Autor Tema: Cortaduras de Dedekind

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06 Febrero, 2021, 11:12 am
Respuesta #30

Carlos Ivorra

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Pero si \( \xi\in\mathbb I \). Nos vemos obligados a definir la cortadura de esta forma:  \( A=\{x\in\mathbb Q|x<{\xi}\} \), \( B=\{x\in\mathbb Q|x>\xi\} \).

En realidad no nos vemos obligados a nada. Puedes definir siempre \( A=\{x\in\mathbb Q|x\leq {\xi}\} \). Lo que ocurre si \( \xi \) es irracional es que

\( [tex]\{x\in\mathbb Q|x<{\xi}\} \)=\{x\in\mathbb Q|x\leq {\xi}\}[/tex].

"Supongamos que \( \delta<\gamma \). Entonces existe un \( s\in{\gamma} \) y que \( s\not\in{\delta} \). Como \( s\in{\gamma} \) existe \( s\in{\alpha} \) para algún \( \alpha\in{A} \). Por lo que \( \delta<\alpha \) y \( \beta \) no es una cota superior de \( A \)."

¿Me podríais explicar este párrafo entre comillas?

Queremos probar que \( \gamma \) es la menor cota superior de \( A \). Para ello tomamos un \( \delta<\gamma \) y vamos a probar que no es cota superior de \( A \). Por definición, \( \delta<\gamma \) significa que \( \delta \) está estrictamente contenido en \( \gamma \), y en particular existe un \( s\in \gamma \) tal que \( s\notin\delta \). Por definición de \( \gamma \) (que es la unión de los \( \alpha\in A \), tenemos que existe un \( \alpha\in A \) tal que \( s\in \alpha \).

Sabemos que tiene que cumplirse \( \delta<\alpha \) o \( \alpha<\delta \) o \( \alpha = \delta \), pero podemos descartar los dos últimos casos. En cualquiera de los dos se cumpliría que \( \alpha \) estaría contenido en \( \delta \) (estrictamente o no), pero eso no es cierto, porque \( s\in\alpha \) y \( s\notin\delta \). Por lo tanto, \( \delta<\alpha \), y esto prueba que \( \delta \) no es una cota superior de \( A \), ya que deja elementos de \( A \) por encima.

Paso 4

No lo he estudiado. Es la demostración de que \( \mathbb R \) es un cuerpo. Es álgebra de Cortaduras. Mi objetivo era demostrar el Axioma del Supremo en base a la teoría de conjuntos.

Bueno, sin el paso 4 no se puede decir que lo hayas demostrado. Has demostrado que \( \mathbb R \) cumple el axioma del supremo, pero no que los números reales cumplen el axioma del supremo. Aunque hayas llamado \( \mathbb R \) a ese conjunto, no tienes derecho a llamar a sus elementos números reales mientras no demuestres que forman un cuerpo ordenado que cumple el axioma del supremo. (Los estás llamando así, pero eso es una promesa de que acabarás justificando que el nombre era legítimo.)

06 Febrero, 2021, 01:22 pm
Respuesta #31

Marcos Castillo

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En realidad no nos vemos obligados a nada. Puedes definir siempre \( A=\{x\in\mathbb Q|x\leq {\xi}\} \). Lo que ocurre si \( \xi \) es irracional es que

\( [tex]\{x\in\mathbb Q|x<{\xi}\}=\{x\in\mathbb Q|x\leq {\xi}\} \).


¿Por qué son conjuntos iguales?

"Supongamos que \( \delta<\gamma \). Entonces existe un \( s\in{\gamma} \) y que \( s\not\in{\delta} \). Como \( s\in{\gamma} \) existe \( s\in{\alpha} \) para algún \( \alpha\in{A} \). Por lo que \( \delta<\alpha \) y \( \beta \) no es una cota superior de \( A \)."

¿Me podríais explicar este párrafo entre comillas?

Queremos probar que \( \gamma \) es la menor cota superior de \( A \). Para ello tomamos un \( \delta<\gamma \) y vamos a probar que no es cota superior de \( A \). Por definición, \( \delta<\gamma \) significa que \( \delta \) está estrictamente contenido en \( \gamma \), y en particular existe un \( s\in \gamma \) tal que \( s\notin\delta \). Por definición de \( \gamma \) (que es la unión de los \( \alpha\in A \), tenemos que existe un \( \alpha\in A \) tal que \( s\in \alpha \).

