Autor Tema: Cortaduras de Dedekind

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31 Enero, 2021, 08:41 am
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Marcos Castillo

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Hola, estimado foro

Estoy dando vueltas a la fundamentación del análisis, y las Cortaduras de Dedekind son una de las vías. En este enlace se construyen de los números reales a partir de los números racionales:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=53074.0

Mi objetivo sería entenderlo. El otro punto de partida soy yo, Marquitos  8^): nociones básicas de teoría de conjuntos, estructuras algebráicas...Bueno, la primera duda:

I  \( \alpha \) es no vacío, y \( \alpha \) no es \( \mathbb Q \)
II Si \( p\in{\alpha} \), \( q\in{\mathbb Q} \) y \( q<p \) entonces \( q\in \alpha \)
III Si \( p\in \alpha \) entonces \( p<r \) para algún \( r\in \alpha \)

Un ejemplo de cortadura sería

\( \sqrt 2 = \{r\in \mathbb Q\mid  r<0\}\cup \{r\in \mathbb Q\mid r\geq 0,\ r^2<2\} \)

¿De qué forma cumple este ejemplo las tres propiedades de las cortaduras?

Otra pregunta que me gustaría hacer es:

Necesito refrescar mis conocimientos de lógica proposicional, o de predicados, que no sé cuál de las dos resuelve mi duda: II implica las dos siguientes afirmaciones:

Si \( p\in \alpha \) y \( q\not\in \alpha \), entonces \( p<q \)
Si \( r\not\in \alpha \) y \( r<s \) entonces \( s\not\in \alpha \)

Justificación:
La primera afirmación es cierta puesto que si \( q<p \) por la condición (II) \( q\in \alpha \), contradicción. Y la segunda, si \( s\in\alpha \) por (II) \( r\in\alpha \), nuevamente, contradicción.

He estado estudiando estas dos implicaciones. El dominio es \( \mathbb R \), y he pensado que hace falta una secuencia de pasos (o tal vez no) dentro de la lógica de predicados. Y lo que he creído conseguir es el primer paso:

"Si \( p\in{\alpha} \), \( q\in{\mathbb Q} \) y \( q<p \) entonces \( q\in \alpha \)", en lógica de predicados, sería \( \forall \;x\;y(P(x)Q(y)\wedge R(x,y)\longrightarrow{P(y)}) \), pero lo publico nada más que por querer tener iniciativa.

¡Un saludo!
 

No man is an island (John Donne)

31 Enero, 2021, 10:37 am
Respuesta #1

feriva

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Hola, Marcos.

Pues lo que dijo Carlos, literalmente. alfa es el conjunto de los números racionales en un intervalo que va desde el número que sea hasta menos infinito (siendo el número el supremo, cota superior mínima de un intervalo abierto; es decir, que el número exacto no entra en el intervalo y por tanto es asociado al conjunto de los racionales menores que él).
 Por otro lado, no es vacío ni es todo Q, desde infinito hasta menos infinito no es una cortadura, no es un alfa.
Si cortas por un número irracional, no hay supremo en el conjunto Q.  Por ejemplo, si el número es raíz de 2, no existe el supremo en Q. Entonces queda ahí un “hueco” de racionales, entre los intervalos encajados de racionales, y a partir de esos huecos se detecta la existencia de los irracionales, que completan el conjunto de los reales.

En cuanto a la primera implicación es clara; si p pertenece a alfa es un racional menor que el número, desde él hasta menos infinito; cualquier número “q”, racional y también racional, que no esté ahí, está por encima de él, es mayor. La segunda implicación generaliza la idea para cualquier número “s” mayor que el “r” que no entra en alfa; tampoco entrará.

*Ahora, ya que estoy, expreso una duda mía:

Spoiler
Si tenemos dos irracionales “x” e “y”, podría ser que no existiera un racional entre medias (que yo sepa no está demostrado que lo haya siempre) entonces a “x” e “y” les correspondería la misma cortadura, el mismo racional menor que ellos a la izquierda, y no sería una biyección; sí que hay seguro una inyección, de forma que ningún irracional se queda sin correspondencia con un racional.
[cerrar]


Saludos. 

31 Enero, 2021, 12:28 pm
Respuesta #2

Marcos Castillo

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¡Hola, feriva!

Por otro lado, no es vacío ni es todo Q, desde infinito hasta menos infinito no es una cortadura, no es un alfa.

