Autor Tema: Cortaduras de Dedekind

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02 Febrero, 2021, 10:24 pm
Respuesta #20

feriva

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Un título interesante de verdad. Espero poder leerlo algún día.
¡Un saludo y gracias! ¡No me dejes sin tu ayuda, como hasta ahora!.

Huy, te llevarías las manos a la cabeza por algunas cosas que decía, porque entonces aún sabía menos que hoy.

En cualquier caso, ahora mismo ya no me importa si el mundo físico es así o no, no defiendo eso, me da igual, dejó de importarme hace mucho. Pero la idea me sigue sirviendo para intentar “visualizar” más o menos la densidad de los números reales y otras cosas relativas al infinito.
El post va de construir los reales, lo cual es un asunto de cierta envergadura debido a la continuidad: la distancia entre dos reales puede ser tan pequeña como casi cero, digámoslo así, pero aun siendo de esa manera, ocurre que siempre, para todos, caben infinitos reales entre medias; ¿cuál será la distancia entre ellos? ¿casi, casi, casi.... cero? Pero es que entre dos de ésos, que están a distancia de casi, casi... cero, todavía siguen cabiendo infinitos reales más... y, por si fuera poco, el proceso de encontrar infinitos reales entre medias de dos cada vez más juntos es también infinito, no acaba.
Es abstracto, no necesitamos que sea algo del mundo real, pero siempre recurrimos, queramos que no, a cosas físicas para dar explicaciones; una gráfica, por ejemplo, o la idea de “cortar por un real” una recta. Son figuraciones que nada tienen que ver con la verdad de la abstracción. Si tú piensas en un palo infinito, tal que no ves los extremos, pero un palo estático, fijo,  que vas cortando por aquí y por allá... eso no es la recta real. Porque el hecho de que sea infinitamente largo da igual, puede ser un segmento, el palo de una escoba o un palo tan corto como quieras; y el problema no desaparece, continúas teniendo puntos numerados con números reales que, a su vez, tienen infinitos reales entre medias.
Entonces, un paradigma (que no digo que sea perfecto ni bueno del todo) para “visualizar” la naturaleza de los reales, puede ser ése que digo. 

(Gracias a ti, Marcos; menuda ayuda la mía :D )

Saludos.   

03 Febrero, 2021, 11:11 am
Respuesta #21

Marcos Castillo

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Hola, estimado RM

En el paso 2 de la demostración querría comentaros en cursiva tres asuntos que no entiendo. Ahí va:

"Paso 2 Se define "\( \alpha<\beta \)" para significar que: \( \alpha\subset{\beta} \)
Verificaremos que cumplen las condiciones de la definición 1.5.
Definición 1.5
Sea S un conjunto. Un orden en S es una relación, denotada por <, con las siguientes dos propiedades:
(i)Si \( x\in{S} \) y \( y\in{S} \) entonces una y sólo una de las siguientes:
\( x<y,   x=y   , y<x \)
se cumple.
(ii)Si \( x,y,z\in{S} \) y \( x<y \) y \( y<z \) entonces \( x<z \)

Si \( \alpha<\beta \) y \( \beta<\gamma \) es claro que \( \alpha<\gamma \). (Un subconjunto propio de un subconjunto propio es un conjunto propio del conjunto). Creo saber qué es un subconjunto: \( A \) es un subconjunto de \( B \) si y sólo si cada elemento de \( A \) está en \( B \); también he echado un vistazo al concepto de subconjunto propio: A es un subconjunto propio de \( B \) si y sólo si cada elemento de \( A \) está en \( B \), y existe por lo menos un elemento de \( B \) que no está en \( A \). Y la frase entre paréntesis la reescribiría así: "Un subconjunto propio de un subconjunto propio es un subconjunto propio" También es claro que a lo sumo una de las siguientes tres relaciones

\( \alpha<\beta,   \alpha=\beta,  \beta<\alpha \)

puede darse. Para mostrar que al menos uno se cumple, asumamos que las dos primeras no se cumplen. Entonces \( \alpha \) no es un subconjunto de \( \beta \). Luego, exite un \( p\in{\alpha} \) tal que \( p\not\in{\beta} \). Si \( q\in{\beta} \), se sigue que \( q<p \) (ya que \( p\not\in{\beta} \)), así \( q\in{\alpha} \) por la condición (II). De donde \( \beta\subset{\alpha} \). Como \( \beta\neq{\alpha} \), concluimos: \( \beta<\alpha \).¿Dónde está \( \beta \) en (II)?; concluye: \( \beta<\alpha \). ¿El objetivo no era concluir \( \alpha<\beta \)?
     Así \( \mathbb{R} \) es un conjuntos ordenado."

