Autor Tema: Relación de orden

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16 Febrero, 2021, 06:26 pm
Respuesta #10

manooooh

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Hola mrasa, bienvenido al foro.

La relación vacía no es reflexiva puesto que \( (a,a)\in\varnothing \) es siempre falso, luego no es de orden.

Saludos

16 Febrero, 2021, 06:36 pm
Respuesta #11

Fernando Revilla

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Seria de gran utilidad si nos redactarais un documento que justifique que la relacion de la que hablamos, nRm si y solo si ∃k∈N tal que m2−n2=k, teniendo en consideracion lo que el profesor utiliza como argumento: que como la relacion esta definida en N, la resta no esta deefinida y es una relacion vacia

Valga este post como documento. La relación \( R \) en \( \mathbb{N} \) dada por \( nRm \) si y sólo si existe \( k\in\mathbb{N} \) tal que \( m^2-n^2=k \), no es vacía (como ya demostró Carlos). Que la resta no esté definida en \( \mathbb{N} \) es absolutamente irrelevante.

y por tanto no es de orden (aqui lanzo yo una pregunta: no se supone que las relaciones vacias son de orden?)

La relación vacía en un conjunto no vacío, no es de orden, mira aquí https://math.stackexchange.com/questions/1081333/prove-that-the-empty-relation-is-transitive-symmetric-but-not-reflexive.

16 Febrero, 2021, 08:04 pm
Respuesta #12

feriva

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Buenas tardes,

Este es un mensaje dirigido a Carlos Ivorra y Fernando Revilla, asi como a cualquier otro miembro del foro titulado en matematicas.

La cuestion que dirimimos en este post, es muy importante para varios alumnos, puesto que con ella nos jugamos el aprobado o el suspenso en la asignatura. Como prevemos que el coordinador de la misma, no parece que se tenga intencion de rectificar, y parece que vamos a tener que reclamar formalmente una revision del examen, queria pediros amablemente a ver si alguno de vosotros, que teneis "galones" en la materia nos podria echar una mano. Seria de gran utilidad si nos redactarais un documento que justifique que la relacion de la que hablamos, \( nRm \) si y solo si \( \exists{k\in{\mathbb N}} \) tal que \( m^2-n^2=k \), teniendo en consideracion lo que el profesor utiliza como argumento: que como la relacion esta definida en N, la resta no esta deefinida y es una relacion vacia y por tanto no es de orden(aqui lanzo yo una pregunta: no se supone que las relaciones vacias son de orden?)

Os agradezco de antemano vuestra atencion.

Si considerais adecuado loq ue os pido, me lo podeis enviar a mi direccion de correo electronico migueluribe4@hotmail.com

Muchas gracias y un saludo

Yo no soy matemático (me gustaría en esta ocasión para poder ayudaros) pero algo sé, aunque poco, y diré lo que entiendo.

El conjunto que tiene que existir es el conjunto relación, que se suele escribir como algo así \( \mathfrak{R}
  \); donde todas las parejas de números m,n son de enteros (entiendo) pero no tienen por qué estar todas las parejas ordenadas de enteros para que exista un conjunto no vacío, ni mucho menos; el conjunto relación no es todo \( \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}
  \); porque además no usa el cuantificador “para todo”, sino el “existe”. Por tanto, “nihil obstat” si, por ejemplo, ocurre \( 4-16\notin\mathbb{N}
  \), la pareja (4,16) no setará en \( \mathfrak{R}
  \), pero sí estará el par (16,4).

Una relación de orden cumple

\( (\forall x,x\in A):\, xRx
  \); y se cumple, pues \( n^{2}-n^{2}=0\in\mathbb{N}
  \).

\( \left\{ \begin{array}{c}
[\exists(x,y)](xRy\Rightarrow x\neq y)\\
xRy\wedge yRx\Rightarrow x=y
\end{array}\right\}
  \); se cumplen las dos, como es fácil de ver.

\( \, xRy\wedge yRz\Rightarrow xRz
  \); y se cumple, por ejemplo, para \( x=16;y={\color{red}9};z={\color{red}4}
  \), entre infinitos ejemplos más que se pueden poner.

Por otra parte, por las letras que se usan se supone que m,n son enteros, pero no entran en juego como tales; es decir, a tenor de la generalización lo que tenemos es \( x=m^{2}\Rightarrow x\in\mathbb{N}
  \).


Bueno, eso no, son las pares (m,n); pero no tienen que ser naturales necesariamente, “k” es el que tiene que ser natural, que no es un elemento (m,n) del conjunto relación. Es decir, es una relación de pares enteros.

\( m\mathcal{R}n\Longleftrightarrow{\color{blue}\exists k\in\mathbb{N}}/m^{2}-n^{2}=k
  \).

Citar
el profesor utiliza como argumento: que como la relacion esta definida en N

Las letras m,n se usan para enteros en general (normalmente); si quiere decir que sólo pueden ser naturales, tiene que especificar
\( (m,n)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}
  \)


Y en ese caso, sigue sin ser un conjunto vacío también, claro.


Y eso es lo que yo entiendo.

Saludos.

16 Febrero, 2021, 10:20 pm
Respuesta #13

Carlos Ivorra

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Buenas tardes,

Este es un mensaje dirigido a Carlos Ivorra y Fernando Revilla, asi como a cualquier otro miembro del foro titulado en matematicas.

La cuestion que dirimimos en este post, es muy importante para varios alumnos, puesto que con ella nos jugamos el aprobado o el suspenso en la asignatura. Como prevemos que el coordinador de la misma, no parece que se tenga intencion de rectificar, y parece que vamos a tener que reclamar formalmente una revision del examen, queria pediros amablemente a ver si alguno de vosotros, que teneis "galones" en la materia nos podria echar una mano. Seria de gran utilidad si nos redactarais un documento que justifique que la relacion de la que hablamos, \( nRm \) si y solo si \( \exists{k\in{\mathbb N}} \) tal que \( m^2-n^2=k \), teniendo en consideracion lo que el profesor utiliza como argumento: que como la relacion esta definida en N, la resta no esta deefinida y es una relacion vacia y por tanto no es de orden

Como te ha dicho Fernando, este hilo es público y puedes acceder y hacer referencia a él siempre que quieras. Resumo la situación:

La pregunta constaba de cuatro relaciones definidas en \( \mathbb N \) y una de ellas rezaba:

\( nRm \) si y solo si \( \exists{k\in{\mathbb N}} \) tal que \( m^2-n^2=k \)

La pregunta era señalar las relaciones que eran de orden y esta concretamente, se ha corregido como "no es una relación de orden". Todos los que conozco hemos pensado que sí era efectivamente de orden, sobre todo teniendo en cuenta que otra relación era:

\( nRm \) si y solo si \( \exists{k\in{\mathbb N}} \) tal que \( m^2=k+n^2 \),

y esta sí es de orden,

Afirmo que lo anterior son dos formas equivalentes de definir la misma relación, así que, si no se cuestiona que la segunda es de orden, tampoco es necesario detallar la prueba de que la primera lo es, porque es la misma, a lo sumo con cambios mínimos para ajustarse a la definición correspondiente, o ni siquiera eso si empezamos así:

\( nRm \) si y solo si (por definición)  \( \exists{k\in{\mathbb N}} \) tal que \( m^2-n^2=k \) si y sólo si  (por álgebra elemental) \( \exists{k\in{\mathbb N}} \) tal que \( m^2=k+n^2 \).

Y a partir de aquí, si aceptamos que la "segunda" (entre comillas porque es la misma que la primera) es una relación de orden tenemos que la "primera" también lo es.

pero el profesor ha respondido que la primera es la relación vacía pues la resta no está definida en \( \mathbb N \).

Ante esto afirmo: 1) que la primera relación no es vacía, pues, por ejemplo, se cumple que \( 2\,R\,3 \), ya que, por definición, esto equivale a \( \exists{k\in{\mathbb N}} \) tal que \( 3^2-2^2=k \), que podemos comprbar que se cumple sin más que tomar \( k=5 \).

2) El hecho de que "la resta no está definida en \( \mathbb N \) habrá que entenderlo como que no es una aplicación \( \mathbb N^2\longrightarrow \mathbb N \), pero sí que es una aplicación \( r:\mathbb N^2\longrightarrow \mathbb Z \), definida en \( \mathbb N \) con valores en \( \mathbb Z \).

Pretender que no se puede definir una relación en un conjunto usando una aplicación que toma valores en otro conjunto, aparte de ser una arbitrariedad sin justificación posible, contradice de lleno la práctica matemática habitual. De hecho, dada una aplicación cualquiera \( f:A\longrightarrow B \), es algo completamente estándar definir una relación en \( A \) mediante

\( x\,R\,y \) si y sólo si \( f(x)=f(y) \),

lo cual estaría "prohibido" si tuviéramos que abstenernos de hacerlo por el hecho de que \( f \) no toma valores en \( A \) (en el caso en que \( A \) y \( B \) sean conjuntos disjuntos).

El argumento utilizado por el profesor es que -n no pertenece a los naturales, y personalmente por más vueltas que le doy no le veo ningún sentido.