Sí, tienes razón. En cuanto a la propiedad (II), yo la parafrasearía así: si un racional \( p \) entra en la cortadura \( \alpha \), y tenemos que otro racional \( q \) es menor que \( p \), \( q \) entra en la cortadura. La propiedad (III) "dice simplemente que \( \alpha \) no tiene un elemento mayor": \( \forall p\in \alpha,\;\exists\epsilon\;|\; 1<\epsilon<0 \) tal que \( p<p+\epsilon=r \) que cae dentro de \( \alpha \).

En cuanto a \( \sqrt 2 = \{r\in \mathbb Q\mid  r<0\}\cup \{r\in \mathbb Q\mid r\geq 0,\ r^2<2\} \), claramente es no vacío (\( r\in\mathbb Q,\;r<0 \)), y claramente no es \( \mathbb Q \), puesto que también se añade otro conjunto:\( r\in\mathbb Q\; r\geq{0} \), tal que \( r^2<2 \).

Uy, empiezo a entender. Lo que no formalizo son las implicaciones que menciono.


Si tenemos dos irracionales “x” e “y”, podría ser que no existiera un racional entre medias (que yo sepa no está demostrado que lo haya siempre) entonces a “x” e “y” les correspondería la misma cortadura, el mismo racional menor que ellos a la izquierda, y no sería una biyección; sí que hay seguro una inyección, de forma que ningún irracional se queda sin correspondencia con un racional.

Efectivamente, es una inyección \( \mathbb Q\rightarrow{\mathbb R} \), pero no sabía muy bien por qué.

https://es.wikipedia.org/wiki/Cortes_de_Dedekind

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

31 Enero, 2021, 12:35 pm
Respuesta #3

Carlos Ivorra

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Antes de entrar en harina, conviene tener una idea clara de por qué es razonable esta construcción. Para ello, sitúate unos días atrás, cuando no te había mordido el gusanillo de construir los números reales y trabajabas con ellos con toda naturalidad. Supón conocido el conjunto \( \mathbb R \) de los números reales con todo lo que conlleva.

Entonces, dado un número real \( \xi\in \mathbb R \), puedes usarlo para partir en dos el conjunto de los números racionales, así:

\( \alpha = \{r\in \mathbb Q\mid r<\xi\},\qquad \beta = \{s\in \mathbb Q\mid \xi\leq s\} \)

Equivalentemente, podemos dejar a un lado los números racionales menores que \( \xi \) y al otro los mayores o iguales (la igualdad sólo se podrá dar si \( \xi \) es racional). Por ejemplo, si \( \xi=\sqrt2 \), sería:

\( \alpha = \{r\in \mathbb Q\mid r<\sqrt 2\},\qquad \beta = \{s\in \mathbb Q\mid \sqrt 2\leq s\} \).

Recíprocamente, podemos decir que \( \xi \) es el único número real que queda entre \( \alpha \) y \( \beta \), es decir, el único número real que es mayor que todos los elementos de \( \alpha \) y menor o igual que todos los de \( \beta \).

Notemos que es fundamental decir "mayor" en un caso y "menor o igual" en el otro, porque si \( \xi \) fuera un número racional, podríamos partir \( \mathbb Q \) de dos formas distintas:

\( \alpha = \{r\in \mathbb Q\mid r<\xi\},\qquad \beta = \{s\in \mathbb Q\mid \xi\leq s\} \)

o bien

\( \alpha = \{r\in \mathbb Q\mid r\leq \xi\},\qquad \beta = \{s\in \mathbb Q\mid \xi< s\} \)

En el primer caso \( \xi \) es el mínimo de \( \beta \) y \( \alpha \) no tiene máximo, mientras que en el segundo caso \( \xi \) es el máximo de \( \alpha \) y \( \beta \) no tiene mínimo. Si \( \xi \) es irracional las dos formas de partir \( \mathbb Q \) son en realidad la misma y ni \( \alpha \) ni \( \beta \) tienen máximo ni mínimo.

Para evitar esta duplicidad, consideramos únicamente cortes en los que \( \alpha \) no tiene máximo, mientras que \( \beta \) tendrá mínimo si \( \xi \) es racional y no lo tendrá si es irracional.

Y ahora observamos que si conocemos el corte \( (\alpha, \beta) \) determinado por \( \xi \), podemos saber quién es \( \xi \), ya que \( \xi = \sup\alpha = \inf\beta \).

