la métrica en el teorema 1.37.

Nada de esto es necesario, por lo que he dicho justo arriba. A ver si estás de acuerdo.

Mi segunda duda es respecto a que d) implica a), pues no veo porque es consecuencia directa del teorema 1.36.

Tienes razón. Eso presupone que ya sabemos que \( \Sigma_1^1=S(\Pi_1^0) \). En cuanto pueda me ocupo de revisar eso, que ahora mismo no puedo.

Por último, esto no es en si una duda pero si me gustaría saber si he entendido más o menos bien la definición 1.35 y el comentario después de está.
Según entiendo, dado \( X \) un espacio polaco, hemos probado que

\( \Sigma_1^1 (X) = S(\Pi_1^0(X))=S(\Sigma_1^0(X))=S(\mathcal{B}(X)) \)

pues, si \( A \subset X \) es analítico, entonces por b) y c) del teorema 1.37 se tiene que \( A \in S(\Pi_1^0(X)) \), \( A \in S(\Sigma_1^0(X)) \) y \( A \in S(\mathcal{B}(X)) \); y recíprocamente, si \( A \) estuviera en cualquiera de estos tres conjuntos, en particular será \( A=S(F) \) con \( F \) un esquema de Suslin analítico, y por d) del teorema 1.37, será \( A \) analítico.

¿Es esto correcto?

Exacto.

Ps. En la demostración del teorema 1.37 al probar a) implica b), en la parte de ver la condición de los diámetros, ¿no habría que tomar \( B_{\epsilon/2} (f(x)) \) para que el diámetro fuera efectivamente al final menor o igual que \( \epsilon \)? Quiero decir, si no, el diámetro de la bola \( B_{\epsilon} (f(x)) \) es \( 2 \epsilon \) y con todo tendrías que el diámetro de \( F_{x|_n} \) es \( \leq 2 \epsilon \). De cualquier forma, se que la prueba es correcta aunque obtengas un \( 2 \epsilon \) al final, solamente quiero saber si es realmente una errata o estoy confundido en algo.

Cierto, hay que poner \( \epsilon/2 \). En cuanto pueda lo cambio, gracias.

21 Febrero, 2021, 04:49 pm
Respuesta #2

Eparoh

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 291
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola, todo lo referente a la definición 1.35 está ya claro, muchas gracias  ;D

¿Y eso qué importa? Has probado que si b) se cumple para una métrica, entonces c) se cumple para esa misma métrica, luego si b) se cumple para todas las métricas, entonces c) se cumple para todas las métricas, ¿no?

Respecto a esto, no lo veo tan claro, no se si estoy perdiéndome en algo, pero me intento explicar.
En a) implica b), tenemos que para el esquema de Suslin \( F \) definido, independientemente de la métrica equivalente que impongamos en \( X \) se da la condición de los diámetros. Sin embargo, en b) implica c) aunque partamos de que existe un esquema de Suslin \( F \) para toda métrica equivalente cumpla la condición de los diámetros, para definir \( F' \) nos basamos en una métrica concreta y es para dicha métrica para la que se puede probar que se cumpla la condición, pero si ahora cambiáramos de métrica para la \( F' \) ya definida, no veo tan claro si se cumpliría o no.

Quiero decir, de a) a b), hemos probado que para un único esquema de Suslin la condición de los diámetros se cumple independientemente de la métrica, pero por lo que me comentas, de b) a c), tenemos que para cada métrica existe un esquema de Suslin, que pueden ser distintos para distintas métricas, que cumple la condición.

Mi segunda duda es respecto a que d) implica a), pues no veo porque es consecuencia directa del teorema 1.36.

Tienes razón. Eso presupone que ya sabemos que \( \Sigma_1^1=S(\Pi_1^0) \). En cuanto pueda me ocupo de revisar eso, que ahora mismo no puedo.

Vale si, presuponiendo eso si veo porque sería inmediato, pero en parte eso es justo lo que queremos demostrar.
Si encontrara algún argumento que lo demuestre lo pondré por aquí, pero con el poco conocimiento que tengo del tema probablemente lo hayas revisado antes de que yo encuentre nada.

Un saludo y de nuevo, muchas gracias.

21 Febrero, 2021, 05:06 pm
Respuesta #3

Carlos Ivorra

  • Administrador
  • Mensajes: 9,674
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Página web personal
Vamos a probar que \( \Sigma_1^1 = S(\Pi_1^0) \) (todas las clases deberían estar en negrita, pero en LaTeX es una lata ponerlo).