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

03 Febrero, 2021, 12:00 pm
Respuesta #22

Carlos Ivorra

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Si intercalas el texto con tus comentarios, a mí me cuesta bastante distinguir qué parte es del texto y qué parte es tuya.

¿Por qué no interrumpes el texto y escribes tus comentarios en líneas nuevas, de modo que se vea claramente la diferencia? Incluso sería más claro si usaras quote para el texto que citas.

Creo saber qué es un subconjunto: \( A \) es un subconjunto de \( B \) si y sólo si cada elemento de \( A \) está en \( B \); también he echado un vistazo al concepto de subconjunto propio: A es un subconjunto propio de \( B \) si y sólo si cada elemento de \( A \) está en \( B \), y existe por lo menos un elemento de \( B \) que no está en \( A \).

Exacto.

Y la frase entre paréntesis la reescribiría así: "Un subconjunto propio de un subconjunto propio es un subconjunto propio"

Si te refieres a que falta un "sub", en efecto, así es.

También es claro que a lo sumo una de las siguientes tres relaciones

\( \alpha<\beta,   \alpha=\beta,  \beta<\alpha \)

puede darse. Para mostrar que al menos uno se cumple, asumamos que las dos primeras no se cumplen.

Es decir, suponemos que no se cumple \( \alpha<\beta \) ni \( \alpha=\beta \) y vamos a demostrar que se cumple \( \beta<\alpha \). Así seguro que se da una de las tres.

Entonces \( \alpha \) no es un subconjunto de \( \beta \). Luego, exite un \( p\in{\alpha} \) tal que \( p\not\in{\beta} \). Si \( q\in{\beta} \), se sigue que \( q<p \) (ya que \( p\not\in{\beta} \)), así \( q\in{\alpha} \) por la condición (II).

Aquí hay dos razonamientos independientes:

Como \( p\notin \beta \) y \( q\in \beta \), no puede ser \( p=q \) ni tampoco \( p<q \) (por la condición II aplicada a \( \beta \), si fuera \( p<q \) entonces \( p \) estaría en \( \beta \)), luego tiene que ser \( q<p \).

Como \( p\in \alpha \) y \( q<p \), entonces \( q\in \alpha \) por la condición II para \( \alpha \) (\( \beta \) no interviene aquí).

¿Dónde está \( \beta \) en (II)?;

Te he respondido a eso más arriba.

concluye: \( \beta<\alpha \). ¿El objetivo no era concluir \( \alpha<\beta \)? [/i]

No. Era concluir  \( \beta<\alpha \). También te he respondido a eso más arriba.

03 Febrero, 2021, 01:38 pm
Respuesta #23

feriva

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\( A \) es un subconjunto de \( B \) si y sólo si cada elemento de \( A \) está en \( B \); también he echado un vistazo al concepto de subconjunto propio: A es un subconjunto propio de \( B \) si y sólo si cada elemento de \( A \) está en \( B \), y existe por lo menos un elemento de \( B \) que no está en \( A \).

Si piensas en los divisores propios de un número, la palabra “propio” se usa de esa forma: los divisores propios de un número no es el conjunto de todos sus divisores, porque el número en cuestión no es divisor propio de sí mismo; así que, eso, un subconjunto propio de A está formado exclusivamente por elementos de A, pero no todos.

...
A lo mejor parece que todo ese rollo que te contaba no tiene demasiado que ver con la construcción por medio de las cortaduras, pero yo creo que es necesario para entender por qué se hace lo que se hace. Si tomas un número real, ¿por qué designarlo con todo el conjunto de racionales que tiene “al lado”? ¿No podemos tomar el número y ya está? No, porque después, ¿cómo buscar el “siguiente”, si no hay siguiente? Si entre medias siempre hay infinitos reales más, no vamos a movernos de ahí si hacemos eso.