Sabemos que tiene que cumplirse \( \delta<\alpha \) o \( \alpha<\delta \) o \( \alpha = \delta \), pero podemos descartar los dos últimos casos. En cualquiera de los dos se cumpliría que \( \alpha \) estaría contenido en \( \delta \) (estrictamente o no), pero eso no es cierto, porque \( s\in\alpha \) y \( s\notin\delta \). Por lo tanto, \( \delta<\alpha \), y esto prueba que \( \delta \) no es una cota superior de \( A \), ya que deja elementos de \( A \) por encima.

¡Puf! Muchas gracias.

Paso 4

No lo he estudiado. Es la demostración de que \( \mathbb R \) es un cuerpo. Es álgebra de Cortaduras. Mi objetivo era demostrar el Axioma del Supremo en base a la teoría de conjuntos.


Bueno, sin el paso 4 no se puede decir que lo hayas demostrado. Has demostrado que \( \mathbb R \) cumple el axioma del supremo, pero no que los números reales cumplen el axioma del supremo. Aunque hayas llamado \( \mathbb R \) a ese conjunto, no tienes derecho a llamar a sus elementos números reales mientras no demuestres que forman un cuerpo ordenado que cumple el axioma del supremo. (Los estás llamando así, pero eso es una promesa de que acabarás justificando que el nombre era legítimo.)

Cierto. Sin probar las propiedades algebraicas de \( \mathbb R \) en base a los Cortes, sé que es dejar algo pendiente.

Última cuestión de Bachiller:

Si \( p\in \alpha \), o bien \( p\leq 0 \), en cuyo caso \( p<1\in \alpha \), o bien \( p>0 \), en cuyo caso \( p^2<2 \). Vamos a ver qué tiene que cumplir un número racional \( \epsilon>0 \) para que \( p+\epsilon\in \alpha \):

\( (p+\epsilon)^2 = p^2+2p\epsilon+\epsilon^2<2 \)

Esto equivale a que \( \epsilon(2p+\epsilon)<2-p^2 \). Si tomamos \( 0<\epsilon<1 \) y \( \epsilon<\frac{2-p^2}{2p+1} \), entonces

\( \epsilon(2p+\epsilon)<\epsilon(2p+1)<2-p^2 \),

luego \( p<q=p+\epsilon\in \alpha \).

No entiendo cómo se llega a \( \epsilon(2p+\epsilon)<\epsilon(2p+1)<2-p^2 \) si tomamos \( 0<\epsilon<1 \) y \( \epsilon<\frac{2-p^2}{2p+1} \). No quiero poner el emoticono de "vergonzoso", porque me da vergüenza.

¡Un saludo, RM, Carlos, feriva, argentinator...!
No man is an island (John Donne)

06 Febrero, 2021, 01:30 pm
Respuesta #32

Carlos Ivorra

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¿Por qué son conjuntos iguales?

Porque si \( x \) es racional y \( \xi \) es irracional, es lo mismo \( x\leq \xi \) que \( x<\xi \), ya que la igualdad \( x=\xi \) no puede darse.

El conjunto de las personas que tienen un número de hijos \( h< 2.3 \) es el mismo que el de las personas que tienen un número de hijos \( h\leq 2.3 \).

No entiendo cómo se llega a \( \epsilon(2p+\epsilon)<\epsilon(2p+1)<2-p^2 \) si tomamos \( 0<\epsilon<1 \) y \( \epsilon<\frac{2-p^2}{2p+1} \).

Como \( \epsilon<1 \), tenemos que \( 2p+\epsilon<2p+1 \), luego \( \epsilon(2p+\epsilon)<\epsilon(2p+1) \).

Como \( \epsilon<\frac{2-p^2}{2p+1} \), tenemos que \( \epsilon(2p+1)<2-p^2 \).

06 Febrero, 2021, 02:29 pm
Respuesta #33

Marcos Castillo

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No tengo palabras. Gracias se queda corto. Sencillamente soy un poco mejor que cuando empecé el hilo, así me siento. No pongo el emoticono de aplauso porque, aunque RM se lo merezca, yo me quedo a medio camino (me refiero al Paso 4)...Nada, que lo pongo  :aplauso:
¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

09 Febrero, 2021, 03:03 am
Respuesta #34

Marcos Castillo

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Si supones conocidos los números reales, tienes que \( \alpha \) es el conjunto de los números racionales menores que \( \sqrt 2 \), y es inmediato que cumple las tres propiedades (hay números racionales menores y mayores que \( \sqrt 2 \), si \( q<p<\sqrt 2 \) entonces \( q<\sqrt 2 \) y si \( p<\sqrt 2 \) existe \( p<q<\sqrt 2 \)).