En resumen: cada número real \( \xi \) determina un corte \( (\alpha, \beta) \) y está determinado por él, en el sentido de que, si conocemos el corte, tenemos completamente determinado a \( \xi \).

El paso siguiente es darse cuenta de que, aunque hemos definido los cortes \( (\alpha, \beta) \) a partir de los números reales, los cortes son meros pares de conjuntos de números racionales, y podemos definirlos sin hacer referencia a números reales. Para ello observamos que un corte \( (\alpha, \beta) \) definido por un número real \( \xi \) cumple estas propiedades que no involucran números reales en su enunciado:

  • \( \alpha\neq \emptyset \) y \( \beta\neq \emptyset \)

    (Todo número real \( \xi \) tiene números racionales a su izquierda y también a su derecha.)

  • Si \[ r\in \alpha \] y \( s\in \beta \), entonces \( r<s \)

    (Es tanto como decir que si \( r<\xi\leq s \), entonces \( r<s \) o también que todos los números menores que \( \xi \) están a la izquierda de todos los números mayores o iguales que \( \xi \).)

  • Si \( r\in\alpha \), existe un \( r'\in \alpha \) tal que \( r<r' \)

    (Esto significa que \( \alpha \) no tiene máximo, que si un número racional cumple \( r<\xi \), entonces existe otro número racional \( r<r'<\xi \).)


Lo mismo vale para ejemplos concretos de cortes. Por ejemplo, el corte definido por \( \sqrt 2 \) puede definirse equivalentemente como

\( \alpha = \{r\in \mathbb Q\mid r<0\}\cup \{r\in \mathbb Q\mid r\geq 0,\ r^2<2\},\qquad \beta = \{s\in \mathbb Q\mid  2\leq s^2\} \).

En efecto, observa que \( s\geq \sqrt 2 \) es equivalente  \( s^2\geq 2 \), mientras que con \( r<\sqrt 2 \) hay que tener cuidado. Si \( r\geq 0 \), entonces \( r<\sqrt 2 \) es equivalente a \( r^2<2 \), pero los números negativos son todos menores que \( \sqrt 2 \).

Dedekind definió los números reales como los pares \( (\alpha, \beta) \) que cumplen las tres propiedades anteriores.

Spoiler
Creo que la frase anterior no es exacta, sino que Dedekind filosofaba más de la cuenta y hablaba de que existía un número real asociado a cada par, pero al final es equivalente.
[cerrar]

Pero las construcciones modernas simplifican un poco esta idea observando que si un par \( (\alpha, \beta) \) cumple las tres propiedades anteriores, entonces \( \beta = \mathbb Q\setminus \alpha \) y \( \alpha \) cumple las tres propiedades:

I  \( \alpha \) es no vacío, y \( \alpha \) no es \( \mathbb Q \)
II Si \( p\in{\alpha} \), \( q\in{\mathbb Q} \) y \( q<p \) entonces \( q\in \alpha \)
III Si \( p\in \alpha \) entonces \( p<r \) para algún \( r\in \alpha \)

Y, recíprocamente, si \( \alpha \) cumple estas tres propiedades entonces, tomando \( \beta = \mathbb Q\setminus \alpha \), el par \( (\alpha, \beta) \) cumple las tres de Dedekind.

En suma, que \( \beta \) es redundante, pero conviene que pienses que un \( \alpha \) que cumpla estas tres propiedades es la parte izquierda del corte definido por un número real, mientras que la parte derecha es \( \mathbb Q\setminus \alpha \).

Un ejemplo de cortadura sería

\( \sqrt 2 = \{r\in \mathbb Q\mid  r<0\}\cup \{r\in \mathbb Q\mid r\geq 0,\ r^2<2\} \)

¿De qué forma cumple este ejemplo las tres propiedades de las cortaduras?

Si supones conocidos los números reales, tienes que \( \alpha \) es el conjunto de los números racionales menores que \( \sqrt 2 \), y es inmediato que cumple las tres propiedades (hay números racionales menores y mayores que \( \sqrt 2 \), si \( q<p<\sqrt 2 \) entonces \( q<\sqrt 2 \) y si \( p<\sqrt 2 \) existe \( p<q<\sqrt 2 \)).