Pero si consideras el conjunto de la izquierda (tomando racionales por el hecho de no estar construidos todos los reales) no importa quién sea el “siguiente” o el “anterior”; el número se asocia a un conjunto infinito que se distingue así: todos los racionales que sean más pequeños que el número que se está definiendo; y no alude a ningún “anterior”, si a caso a un conjunto de “anteriores” todos más pequeños que él, que existen y forman un conjunto único para relacionar con el real que sea.

Este esquema que pongo sería un trozo donde las letras son números reales y las rayas representan un conjunto infinito de números racionales menores que el número asociado a cada letra:

..._____a_____b_____c_____...

Al número real “b” le corresponde el conjunto “..._____a_____” si “a” es racional, o bien el conjunto “..._____ _____” si no lo es.

Es decir, el conjunto “..._____”, que está tras la letra “a”, y que define al número “a”, está contenido en “..._____a_____” (o en “..._____ _____” según el caso) que define a “b”, pero es distinto, obviamente, del conjunto “..._____a_____”.

 El conjunto “..._____” es un subconjunto propio del conjunto de racionales “..._____a_____” (o “..._____ _____” si “a” no fuera racional).

Fíjate que no se puede decir que el subconjunto sea menor en cuanto a cardinal; precisamente la definición de infinito-Dedekind dice que si un subconjunto es infinito entonces el conjunto al que pertenece también es infinito. Por eso hay que recurrir a otra cosa para distinguirlos: cuando se usa usa el signo “<” respecto de los dos conjuntos, lo que se quiere decir es que son distintos porque todos los elementos del subconjunto son del conjunto pero que no están todos los del conjunto.

Saludos.

03 Febrero, 2021, 01:44 pm
Respuesta #24

Marcos Castillo

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¡Perfecto!
¡Un saludo, Carlos, feriva!
Sigo adelante
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03 Febrero, 2021, 06:08 pm
Respuesta #25

argentinator

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A mí me llama la atención la estructura de las cortaduras de Dedekind, que pueden verse como los abiertos no triviales de una topología sobre \(\mathbb Q\).
Sin necesidad de hablar de topología,
se podría hablar de cortaduras en estos términos:

Llamemos rayo izquierdo a un conjunto de la forma:

\((-\infty,q)_{\mathbb Q} = (-\infty,q)\cap \mathbb Q = \{x\in \mathbb Q\,:\,x<q\}\),
para cada \(q\in\mathbb Q\).

Decimos que un conjunto \(A\subset \mathbb Q\) es abierto (respecto rayos izquierdos) si puede escribirse como unión (finita o infinita o incluso vacía) de rayos izquierdos.

Una propiedad bastante obvia de estos conjuntos que llamamos abiertos es que
si un número \(a\) pertenece a un abierto \(A\),
entonces \((-\infty,a)\) es subconjunto de \(A\).

En efecto, si \(a\in A\), entonces existe \(q\in\mathbb Q\) tal que \(a\in (-\infty,q)\subset A\). En particular \(a<q\), y por lo tanto
\((-\infty,a)\subset (-\infty,q)\subset A\).

Es fácil demostrar que la familia \(\mathcal O\) de todos los conjuntos abiertos forma una topología sobre \(\mathbb Q\), vale decir:

(T0) Los conjuntos \(\emptyset\) y \(\mathbb Q\) son abiertos.
El vacío se obtiene uniendo la familia vacía, y \(\mathbb Q\) se obtiene uniendo todos los rayos izquierdos.

(T1) La unión de una familia cualquiera de conjuntos abiertos es también un abierto.
La prueba de este hecho es trivial.

(T2) La intersección de exactamente 2 abiertos \(A,B\), es también un abierto:
Los casos triviales suceden cuando \(A\) ó \(B\) es vacío, o todo \(\mathbb Q\), o cualdo \(A\) y \(B\) son iguales.
Así que supongamos que \(A\) y \(B\) son diferentes,
y sea \(b\in B\setminus A\).
Tenemos que \((-\infty,b)\subset B\).
Si \(a\in A\), entonces \((-\infty,a)\subset A\):
Como \(b\not \in A\), necesariamente \(a<b\).
Esto en particular implica que \(a\in(-\infty,b)\subset \subset B\).
O sea, \(a\in B\).
Hemos probado que \(A\subset B\).
Por lo tanto \(A\cap B = A\),
y así la intersección de \(A\) y \(B\) es un conjunto abierto.