Demostrar que \( \alpha \) es una cortadura sin hacer referencia a \( \sqrt 2 \) es un ejercicio de malabarismo matemático que te voy a poner en un spoiler, pero sólo es un ejercicio sobre el álgebra de \( \mathbb Q \) que en realidad no aporta nada ilustrativo —a mi juicio— sobre la construcción de \( \mathbb R \). Es probar de forma complicada algo que será evidente cuando tengamos construido \( \mathbb R \) y que no es necesario probar para llevar a cabo la construcción.


  • Como \( 1^2<2<2^2 \), se cumple que \( 1\in \alpha \) y \( 2\in \mathbb Q\setminus \alpha \), luego se cumple la primera propiedad.

  • Si \( p\in \alpha \) y \( q<p \), o bien \( q<0 \), en cuyo caso \( q\in \alpha \) por definición, o bien \( 0\leq q<p \), en cuyo caso \( p^2<q^2<2 \), luego también \( q\in \alpha \).

  • Si \( p\in \alpha \), o bien \( p\leq 0 \), en cuyo caso \( p<1\in \alpha \), o bien \( p>0 \), en cuyo caso \( p^2<2 \). Vamos a ver qué tiene que cumplir un número racional \( \epsilon>0 \) para que \( p+\epsilon\in \alpha \):

    \( (p+\epsilon)^2 = p^2+2p\epsilon+\epsilon^2<2 \)

    Esto equivale a que \( \epsilon(2p+\epsilon)<2-p^2 \). Si tomamos \( 0<\epsilon<1 \) y \( \epsilon<\frac{2-p^2}{2p+1} \), entonces

    \( \epsilon(2p+\epsilon)<\epsilon(2p+1)<2-p^2 \),

    luego \( p<q=p+\epsilon\in \alpha \).


Hola, ¿qué tal?

No entiendo el final de la cita:

\( \epsilon(2p+\epsilon)<\epsilon(2p+1)<2-p^2 \),

luego \( p<q=p+\epsilon\in \alpha \).

¿Es una implicación?¿por qué?;¿cómo llega a la conclusión "luego \( p<q=p+\epsilon\in \alpha \)"

¡Un saludo y gracias!
No man is an island (John Donne)

09 Febrero, 2021, 12:26 pm
Respuesta #35

Carlos Ivorra

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¿Es una implicación?¿por qué?;¿cómo llega a la conclusión "luego \( p<q=p+\epsilon\in \alpha \)"

Queremos probar que \( \alpha \) cumple la propiedad 3 de la definición, es decir, que si \( p\in \alpha \) existe un \( q\in \alpha \) tal que \( p<q \).

La prueba distingue dos casos. Si \( p\leq 0 \), basta tomar \( q=1 \), y entonces \( p<q\in \alpha \).

Si \( p>0 \), encontramos un número racional \( \epsilon>0 \) tal que \( (p+\epsilon)^2<2 \), con lo que podemos llamar \( q=p+\epsilon \) y así, como \( \epsilon>0 \), se cumple \( p<p+\epsilon = q \) y, como \( q>0 \) y \( q^2<2 \), se cumple que \( q\in \alpha \), luego tenemos \( p<q\in \alpha \) como habí que probar.

09 Febrero, 2021, 06:54 pm
Respuesta #36

Marcos Castillo

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Bueno, veamos, pienso que entiendo casi todo

Se trata de probar

III Si \( p\in \alpha \) entonces \( p<r \) para algún \( r\in \alpha \)

Si \( p\leq 0 \), el caso es trivial;

Si \( p>0 \), se busca un \( \epsilon>0 \) que cumpla \( (p+\epsilon)^2<2 \). Recordemos la cortadura: \( \alpha = \{r\in \mathbb Q\mid r<0\}\cup\{r\in \mathbb Q\mid r\geq 0,\ r^2<2\} \)...

