Autor Tema: Cortaduras de Dedekind

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01 Febrero, 2021, 03:05 pm
Respuesta #10

Marcos Castillo

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Bien, perfecto. Sólo unas dudas:



Demostrar que \( \alpha \) es una cortadura sin hacer referencia a \( \sqrt 2 \) es un ejercicio de malabarismo matemático que te voy a poner en un spoiler, pero sólo es un ejercicio sobre el álgebra de \( \mathbb Q \) que en realidad no aporta nada ilustrativo —a mi juicio— sobre la construcción de \( \mathbb R \). Es probar de forma complicada algo que será evidente cuando tengamos construido \( \mathbb R \) y que no es necesario probar para llevar a cabo la construcción.


  • Como \( 1^2<2<2^2 \), se cumple que \( 1\in \alpha \) y \( 2\in \mathbb Q\setminus \alpha \), luego se cumple la primera propiedad.

  • Si \( p\in \alpha \) y \( q<p \), o bien \( q<0 \), en cuyo caso \( q\in \alpha \) por definición, o bien \( 0\leq q<p \), en cuyo caso \( p^2<q^2<2 \), luego también \( q\in \alpha \).

  • Si \( p\in \alpha \), o bien \( p\leq 0 \), en cuyo caso \( p<1\in \alpha \), o bien \( p>0 \), en cuyo caso \( p^2<2 \). Vamos a ver qué tiene que cumplir un número racional \( \epsilon>0 \) para que \( p+\epsilon\in \alpha \):

    \( (p+\epsilon)^2 = p^2+2p\epsilon+\epsilon^2<2 \)

    Esto equivale a que \( \epsilon(2p+\epsilon)<2-p^2 \). Si tomamos \( 0<\epsilon<1 \) y \( \epsilon<\frac{2-p^2}{2p+1} \), entonces

    \( \epsilon(2p+\epsilon)<\epsilon(2p+1)<2-p^2 \),

    luego \( p<q=p+\epsilon\in \alpha \).

Esto es lo único que no entiendo (o lo único que creo que no entiendo). Y me parece muy interesante. ¿Cómo has evitado \( \sqrt 2 \), dónde se esconde?

Además:


Pues te cuento por qué había tenido esa duda y así quizá me adelanto a alguna duda tuya sobre la que puedas llegar a consultar.

Si x es un número real y tenemos

\( \triangle x\rightarrow0;\, x+\triangle x=x
  \), esto supone \( \, x=x-\triangle x
  \), es decir, \( x-\triangle x
  \) es el mismo número real que “x” (igual que al sumarlos) y no reparé en ello.

Porque un mismo número real, si es irracional (y si es racional también) puede ser, morfológicamente hablando, distinto de sí mismo, puede tener cifras transfinitas, sin valor, pero diferentes; sin embargo, son como adornos a la hora de considerar el elemento del conjunto, no cambian el número. Esto es, si restas esas dos versiones morfológicamente distintas del mismo número real, da un infinitesimal (que sólo interactúa en el análisis real al hacer derivadas y cosas así, pues todos los infinitesimales son el número real cero).

Por tanto, la diferencia entre dos reales distintos es un real distinto de cero. Y su inverso también pertenece a R; por muy grande que pueda ser en caso de que los reales estén muy cerca en valor y la diferencia sea muy pequeña.
 

Tampoco entiendo

¡Un saludo, y gracias, en serio!
No man is an island (John Donne)

01 Febrero, 2021, 03:35 pm
Respuesta #11

Carlos Ivorra

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Esto es lo único que no entiendo (o lo único que creo que no entiendo). Y me parece muy interesante. ¿Cómo has evitado \( \sqrt 2 \), dónde se esconde?

Eso es la demostración de que el conjunto

\( \alpha = \{r\in \mathbb Q\mid r<0\}\cup\{r\in \mathbb Q\mid r\geq 0,\ r^2<2\} \)

cumple \( \alpha\in \mathbb R \)

No he tenido que nombrar \( \sqrt 2 \) porque no aparece en ningún sitio en la definición de \( \alpha \).

Por ejemplo, que \( \alpha\neq \mathbb Q \) es consecuencia de que \( 2\notin\alpha \), y ello se debe a que ni se cumple \( 2<0 \) ni se cumple \( 2\geq 0 \) y \( 2^2<2 \).

Similarmente se comprueban todas las demás. Por ejemplo, la propiedad 3, que es la más delicada, consiste en suponer que \( p\in \alpha \), es decir, que tenemos un \( p \) que cumple \( p<0 \) o bien \( p\geq 0 \) y \( p^2<2 \) (ninguna referencia a \( \sqrt 2 \)) y hay que encontrar un \( q>p \) que cumpla lo mismo (sin referencias a \( \sqrt 2 \)).

¿Entiendes que el argumento que citas demuestra que es así?

Lo que sucede es que, cuando llegues a la definición del producto de números reales, podrás comprobar que \( \alpha^2=2 \) (y antes habrás comprobado que \( \alpha>0 \)) y estos hechos, que todavía no podemos demostrar porque hace falta definir el orden y el producto de números reales, justifican que a este \( \alpha \) definido sin hacer referencia a \( \sqrt 2 \) lo llamemos \( \alpha = \sqrt 2 \).

01 Febrero, 2021, 06:13 pm
Respuesta #12

feriva

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Tampoco entiendo

En un número real, como mucho, se pueden considerar infinitas cifras, pero no quiere decir que no haya más (es algo muy abstracto, sin embargo, es necesario considerarlo)

Si \(  \Delta x\rightarrow0
  \) entonces \( x=x-\Delta x
  \), y ambas cosas son iguales, como dice el signo, es el mismo número real. ¿En qué se diferencian? Si dijéremos que en nada, entonces las indeterminaciones del tipo \( \dfrac{0}{0}
  \) darían siempre 1; si no dan siempre 1 es porque esos ceros son distintos en algo; y ese algo son las cifras que están “más allá” de las que están en el infinito (que sí determinan el número real).

Porque si tú tienes, por ejemplo, esto \( \dfrac{0,4}{0,2}=\dfrac{0,04}{0,02}=\dfrac{0,004}{0,002}...=2
  \) ves que la razón 2 que dan como resultado esas fracciones no depende de que las últimas cifras tengan valor o no, puedes meter todos los ceros que quieras ahí y seguirá dando 2; infinitos ceros y “más” puedes meter.

Por ejemplo, no vemos los virus, son cero, o digamos de tamaño invisible, pero un virus puede ser el triple de grande que el otro o el doble o lo que sea; y un elefante también puede ser el triple de grande que otro (el padre el triple que el hijo) y la proporción es la misma que con los virus, 3, el número es el mismo; pero este número no tiene valor en cuanto a cantidad, es una proporción, no una cantidad. Y así vemos que la proporción es independiente del tamaño o del valor, el valor de dos cosas puede ser cero (el número real cero) y no quita que la proporción pueda ser cualquier número.

Así pues, podríamos representar el número 5,000... ...12... queriendo decir que esas cifras ...12... están más allá del infinito; pues en ese caso eso es el número natural 5, exactamente el mismo número real cinco, sin ninguna diferencia en cuanto a su designación como número real, No son dos distintos.

...

Ahora supón dos números reales positivos, x,y con y>x. Por la propiedad de cerradura algebraica tienes que \( y-x
  \) es un número real; y, como son distintos por ser uno mayor que otro, entonces \( y-x\neq0
  \). Puede ser una diferencia muy pequeña 0,000..1, por caso, pero con una cantidad de ceros delante que no va más allá del infinito (no como pasaba antes) de lo contrario, “x” e “y” serían el mismo número real.

Como, por definición, el inverso de un real es otro real, y como no es cero y tiene inverso, pues entonces esto \( \dfrac{1}{y-x}
  \) no es un número ifinitamente grande; ningún número real tiene valor infinito. Luego existe un natural mayor que él...

Y ahí entra ya la demostración de Carlos (que se ve bien, porque es todo con números positivos y las desigualdades no dan guerra, pero, si no te queda claro algo, preguntalé, que él te lo explicará mejor).

Lo que se demuestra es que entre medias de dos números reales (ya sean racionales, irracionales o mezcla) siempre existe un número racional; lo cual es imprescindible para admitir que a cada real distinto le corresponde un conjunto distinto de los ya mencionados; es decir, que existe una biyección y con ella se construye todo el conjunto (completo) de los reales.

Saludos.

01 Febrero, 2021, 06:31 pm
Respuesta #13

geómetracat

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Para no liar al pobre Marcos, que bastante tiene con entender las cortaduras de Dedekind.

feriva, creo que estás mezclando números reales y análisis "estándar" con infinitésimos (números hiperreales) y análisis no estándar.
En la versión estándar, con números reales no hay infinitésimos ni puede tener cifras transfinitas ni es "distinto de sí mismo". Esas cosas a mí me suenan a análisis no estándar, donde puedes tener hiperreales distintos pero con la misma parte estándar, de manera que "representan el mismo real" y difieren entre sí por un infinitésimo. Pero no hay que mezclar las dos visiones o Marcos acabará con un cacao importante.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

01 Febrero, 2021, 06:45 pm
Respuesta #14

feriva

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Para no liar al pobre Marcos, que bastante tiene con entender las cortaduras de Dedekind.

feriva, creo que estás mezclando números reales y análisis "estándar" con infinitésimos (números hiperreales) y análisis no estándar.
En la versión estándar, con números reales no hay infinitésimos ni puede tener cifras transfinitas ni es "distinto de sí mismo". Esas cosas a mí me suenan a análisis no estándar, donde puedes tener hiperreales distintos pero con la misma parte estándar, de manera que "representan el mismo real" y difieren entre sí por un infinitésimo. Pero no hay que mezclar las dos visiones o Marcos acabará con un cacao importante.