Se puede demostrar que todo abierto así definido tiene propiedades útiles para entender la estructura de las cortaduras, que son todas fáciles de comprobar:

Sea \(A\) un conjunto abierto:
(1) Si \(a,b\in A,a<b\), entonces \((a,b)\subset A\).
(2) Si \(a\in A\), entonces \((-\infty,a)\subset A\).
(3) Si \(b\in\mathbb Q,b\not\in A\), entonces \([b,\infty)\cap A = \emptyset\).

La última propiedad dice que todo abierto no trivial (distinto de \(\emptyset,\mathbb Q\)) está acotado superiormente.

Definimos una cortadura de Dedekind como un conjunto abierto no trivial,
vale decir, un abierto distinto de \(\emptyset,\mathbb Q\).

Una propiedad adicional interesante sería la siguiente:

Quité una propiedad adicional que había puesto originalmente.


La intención era pegar un rayo izquierdo con el dominio de una función creciente.
Para hacerlo de manera adecuada habría que imponer varias condiciones,
con lo cual para mí pierde un poco de interés.
Así que retiré esa propiedad del post.  :'(

05 Febrero, 2021, 10:23 am
Respuesta #26

Marcos Castillo

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Hola, estimado RM

Vamos con el paso 3:

Paso 3 El conjunto ordenado \( \mathbb{R} \) tiene la propiedad de que a cada conjunto \( A\subset{R} \) acotado se cumple \( sup(A)\in{\mathbb{R}} \).
    Para probar esto, sea \( A \) un conjunto no vacío acotado de \( \mathbb{R} \), y asumamos que \( \beta\in{\mathbb{R}} \) es una cota superior de \( A \). Definimos \( \gamma \) como la unión de todos los \( \alpha\in{A} \). En otras palabras, \( p\in{\gamma} \) si y sólo si \( p\in{\alpha} \) para algún \( \alpha\in{A} \). Probaremos que \( \gamma\in{R} \) y que \( \gamma=sup(A) \).
    Como \( A \) es no vacío, existe un \( \alpha_0\in{A} \). Donde \( \alpha_0 \) no vacío.  Como \( \alpha\subset{\gamma} \), \( \gamma \) es no vacío. Ahora, \( \gamma\subset{\beta} \) (por lo que \( \alpha\subset{\beta}  \) para todo \( \alpha\in{A} \)) de donde \( \gamma\neq{\mathbb{Q}} \). Así \( \gamma \) satisface (I). Para probar (II) y (III), escogemos \( p\in{\gamma} \). Tenemos \( p\in{\alpha_1} \) para algún \( \alpha_1\in{A} \). Si \( q<p \), entonces \( q\in{\alpha_1} \), concluyendo \( q\in{\gamma} \); esto prueba (II). Si \( r\in{\alpha_1} \) es escogido de tal modo que \( r>p \), evidentemente tenemos \( r\in{\gamma} \), lo que prueba que satisface (III).
    Todo esto prueba que \( \gamma \) es un corte.
    Es claro que \( \alpha\leq{\gamma} \) para todo \( \alpha\in{A} \).
    Supongamos que \( \delta<\gamma \). Entonces existe un \( s\in{\gamma} \) y que \( s\not\in{\delta} \). Como \( s\in{\gamma} \) existe \( s\in{\alpha} \) para algún \( \alpha\in{A} \). Por lo que \( \delta<\alpha \) y \( \beta \) no es una cota superior de \( A \).
    Lo que nos da el siguiente resultado: \( \gamma=sup(A) \).

Preguntas:

¿Qué relación hay entre \( R \) y \( \mathbb R \)?

¿Por qué \( \alpha\leq{\gamma} \)?

¡Un saludo y gracias!
No man is an island (John Donne)

05 Febrero, 2021, 12:14 pm
Respuesta #27

Carlos Ivorra

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¿Qué relación hay entre \( R \) y \( \mathbb R \)?

Son lo mismo. Donde dice \( R \) debería decir \( \mathbb R \).

¿Por qué \( \alpha\leq{\gamma} \)?

Como \( \alpha<\gamma \) se ha definido como que \( \alpha \) está estrictamente contenido en \( \gamma \), resulta que \( \alpha\leq gamma \) significa que \( \alpha \) está contenido en \( \gamma \), aunque no necesariamente de forma estricta, es decir, que todo \( p\in \alpha \) cumple \( p\in \gamma \).

Y eso es justo lo que tenemos, si \( \alpha\in A \) y \( p\in \alpha \), entonces \( p\in \gamma \) por definición de \( \gamma \). Mira donde dice "En otras palabras" en el texto.

05 Febrero, 2021, 01:57 pm
Respuesta #28

feriva

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¿Por qué \( \alpha\leq{\gamma} \)?

¡Un saludo y gracias!

Hola, Marcos.

Visualmente lo entiendo así (no sé si es muy preciso o si tiene algún error de concepción).

\( (\,)
  \) un alfa

\( (\,)\,{\color{magenta})}
  \)otro alfa -distinto- el cual contiene al alfa anterior.

\( (\,)\,{\color{magenta})\,}{\color{red})}
  \) otro alfa, distinto de los otros dos, que contiene a los anteriores; y digamos que este alfa es gamma o casi gamma. Luego en este último podrás tener \( \alpha=\gamma
  \). Pero en los anteriores tienes \( \alpha<\gamma
  \). Por tanto, para todo alfa se tiene \( \alpha\leq\gamma
  \).

El paréntesis de la izquierda, sin color, va formando, junto con los paréntesis de cierre, los distintos alfa, que representan a cada número real que queda “pegado” por fuera del paréntesis de cierre “)”. Entonces, gamma es un número real, \( \gamma=(\,)\,{\color{magenta})\,}{\color{red})}
  \), refiriéndose al que queda por fuera a la derecha.

Como A contiene a todos los alfas, gamma es el supremo de A, el número que representa el paréntesis más largo, \( (\,\,\,{\color{magenta}\,\,}{\color{red})}
  \). Si no fuera así, quedaría por dentro o bien no sería el número que está “pegado” por fuera; pero por las definiciones dadas no puede ser así.

Se define así para que entre los paréntesis no quede más de un número, por la cuestión ésa de que siempre caben más entre dos. Si es el supremo, por definición, el conjunto de la izquierda es el de todos los racionales que no son él -en caso de que fuera racional- hasta menos infinito; está formado por elementos distintos de él. Se sigue sin conocer el misterio de cómo hay siempre números entre medias, pero fíjate que te da igual, tomas todos los infinitos y distintos racionales a la izquierda y ellos sabrán los que hacen con su vida, no te importa, no necesitas entenderlo.

(Y si quieres visualizarlo, pues con un paradigma como el que decía; una regla vista de lejos en un universo menos expandido, cabe dentro de un centímetro de la regla que tienes cerca de los ojos; y así puedes llevártela más lejos y siempre caben dentro reglas más pequeñas; ninguna rayita de las divisiones de la regla tendrá una rayita siguiente, las rayitas se montarán y formarán una banda negra opaca sin dejar ningún espacio blanco. Pero nada te impide cortar la regla y considerar un trozo de banda negra; pues eso viene a ser lo que se hace al no poder distinguir una sola rayita; y esa banda negra será un conjunto de infinitas rayitas, claro. No obstante, siempre puedes considerar una regla en un punto concreto del tiempo y tener un subconjunto discreto de rayitas donde sí puedes ver las divisiones; algo así serían los enteros).

Saludos.