Citar
En este caso \( r>0 \) en lugar de \( r\geq 0 \), pero no tiene importancia: es un corte

...El resultado es: existe, para todo \( p\in \alpha \), un \( \epsilon>0 \) tal que existe un \( q>p \), y \( q\in \alpha \). Para el caso de la cortadura \( \alpha=\sqrt 2 \), la condición que queda por probar es \( (p+\epsilon)^2<2 \)...

Citar
¿Por qué acotamos por arriba \( \epsilon \)? Es decir, \( 0<\epsilon<1 \)

...Si elegimos \( 0<\epsilon<1 \) y \( \epsilon<\dfrac{2-p^2}{2p+1} \), ya lo tenemos: \( p<p+\epsilon=q\in \alpha \).

En cuanto a \( \epsilon(2p+\epsilon)<\epsilon(2p+1)<2-p^2 \), es un pequeño lío para expresar las dos elecciones de \( \epsilon \)  en función de \( p \).

¿Correcto?

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

09 Febrero, 2021, 11:30 pm
Respuesta #37

Carlos Ivorra

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No estoy seguro de identificar qué parte del mensaje son preguntas.

En este caso \( r>0 \) en lugar de \( r\geq 0 \), pero no tiene importancia: es un corte.

No sé qué quieres decir con esto.

¿Por qué acotamos por arriba \( \epsilon \)? Es decir, \( 0<\epsilon<1 \)

Eso ya lo vimos. Hace falta \( \epsilon<1 \) para afirmar luego que \( 2p+\epsilon<2p+1 \).


En cuanto a \( \epsilon(2p+\epsilon)<\epsilon(2p+1)<2-p^2 \), es un pequeño lío para expresar las dos elecciones de \( \epsilon \)  en función de \( p \).

No sé qué quieres decir. Eso es lo que necesitamos para probar que \( (p+\epsilon)^2<2 \).

10 Febrero, 2021, 12:55 am
Respuesta #38

feriva

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Hola, Marcos.

Se supone que, si existe \( q>p
  \) tal que “q” esté dentro de \( \alpha
  \), se representa así \( q=p+\epsilon
  \) con un épsilon positivo pequeño; porque, de lo contrario, si la distancia al supremo fuera 1 o mayor... trivialmente existen muchos entre medias, hay muchos racionales posibles y los racionales se suponen construidos; no hay que demostrar nada ahí, ya lo sabemos. Por tanto, hay que considerar un épsilon positivo pequeño, menor que 1.

En realidad, esta cuestión es la que ya demostró Carlos (más en general): entre dos números reales siempre existe un racional (y, por tanto, un real).
Si \( p\in\alpha
  \), tiene que haber otro mayor dentro del mismo intervalo porque, si no, existiría un siguiente, que sería el supremo; es decir, no habría ningún número entre “p” (que está dentro del intervalo) y el “primer” número fuera del intervalo; no sería un intervalo abierto.

Ahora, como épsilon es un número menor que 1, tenemos que \( \epsilon^{2}<\epsilon
  \) (puesto que un número menor que 1 es tal que \( \dfrac{1}{a}
  \) con a>1 y entonces, al elevar “a” al cuadrado, el denominador se hace más grande y, por tanto, el número es más pequeño). Así pues, es trivial que
\( \epsilon(2p+\epsilon)<\epsilon(2p+1)=  \)

\( 2p\epsilon+\epsilon^{2}<2p\epsilon+\epsilon
  \)

Saludos.

10 Febrero, 2021, 06:28 pm
Respuesta #39

Marcos Castillo

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Hola, feriva, Carlos, RM



En este caso \( r>0 \) en lugar de \( r\geq 0 \), pero no tiene importancia: es un corte.

No sé qué quieres decir con esto.

He mezclado conceptos erróneamente: la cortadura \( \alpha=\sqrt 2 \) con el álgebra de \( \mathbb Q \) para demostrar que para definir \( \alpha \) no hace falta mencionar \( \sqrt 2 \). Y el resultado ha sido algo incomprensible incluso para mí.

feriva, Carlos, he reculado, un instante. El mensaje mío anterior es la prueba.

He imprimido todo el hilo, lo he leído dos veces, y todo está ya explicado. Todo estaba ya explicado.

Os cuento una anécdota del colegio: levantaba tanto el dedo para preguntar una y otra vez, que el profesor me dijo: "Castillo, usted no levante el dedo". Lo decía en broma este profesor, pero realmente lo mío resultaba singular.

En resumen, no me quedan más dudas. Pero ya veis que no he cambiado ;) ;)

¡Un saludo!

 


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