Autor Tema: Dado \(XRY\iff X\cap A\subseteq Y\cap A\) responder preguntas

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16 Febrero, 2021, 07:43 pm
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Dave

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Sea \( A \) un conjunto no vacío con conjunto universal \( E \). En \( 2^X \) se define la relación \( R \) como \[XRY\iff X\cap A\subseteq Y\cap A.\] ¿Qué propiedades verifica \( R \)? ¿Es relación de equivalencia? ¿Y si en la definición se cambia \( \subseteq \) por \( = \)? En este último caso calcular \( [\varnothing] \) y \( [E] \).

16 Febrero, 2021, 07:50 pm
Respuesta #1

manooooh

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Hola Dave, bienvenido al foro!!

Recuerda leer y seguir las reglas del mismo así como el tutorial del \( \mathrm\LaTeX \) para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Está prohibido subir imágenes que reemplacen expresiones matemáticas, y las que se puedan deben insertarse explícitamente en el mensaje. Más información aquí.



A continuación transcribo el enunciado:

Sea \( A \) un conjunto no vacío con conjunto universal \( E \). En \( 2^X \) se define la relación \( R \) como \[XRY\iff X\cap A\subseteq Y\cap A.\] ¿Qué propiedades verifica \( R \)? ¿Es relación de equivalencia? ¿Y si en la definición se cambia \( \subseteq \) por \( = \)? En este último caso calcular \( [\varnothing] \) y \( [E] \).



Por otro lado, ¿qué intentaste? Es importante que nos digas qué hiciste y qué dudas concretas tienes así podemos ayudarte mejor.

En cuanto a la respuesta, me queda dudas de qué representa \( 2^X \), intuyo será el conjunto de partes de \( X \), pero no sé quién sería \( X \), ¿acaso será \( A \)? ???. Si no tienes prisa espera a alguien más.

Saludos

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Título cambiado de "Sea A u conjunto no vacio con conjunto universal E. En 2 X" a "Dado \(XRY\iff X\cap A\subseteq Y\cap A\) responder preguntas".
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16 Febrero, 2021, 08:03 pm
Respuesta #2

Dave

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Mil gracías, si no encontraba como poder escribir bien por aquí el enunciado una disculpa por eso

Y en concreto pues entiendo que A puede ser un conjunto cualquiera ya que dice que no es vacio y universal...

Entonces debo aplicar para cada elemento las propiedades o enunciados que me menciona en las preguntas o tratar que se cumplan???

16 Febrero, 2021, 08:07 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Sea \( A \) un conjunto no vacío con conjunto universal \( E \). En \( 2^X \) se define la relación \( R \) como \[XRY\iff X\cap A\subseteq Y\cap A.\] ¿Qué propiedades verifica \( R \)? ¿Es relación de equivalencia? ¿Y si en la definición se cambia \( \subseteq \) por \( = \)? En este último caso calcular \( [\varnothing] \) y \( [E] \).

Creo que debería de decir en \( 2^E \) (partes de \( E \)) se define la relación.

Comprueba que tal como está cumple las propiedades reflexiva y transitiva. Eso es fácil. ¿Alguna duda?.

Comprueba que en general no cumple la antisimétrica. De hecho no la cumple si \( A\neq E \).

Basta que tomes \( x\in E \), pero \( x\not\in A, \) \( X=A,\quad Y=A\cup \{x\} \). Entonces comprueba que \( XRY \), \( YRX \) pero \( X\neq Y \).

No se cumple la simétrica si \( A\neq \emptyset \). Basta tomar \( X=\emptyset \) e \( Y=A \). Entonces \( XRY \) pero no es cierto que \( YRX \).

Si cambias el contenido por el igual es fácil ver que es de equivalencia. Te faltaría probar en ese caso la simétrica. Inténtalo.

En ese caso la clase de cualquier conjunto \( X \) sería: \( [X ]=\{B\subset E|X\cap A\subset B\} \), es decir, todos los conjuntos que contienen a \( X\cap A \).

Con esto intenta resolver el ejercicio.

Saludos.

16 Febrero, 2021, 08:17 pm
Respuesta #4

Dave

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Oooh ya veo estimado Luis Fuentes  :o

Con lo que me dices me parece ya más claro el asunto  :D , muchas gracias en verdad así lo aplicaré.  :laugh: