Autor Tema: Caracterización del supremo.

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

10 Febrero, 2021, 10:44 am
Leído 191 veces

w a y s

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 236
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • I
Hola.

Estaba estudiando sobre el axioma de completitud y me he topado con la siguiente proposición, ya demostrada :

  Sea $$E\not= \emptyset$$ un subconjunto de $$\mathbb{R}$$ y $$\alpha \in \mathbb{R}$$. Entonces $$\alpha$$ es el supremo de $$E$$ si y sólo si se verifican las dos condiciones siguientes:

                                                           $$(i)$$ $$\alpha$$ es cota superior de $$E$$.

                                                           $$(ii)$$ Para cada $$\epsilon >0$$ existe $$x\in E$$ tal que $$x> \alpha - \epsilon$$.

He entendido la demostración, pero no logro ver claro el recíproco, los apuntes que estoy siguiendo dicen así:

  Supongamos que las condiciones $$(i)$$ y $$(ii)$$ se verifican. Entonces $$\alpha$$ es una cota superior, debemos probar que es menor o igual que cualquier otra cota superior. Sea entonces $$a$$ una
  cota superior, por definición debe verificar $$a \geq{x}$$ para $$x \in E$$.
 
  Tomemos ahora cualquier $$\epsilon > 0$$, por la condición $$(ii)$$ existe un $$x_{\epsilon} \in E$$ tal que $$x_{\epsilon}> \alpha- \epsilon$$. Entonces $$a\geq{} x_{\epsilon}> \alpha- \epsilon$$;
  esto es $$\alpha < a + \epsilon$$
.

  Pero como esto es cierto para cada $$\epsilon >0$$, por la proposición anterior, se tendrá que $$\alpha \leq{a}$$, como queríamos demostrar.

¿Podría alguien por favor explicarme cómo hace para pasar de la frase en azul a la conclusión en rojo?

Muchas gracias de antemano.

Saludos.
 

10 Febrero, 2021, 10:56 am
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

  • Moderador Global
  • Mensajes: 5,076
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Tienes que \( \alpha < a+\epsilon  \) para todo \( \epsilon > 0 \) si \(  \alpha > a \) puedes tomar \( \epsilon = \dfrac{\alpha-a}{2} > 0  \) y nos queda:
\(  \alpha +\epsilon = \alpha + \dfrac{\alpha-a}{2} = \dfrac{2\cdot \alpha + \alpha - a}{2} > \dfrac{2\cdot \alpha + \alpha - \alpha}{2} = \alpha  \) en conclusion \( \alpha+\epsilon > \alpha  \)  absurdo.

10 Febrero, 2021, 11:04 am
Respuesta #2

Carlos Ivorra

  • Administrador
  • Mensajes: 9,674
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Página web personal
La misma idea, pero ligeramente más simple:

Tienes en rojo que, para todo \( \epsilon>0 \), se cumple \( \alpha<a+\epsilon \), y quieres probar que \( \alpha\leq a \). En caso contrario sería \( a<\alpha \), y basta tomar \( \epsilon = \alpha-a>0 \). Así resulta que \( a+\epsilon=\alpha\leq \alpha \), cuando debería ser \( \alpha<a+\epsilon \), y tenemos una contradicción.

10 Febrero, 2021, 02:29 pm
Respuesta #3

w a y s

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 236
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • I
Hola.

Muchas gracias a ambos por responder, ya lo he entendido  ;D.

Saludos.