En efecto, \( -n \) no pertenece a los naturales y, en el ejemplo precedente, \( f(x) \) no pertenece a \( A \) (si \( A \) es disjunto de \( B \)), y eso no impide usar \( f \) para definir una relación \( R \) en \( A \), por ejemplo, como se hace habitualmente para biyectar el cociente \( A/R \) con la imagen de \( f \) y así descomponer canónicamente una aplicación en composición de una aplicación suprayectiva seguida de otra inyectiva.

En resumen: yo, Carlos Ivorra, doctor en matemáticas en la especialidad de álgebra, habría respondido a esa pregunta afirmando sin lugar a dudas que la relación propuesta es una relación de orden, y si el examen se hubiera reducido a esa pregunta y el criterio de corrección hubiera sido el que aquí se está denunciando, lo habría suspendido, y lo volvería a suspender mil veces si me volvieran a preguntar lo mismo y prevaleciera en mí el criterio de responder lo correcto en lugar del de adaptarme al criterio del corrector.

Entiendo que este resumen expresa el mismo criterio que ya han expresado en otros mensajes Luis Fuentes y Fernando Revilla, ambos matemáticos con una amplia experiencia en la enseñanza universitaria más que suficiente para reconsiderar el criterio de corrección de una pregunta de una asignatura de primero que también les habría hecho suspender el examen si de ella sola hubiera dependido.

Aun en el supuesto inconcebible de que estuviéramos equivocados en nuestro criterio, habría que plantearse cómo se les puede exigir a unos alumnos de primer curso que respondan "correctamente" a una pregunta que varios profesores con amplia experiencia responderían "incorrectamente" y se reafirmarían en su respuesta "incorrecta" tras haber considerado los argumentos del corrector.

16 Febrero, 2021, 10:52 pm
Respuesta #14

mrasa

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Buenas tardes,


En resumen: yo, Carlos Ivorra, doctor en matemáticas en la especialidad de álgebra, habría respondido a esa pregunta afirmando sin lugar a dudas que la relación propuesta es una relación de orden, y si el examen se hubiera reducido a esa pregunta y el criterio de corrección hubiera sido el que aquí se está denunciando, lo habría suspendido, y lo volvería a suspender mil veces si me volvieran a preguntar lo mismo y prevaleciera en mí el criterio de responder lo correcto en lugar del de adaptarme al criterio del corrector.

Entiendo que este resumen expresa el mismo criterio que ya han expresado en otros mensajes Luis Fuentes y Fernando Revilla, ambos matemáticos con una amplia experiencia en la enseñanza universitaria más que suficiente para reconsiderar el criterio de corrección de una pregunta de una asignatura de primero que también les habría hecho suspender el examen si de ella sola hubiera dependido.

Aun en el supuesto inconcebible de que estuviéramos equivocados en nuestro criterio, habría que plantearse cómo se les puede exigir a unos alumnos de primer curso que respondan "correctamente" a una pregunta que varios profesores con amplia experiencia responderían "incorrectamente" y se reafirmarían en su respuesta "incorrecta" tras haber considerado los argumentos del corrector.

Muchas gracias Carlos Ivorra.

Un saludo

16 Febrero, 2021, 11:48 pm
Respuesta #15

LenaChazz

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Buenas noches de nuevo a todos.

Me quito el sombrero por toda la ayuda y las respuestas recibidas de todos los foreros, mi más sincero agradecimiento.
Ha quedado totalmente claro lo que a mí entender era obvio, que es una relación de orden y que no tiene ninguna importancia la definición o no de la resta en \( \mathbb N \). Desgraciadamente el profesor sigue enrocado en su postura.
Solo me queda dar mucho ánimo a mis compañeros si me están leyendo por aquí.

17 Febrero, 2021, 12:36 am
Respuesta #16

feriva

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Por si os sirve para reclamar.

Esto lo he copiado literalmente de un libro que tengo y que se titula “Iniciación a la matemática moderna”, de Alfonso Burgos (está escrito hace 60 años):

...

Relaciones binarias.

Dados dos conjuntos A, B y una propiedad o relación \( R \) entre los elementos de esos conjuntos, decimos que los componentes de un par \( (x,y)
  \) de \( A\times B
  \) están en la relación \( R
  \) si entre ellos se verifica dicha propiedad; por tanto:

Para definir una relación R entre los elementos de dos conjuntos basta fijar una propiedad o ley que, sin ambigüedad, permita decidir para cada par \( (x,y)
  \) de \( A\times B
  \) si \( x
  \) está en la relación \( R
  \) con \( y
  \) o no.

Se llama conjunto relación o relación de \( A \) a \( B \) al subconjunto \( \mathcal{R}
  \) de todos los pares (x,y) de \( A\times B
  \) tales que \( xRy
  \); es decir:

\( \mathcal{R\equiv}\{(x,y)|(x,y\in A\times B,\, xRy\}
  \).