Tomamos \( A\in S(\Pi_1^0) \). Esto significa que \( A=S(F) \), donde \( F \) es un esquema de Suslin cerrado (sin suponer la condición de los diámetros ni nadda). Considera el conjunto

\( C=\{(y, x)\in \mathcal N\times X\mid \forall n\in \omega\, x\in F(y|_n)\} \)

Vamos a ver que \( C \) es cerrado en \( \mathcal N\times X \). Para ello vamos a ver que su complementario es abierto. Tomamos un punto \( (y, x)\in (\mathcal N\times X)\setminus C \), lo cual significa que existe un \( n\in\omega \) tal que \( x\notin F(y|_n) \). Sea \( U=X\setminus F(y|_n) \), que es un abierto en \( X \).

Vamos a ver que \( (y, x)\in B_{y|_n}\times U\subset (\mathcal N\times X)\setminus C \), y esto probará que el complementario de \( C \) es un entorno de todos sus puntos.

Ciertamente \( (y, x)\in B_{y|_n}\times U \) y, si tomamos cualquier punto \( (y', x')\in B_{y|_n}\times U \), entonces tenemos que \( y'|_n=y|_n \), luego \( x'\in U=X\setminus F(y'|_n) \), luego \( (y',x')\notin C \), como queríamos probar.

Ahora basta observar que \( A=S(F)=\pi_X[C] \) (la proyeccion de \( C \) en la segunda componente), luego \( A \) es analítico por el teorema 1.32.

Y ahora que ya sabemos que  \( \Sigma_1^1 = S(\Pi_1^0) \), resulta que  \( S(\Sigma_1^1) = S(S(\Pi_1^0))=S(\Pi_1^0)=A \).


Me ocupo de tu mensaje anterior en cuanto pueda.

21 Febrero, 2021, 05:46 pm
Respuesta #4

Carlos Ivorra

  • Administrador
  • Mensajes: 9,674
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Página web personal
Respecto a esto, no lo veo tan claro, no se si estoy perdiéndome en algo, pero me intento explicar.
En a) implica b), tenemos que para el esquema de Suslin \( F \) definido, independientemente de la métrica equivalente que impongamos en \( X \) se da la condición de los diámetros. Sin embargo, en b) implica c) aunque partamos de que existe un esquema de Suslin \( F \) para toda métrica equivalente cumpla la condición de los diámetros, para definir \( F' \) nos basamos en una métrica concreta y es para dicha métrica para la que se puede probar que se cumpla la condición, pero si ahora cambiáramos de métrica para la \( F' \) ya definida, no veo tan claro si se cumpliría o no.

Quiero decir, de a) a b), hemos probado que para un único esquema de Suslin la condición de los diámetros se cumple independientemente de la métrica, pero por lo que me comentas, de b) a c), tenemos que para cada métrica existe un esquema de Suslin, que pueden ser distintos para distintas métricas, que cumple la condición.

A ver, que igual no te he entendido. Todo lo que dices es cierto. Yo creía que estabas indicando que podría faltar algo en la prueba de c) (si es así, la respuesta es que está bien como está), pero ahora me parece entender que lo que tu preguntas no es si falta algo para que la demostración de c) sea correcta, sino que ves que lo es, pero te preguntas si no se podría demostrar más de lo que se afirma, y probar que el esquema de c) se puede tomar como en b), que valga el mismo para todas las métricas o, más en general aún, si la propiedad de los diámetros es independiente de la métrica. ¿Es eso? ¿No estás diciendo que falte nada a la prueba de c), sino más bien preguntas si se puede probar algo más fuerte que c)?

Si crees que a c) le falta algo, lo hablamos, porque no creo que falte nada. Si te refieres a si se cumple más de lo que se prueba, tendría que pensarlo. Yo diría que no me parece probable, pero lo pensaré.

21 Febrero, 2021, 06:20 pm
Respuesta #5

Eparoh

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 291
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola, todo claro ya respecto a d) implica a) con el penúltimo comentario, muchas gracias.

A ver, que igual no te he entendido. Todo lo que dices es cierto. Yo creía que estabas indicando que podría faltar algo en la prueba de c) (si es así, la respuesta es que está bien como está), pero ahora me parece entender que lo que tu preguntas no es si falta algo para que la demostración de c) sea correcta, sino que ves que lo es, pero te preguntas si no se podría demostrar más de lo que se afirma, y probar que el esquema de c) se puede tomar como en b), que valga el mismo para todas las métricas o, más en general aún, si la propiedad de los diámetros es independiente de la métrica. ¿Es eso? ¿No estás diciendo que falte nada a la prueba de c), sino más bien preguntas si se puede probar algo más fuerte que c)?

Si crees que a c) le falta algo, lo hablamos, porque no creo que falte nada. Si te refieres a si se cumple más de lo que se prueba, tendría que pensarlo. Yo diría que no me parece probable, pero lo pensaré.

Tal vez debería haber empezado por preguntar por que se entiende en el enunciado del teorema 1.37 al decir que el esquema de Suslin cumple la condición de los diámetros. Si la respuesta a esto es que dada una métrica fija sobre la que trabajar con \( X \), entonces todas las equivalencias son ciertas, nada que objetar respecto a la demostración, pues es lo que entendí originalmente que significaba. Sin embargo, al ver que en la demostración de a) implica b), la métrica era independiente ya no estaba seguro.

Un saludo.

21 Febrero, 2021, 06:29 pm
Respuesta #6

Carlos Ivorra

  • Administrador
  • Mensajes: 9,674
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Página web personal
Creo que sí que es cierto: si un esquema de Suslin \( F \) tiene la propiedad de los diámetros para una métrica \( d \), la tiene para cualquier otra \( d' \). Supongamos que no. Vamos a suponer que \( F \) es decreciente.

Entonces existe un \( x\in \mathcal N \) tal que la sucesión \( \{d'(F(x|_n)\}_n \) no tiende a \( 0 \). Esto significa que existe un \( \epsilon>0 \) tal que para todo \( n \) existe un \( m\geq n \) tal que \( d'(F(x|_m))> \epsilon \). Esto nos permite definir una sucesión creciente \( \{n_k\}_k \) de modo que \( d'(F(x|_{n_k})>\epsilon \) para todo \( k \).

Esto a su vez implica que podemos tomar un par de puntos \( a_k, b_k\in F(x|_{n_k}) \) tales que \( d'(x_k, y_k)>\epsilon \).

Ahora bien, la sucesión

\( a_0, b_0, a_1, b_1, \ldots \)

es de Cauchy para la métrica \( d \), porque \( F \) es decreciente y se cumple la condición de los diámetros para \( d \) (a partir de un índice suficientemente grande, todos los términos están dentro de un mismo conjunto de diámetro arbitrariamente pequeño). Por lo tanto, las tres convergen a un mismo punto \( p\in X \), y esto es algo que sólo depende de la topología, pero entonces la sucesión también tendría que ser de Cauchy para \( d' \) (toda sucesión convergente es de Cauchy) y eso no es cierto.

Me falta pensar si la condición de que \( F \) sea decreciente se puede eliminar. Sospecho que sí, pero voy con el tiempo justo. En cuanto pueda lo pienso un poco.

Tal vez debería haber empezado por preguntar por que se entiende en el enunciado del teorema 1.37 al decir que el esquema de Suslin cumple la condición de los diámetros. Si la respuesta a esto es que dada una métrica fija sobre la que trabajar con \( X \), entonces todas las equivalencias son ciertas, nada que objetar respecto a la demostración, pues es lo que entendí originalmente que significaba. Sin embargo, al ver que en la demostración de a) implica b), la métrica era independiente ya no estaba seguro.

Ah, sí. Cuando se habla de la condición de los diámetros es para una métrica prefijada. No hay ninguna necesidad de considerar todas a la vez.

21 Febrero, 2021, 07:47 pm
Respuesta #7

Eparoh

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 291
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola.

Creo que sí que es cierto: si un esquema de Suslin \( F \) tiene la propiedad de los diámetros para una métrica \( d \), la tiene para cualquier otra \( d' \). Supongamos que no. Vamos a suponer que \( F \) es decreciente.

La demostración si me parece completamente correcta, con lo que parece que al menos el caso para esquemas de Suslin decrecientes es cierto, y aunque el general no lo fuera, con esto ya se tendría que el teorema que discutíamos es efectivamente cierto en la generalidad que yo planteaba pues en todos los casos en los que se pide que el esquema cumpla la condición de los diámetros se pide también que sea decreciente, ¿no?

Un saludo y gracias.

21 Febrero, 2021, 07:56 pm
Respuesta #8

Carlos Ivorra

  • Administrador
  • Mensajes: 9,674
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Página web personal
La demostración si me parece completamente correcta, con lo que parece que al menos el caso para esquemas de Suslin decrecientes es cierto, y aunque el general no lo fuera, con esto ya se tendría que el teorema que discutíamos es efectivamente cierto en la generalidad que yo planteaba pues en todos los casos en los que se pide que el esquema cumpla la condición de los diámetros se pide también que sea decreciente, ¿no?

En efecto. Lo he pensado un poco, pero si los esquemas no son decrecientes la situación se desdibuja mucho. No veo claro que tenga que cumplirse, pero, en efecto, para la versión "fuerte" del teorema basta. Ahora, también te digo que el hecho de que valga un mismo esquema para todas las métricas no creo que tenga mucha utilidad. Uno elige una métrica y trabaja con ella. Nunca es necesario trabajar con todas a la vez.

En cuanto pueda modifico el libro.

21 Febrero, 2021, 10:27 pm
Respuesta #9

Carlos Ivorra

  • Administrador
  • Mensajes: 9,674
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Página web personal
Ya está corregida la prueba en el libro. Gracias.   :D