06 Febrero, 2021, 10:40 am
Respuesta #29

Marcos Castillo

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Bien, este mensaje es un resumen de todo lo aparecido en el hilo. El objetivo es ver qué he entendido y qué no:

Paso 1
Definición informal de Cortadura: supongamos que tenemos una cuerda, y para ejemplificar una cortadura, hacemos un corte con una tijera en cualquier sitio. Hemos dividido en dos la cuerda.
Ahora imaginemos que la cuerda es el conjunto de los números racionales. Veremos que es una comparación matizable: hacemos el nudo, y en él encontramos un número \( \xi \).
Ahora resulta que ya sabemos: \( \mathbb N\subset{\mathbb Z}\subset{\mathbb Q}\subset{\mathbb R} \). En una palabra: empezamos la casa por el tejado. El motivo es que \( \xi \) puede pertenecer a alguno de estos subconjuntos. Si pertenece a \( \mathbb Q \), hemos hecho una cortadura racional: y las dos partes de la cuerda quedan como dos subconjuntos de \( \mathbb Q \): \( A=\{x\in\mathbb Q|x\leq{\xi}\} \), y \( B=\{x\in\mathbb Q|x>\xi\} \). ¿Pero si \( \xi\in\mathbb I \). Nos vemos obligados a definir la cortadura de esta forma:  \( A=\{x\in\mathbb Q|x<{\xi}\} \), \( B=\{x\in\mathbb Q|x>\xi\} \). Por eso se llaman cortaduras: porque para la constucción de \( \mathbb R \) hay que hacer en esa cuerda un corte, igual que una tijera. No queda nada en medio, porque estamos dentro de \( \mathbb Q \).
Dedekind dio el salto: a partir de \( \mathbb Q \) y en base a la teoría de conjuntos, llegar a \( \mathbb R \), en base a tres criterios:
1- Un corte, como hemos visto, no es un conjunto vacío, y tampoco el propio \( \mathbb Q \);
2- Elegimos una de las partes del corte: la que queda a la izquierda, de forma que si \( \xi\in{\mathbb R} \), el conjunto será \( A \);
3- También debemos tener en cuenta que si \( \xi\in \mathbb R \) (igual que si \( \xi\in \mathbb Q \)), dentro de la cortadura siempre encontraremos un número mayor que \( \xi \).
En adelante llamaremos \( p,\;q,\;r,\;s... \) a números racionales, y \( \alpha,\;\beta... \) a los \( \xi,\;\xi',... \). Por sencillez, sólo trabajaremos con un irracional, \( \sqrt 2 \): \( \pi \) ó \( e \) son muy complicados.

Ejemplo de cortadura: \( \alpha=\{r\in\mathbb Q|r<\sqrt 2\} \), o equivalentemente, \( \alpha = \{r\in \mathbb Q\mid r<0\}\cup\{r\in \mathbb Q\mid r\geq 0,\ r^2<2\} \).

Paso 2
\( \mathbb R \) es un conjunto ordenado \( \left<{\mathbb Q,\;\leq{}}\right> \). Esto es muy intuitivo: dos reales, o son iguales, o uno es menor que el otro. Para probarlo con cortaduras, se define "\( \alpha<\beta \)" cuando hay una inclusión \( \alpha\subset{\beta} \), empleando el criterio 2.

Paso 3
El conjunto ordenado \( \mathbb R \) tiene la propiedad de que para cada subconjunto acotado \( A \) se cumple \( \mbox{sup}(A)\in \mathbb R \). Primero se crea \( \gamma=\displaystyle\bigcup_{\alpha\in A} \), y asumimos que \( \beta\in \mathbb R \) es la cota superior de \( A \). Primero se prueba que \( \gamma \) es un corte, en base a los tres criterios de los cortes.
Por la definición de \( \alpha\subseteq{\gamma} \), tenemos que \( \alpha\leq{\gamma} \) para todo \( \alpha\in A \)... Y aquí viene la última duda:

    "Supongamos que \( \delta<\gamma \). Entonces existe un \( s\in{\gamma} \) y que \( s\not\in{\delta} \). Como \( s\in{\gamma} \) existe \( s\in{\alpha} \) para algún \( \alpha\in{A} \). Por lo que \( \delta<\alpha \) y \( \beta \) no es una cota superior de \( A \)."

¿Me podríais explicar este párrafo entre comillas?

Paso 4

No lo he estudiado. Es la demostración de que \( \mathbb R \) es un cuerpo. Es álgebra de Cortaduras. Mi objetivo era demostrar el Axioma del Supremo en base a la teoría de conjuntos.

¡Un saludo y gracias!
No man is an island (John Donne)