Si \( (x,y)
  \) es un par de \( \mathcal{R}
  \), o sea, si ocurre \( xRy
  \), entonces \( x
  \) es un antecedente de la relación \( \mathcal{R}
  \) e \( y \) un sucesor de \( x
  \) en dicha relación.

El conjunto de todos los antecedentes x es el dominio de la relación \( \mathcal{R}
  \), al que llamaremos D, y el conjunto de todos los sucesores \( y \) es el rango de la repetida relación.

El conjunto de todos los pares del producto \( A\times A=A^{2}
  \) (sic) que tiene sus componentes iguales se llama diagonal de dicho producto y se representa con \( \mathcal{D}
  \); por tanto:

\( \mathcal{D}\equiv\{(x,y)|(x,y\in A^{2},\, x=y)\}
  \).

...

Y bueno, sigue un poco. La cosa es ésta, no tiene nada que ver en principio con los naturales en particular ni nada, un conjunto relación puede tener incluso cuatro elementos o los que sea si se pone una cierta condición. Y eso de la pertenencia a los naturales es una condición, ni más ni menos, un conjunto de salida que marca la relación, como puede ser en otras ocasiones que el resultado sea par... o capicúa; pero no dice nada de que los elementos del conjunto relación tengan que ser todos naturales ni tiene que ver con operaciones que no aparecen ahí, como las raíces, ni nada así.

17 Febrero, 2021, 06:48 pm
Respuesta #17

mrasa

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Buenas tardes a todos de nuevo.

Lo primero, daros las gracias a todos por vuestra ayuda. Os informo que de momento, el profesor no da su brazo a torcer y estamos empezando a preparar la reclamacion formal. Por ello, os queria dejar aqui otra pregunta del examen que, a mi juicio(aunque con mas sombras que luces), tampoco tendria sentido porque estamos trabajando en los naturales y en el aparece una resta y el profesor(logicamente), da por valida otra opcion. Opinais que esta cambiando de citerio de una pregunta a la otra? Os dejo un archivo con la pregunta



Muchas gracias


17 Febrero, 2021, 07:25 pm
Respuesta #18

feriva

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Buenas tardes a todos de nuevo.

Lo primero, daros las gracias a todos por vuestra ayuda. Os informo que de momento, el profesor no da su brazo a torcer y estamos empezando a preparar la reclamacion formal. Por ello, os queria dejar aqui otra pregunta del examen que, a mi juicio(aunque con mas sombras que luces), tampoco tendria sentido porque estamos trabajando en los naturales y en el aparece una resta y el profesor(logicamente), da por valida otra opcion. Opinais que esta cambiando de citerio de una pregunta a la otra? Os dejo un archivo con la pregunta

Muchas gracias

No, no creo que vaya a servir, porque aquí no hay ningún “n” (salvo cero, que se puede suponer que queda fuera de consideración) tal que la función dé un número no natural. En el otro caso sí existen números que operados en cierto orden dan un número negativo; que no tiene nada que ver, como ya ha quedado claro, pero si es capaz de no ceder en eso, pues imagina en esto.

Lo tiene que admitir sencillamente porque, si no, va a estar todos los cursos recibiendo reclamaciones; y porque es como se ha dicho aquí.

Saludos.

17 Febrero, 2021, 07:29 pm
Respuesta #19

mrasa

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Buenas tardes a todos de nuevo.

Lo primero, daros las gracias a todos por vuestra ayuda. Os informo que de momento, el profesor no da su brazo a torcer y estamos empezando a preparar la reclamacion formal. Por ello, os queria dejar aqui otra pregunta del examen que, a mi juicio(aunque con mas sombras que luces), tampoco tendria sentido porque estamos trabajando en los naturales y en el aparece una resta y el profesor(logicamente), da por valida otra opcion. Opinais que esta cambiando de citerio de una pregunta a la otra? Os dejo un archivo con la pregunta

Muchas gracias

No, no creo que vaya a servir, porque aquí no hay ningún “n” (salvo cero, que se puede suponer que queda fuera de consideración) tal que la función dé un número no natural. En el otro caso sí existen números que operados en cierto orden dan un número negativo; que no tiene nada que ver, como ya ha quedado claro, pero si es capaz de no ceder en eso, pues imagina en esto.

Lo tiene que admitir sencillamente porque, si no, va a estar todos los cursos recibiendo reclamaciones; y porque es como se ha dicho aquí.

Saludos.

A loque me refiero es que usa la formula n-1/2, cuando esta trabajando con n(cardinal), que pertenece a N, con lo que no se le podria restar ni dividir nada(segun el criterio de la pregunta de ayer)