Autor Tema: Cortaduras de Dedekind

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10 Febrero, 2021, 10:01 pm
Respuesta #40

feriva

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En resumen, no me quedan más dudas. Pero ya veis que no he cambiado ;) ;)


Bueno, yo te pongo mi explicación desde el principio del todo, que lo otro era un comentario sobre ese aspecto, nada más; y tú miras a ver si has entendido lo mismo que yo.

Se quiere probar \( q=p+\epsilon<\sqrt{2}
  \) o, equivalentemente, \( q^{2}=(p+\epsilon)^{2}<2
  \).

Desarrollando

\( (p+\epsilon)^{2}=p^{2}+{\color{blue}2p\epsilon+\epsilon^{2}}<2
  \)

* (y fíjate en que \( (p+\epsilon)^{2}-p^{2}={\color{blue}\epsilon(2p+\epsilon)}
  \).

Dejando eso aparte por un momento, consideramos \( {\color{magenta}(p+\epsilon)^{2}<2}
  \); entonces:

restando el cuadrado de “p” a ambos lados, la desigualdad se mantiene; tenemos:

\( (p+\epsilon)^{2}-p^{2}<2-p^{2}
  \).

Ahora mira en la línea del asterisco lo que he escrito y sustituye esto \( (p+\epsilon)^{2}-p^{2}
  \) por lo azul: tenemos:

\( \epsilon(2p+\epsilon)<2-p^{2}
  \).

Entonces, si tomamos \( \epsilon<\dfrac{2-p^{2}}{2p+1}
  \), que implica \( \epsilon(2p+1)<2-p^{2}
  \), tenemos

\( {\color{blue}\epsilon(2p+\epsilon)}<\epsilon(2p+1)<2-p^{2}
  \)

Porque consideramos épsilon menor que 1, como quedó claro; y entonces existe eso en medio.

Seguidamente, si quieres, haz esto, verás, vuelve aquí al asterisco

* (y fíjate en que \( (p+\epsilon)^{2}-p^{2}={\color{blue}\epsilon(2p+\epsilon)}
  \))

y sustituye otra vez. Tienes:

\( (p+\epsilon)^{2}-p^{2}<\epsilon(2p+1)<2-p^{2}
  \)

Y ahora sumando a los dos lados \( p^{2}
  \), las desigualdades se mantienen

\( (p+\epsilon)^{2}<\epsilon(2p+1)+p^{2}<2
  \)

y entonces \( q^{2}=(p+\epsilon)^{2}<2
  \) es una desigualdad seguro, porque entre medias queda este número \( \epsilon(2p+1)+p^{2}
  \).

No quedad duda, no puedes decir “a lo mejor es menor... o igual... quién sabe”; no, porque demuestras que hay un número entre medias de "q cuadrado" y 2.

Luego \( q\in\alpha
  \).

Mira a ver, que lo mismo me he equivocado.

Saludos.

...

10 Febrero, 2021, 10:48 pm
Respuesta #41

Marcos Castillo

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¡Genial!
Puf, hay que dar volatines en el aire, pero yo creo que es un argumento perfecto. Yo necesitaba apelar a la tercera propiedad de las Cortaduras. Mañana lo comento.
¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

11 Febrero, 2021, 07:11 am
Respuesta #42

Marcos Castillo

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Hola, feriva, estimado RM

\( (p+\epsilon)^2=p^2+2p\epsilon+\epsilon^2=p^2+\epsilon(2p+\epsilon) \)

\( \epsilon<1\Rightarrow p^2+\epsilon(2p+\epsilon)<p^2+\epsilon(2p+1) \)

\( \epsilon<\dfrac{2-p^2}{2p+1}\Rightarrow \epsilon(2p+1)<2-p^2 \)

\( p^2+\epsilon(2p+\epsilon)<p^2+\epsilon(2p+1)<2-p^2+p^2 \)

\( \Rightarrow (p+\epsilon)^2<2\Rightarrow (p+\epsilon)\in \alpha \)

¿Correcto?

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

11 Febrero, 2021, 10:04 am
Respuesta #43

geómetracat

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Sí, lo veo bien.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

11 Febrero, 2021, 10:58 am
Respuesta #44

Marcos Castillo

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¡Muchas gracias, Carlos, feriva, geómetracat, argentinator!
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