De acuerdo, Geómetracat.

Saludos.

01 Febrero, 2021, 08:47 pm
Respuesta #15

Marcos Castillo

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¡Brillante, Carlos! Sigo adelante.
feriva, me fascinan tus mensajes, porque me sugieren el mundo de los números infinitamente grandes, infinitamente pequeños...De una forma muy visual, como en imágenes... En serio, es genial.
geómetracat, ¡gracias por el enlace!
¡Un saludo, estamos!
No man is an island (John Donne)

02 Febrero, 2021, 10:48 am
Respuesta #16

feriva

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¡Brillante, Carlos! Sigo adelante.
feriva, me fascinan tus mensajes, porque me sugieren el mundo de los números infinitamente grandes, infinitamente pequeños...De una forma muy visual, como en imágenes... En serio, es genial.
geómetracat, ¡gracias por el enlace!
¡Un saludo, estamos!

Bueno, es una manera de verlo que tengo yo a partir de una teoría que me ocurrió (de la que ya he hablado alguna vez por ahí) no sé si se ve exactamente así en el análisis no estándar, porque no lo he estudiado.

Antes de nada, dicho para Geómetracat o cualquier otro profesor (para que no se asuste nadie) diremos que eres casi tan viejo como yo, no un alumno de tierna edad; por lo que creo que puedo contarte esto que sigue.

Yo pensé un día que no sólo el espacio sino también la materia era un conjunto expansivo; todas las cosas estarían “creciendo” según una razón de semejanza en el tiempo. De este modo,  una persona podría medir una tablero de un metro que en realidad se expande, y, como él crece a la vez y todo crece no se apercibe de ello. Como la propia regla también se expande, siempre mide lo mismo, un metro. Pero si supiera esto y considerara que la regla era más pequeña en el pasado, podría tener en cuenta la existencia de esas unidades menos expandidas (las marcas de de los milímetros en la regla) como números cada vez más pequeños que la unidad (que sería única, la del presente). También pensé en que cuando vemos las cosas más pequeñas la estar lejos, podría ser porque están menos expandidas y, así, el tamaño aparente de los objetos en la lejanía sería su tamaño real en un cierto tiempo pasado (la luz tarda en llegar, el Universo se expande... pues podría ser así).
De este modo, cuando miras la vía de un tren y ves que sus raíles se juntan cada vez más hasta converger en el punto de fuga (según se entiende en el espacio proyectivo) ya no ves más vía detrás, ya no ves más puntos; sin embargo sabes que la vía sigue aunque no la veas, lo deduces. Pues cuando digo “detrás del infinito” me estoy refiriendo a eso; los números reales más pequeños estarían sobre el punto de fuga y detrás vendría otro mundo con números más pequeños. AL poder remontarnos, mentalmente, a un pasado tan remoto como queramos, así tenemos un finitos números, y “más”, en un segmento que consideramos estático, que definimos de longitud constante, siempre la misma.

Saludos.

02 Febrero, 2021, 05:44 pm
Respuesta #17

Marcos Castillo

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¡Hola, feriva!

Te mando a continuación un enlace. No puede rebatir tu último mensaje, pero es una discusión abierta. Yo sigo con las Cortaduras.

¡Un saludo!

No man is an island (John Donne)

02 Febrero, 2021, 07:14 pm
Respuesta #18

feriva

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¡Hola, feriva!

Te mando a continuación un enlace. No puede rebatir tu último mensaje, pero es una discusión abierta. Yo sigo con las Cortaduras.

¡Un saludo!

Visto. Pero esa idea, junto con un trabajo donde explica estas cosas, la registré yo sobre el año 2000 en la propiedad intelectual, en un trabajo que se llamaba Expansión del espacio material y luz quieta (todavía guardo una copia y el papel del registro, otras copias las envié a algún departamento de física). Soy el pionero; salvo que alguien demuestre que se le ocurrió antes :)

En año 2002, en noviembre, ya ni me acordaba

Spoiler




[cerrar]

Saludos.

02 Febrero, 2021, 09:23 pm
Respuesta #19

Marcos Castillo

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 Un título interesante de verdad. Espero poder leerlo algún día.
¡Un saludo y gracias! ¡No me dejes sin tu ayuda, como hasta ahora!.
No man is an island (John Donne)