Demostrar que \( \alpha \) es una cortadura sin hacer referencia a \( \sqrt 2 \) es un ejercicio de malabarismo matemático que te voy a poner en un spoiler, pero sólo es un ejercicio sobre el álgebra de \( \mathbb Q \) que en realidad no aporta nada ilustrativo —a mi juicio— sobre la construcción de \( \mathbb R \). Es probar de forma complicada algo que será evidente cuando tengamos construido \( \mathbb R \) y que no es necesario probar para llevar a cabo la construcción.

Spoiler
  • Como \( 1^2<2<2^2 \), se cumple que \( 1\in \alpha \) y \( 2\in \mathbb Q\setminus \alpha \), luego se cumple la primera propiedad.

  • Si \( p\in \alpha \) y \( q<p \), o bien \( q<0 \), en cuyo caso \( q\in \alpha \) por definición, o bien \( 0\leq q<p \), en cuyo caso \( p^2<q^2<2 \), luego también \( q\in \alpha \).

  • Si \( p\in \alpha \), o bien \( p\leq 0 \), en cuyo caso \( p<1\in \alpha \), o bien \( p>0 \), en cuyo caso \( p^2<2 \). Vamos a ver qué tiene que cumplir un número racional \( \epsilon>0 \) para que \( p+\epsilon\in \alpha \):

    \( (p+\epsilon)^2 = p^2+2p\epsilon+\epsilon^2<2 \)

    Esto equivale a que \( \epsilon(2p+\epsilon)<2-p^2 \). Si tomamos \( 0<\epsilon<1 \) y \( \epsilon<\frac{2-p^2}{2p+1} \), entonces

    \( \epsilon(2p+\epsilon)<\epsilon(2p+1)<2-p^2 \),

    luego \( p<q=p+\epsilon\in \alpha \).
[cerrar]

Necesito refrescar mis conocimientos de lógica proposicional, o de predicados, que no sé cuál de las dos resuelve mi duda: II implica las dos siguientes afirmaciones:

Si \( p\in \alpha \) y \( q\not\in \alpha \), entonces \( p<q \)
Si \( r\not\in \alpha \) y \( r<s \) entonces \( s\not\in \alpha \)

Justificación:
La primera afirmación es cierta puesto que si \( q<p \) por la condición (II) \( q\in \alpha \), contradicción.

Un ligero matiz es que lo contrario de \( p<q \) no es el \( q<p \) que supones, sino \( q\leq p \), pero el caso \( q=p \) se descarta también por la hipótesis, ya que \( p \) está en \( \alpha \) y \( q \) no.

Y la segunda, si \( s\in\alpha \) por (II) \( r\in\alpha \), nuevamente, contradicción.

Correcto. ¿Para qué necesitas entonces repasar nada de lógica? Créeme si te digo que cuando tengas que razonar algo, lo menos útil que puedes hacer es tratar de formalizar el razonamiento. Eso sólo oculta las ideas, y para razonar hacen falta ideas, no patitas de mosca como \( \land \), \( \lor \) y esas cosas. Te lo digo totalmente en serio.

He estado estudiando estas dos implicaciones. El dominio es \( \mathbb R \),

Mal empiezas. En una construcción de \( \mathbb R \), mentar a \( \mathbb R \) es tabú, salvo que te refieras a los números reales como las meras cortaduras que hemos definido, que no es el caso.

y he pensado que hace falta una secuencia de pasos (o tal vez no) dentro de la lógica de predicados. Y lo que he creído conseguir es el primer paso:

"Si \( p\in{\alpha} \), \( q\in{\mathbb Q} \) y \( q<p \) entonces \( q\in \alpha \)", en lógica de predicados, sería \( \forall \;x\;y(P(x)Q(y)\wedge R(x,y)\longrightarrow{P(y)}) \), pero lo publico nada más que por querer tener iniciativa.

Por ahí no vas a llegar a nada. No puedes demostrar esas implicaciones usando sólo reglas lógicas. Tienes que usar lo que de hecho has usado: que la relación de orden en \( \mathbb Q \) es transitiva, que lo contrario de \( p<q \) es \( q\leq p \), que a su vez se desdobla en que \( q<p \) o \( q=p \), y así mil cosas más que si intentas atarlas con patitas de mosca te quedará un jeroglífico que sólo se entiende si sabes de antemano lo que pretende significar.

31 Enero, 2021, 12:41 pm
Respuesta #4

Carlos Ivorra

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Si tenemos dos irracionales “x” e “y”, podría ser que no existiera un racional entre medias (que yo sepa no está demostrado que lo haya siempre)

Siempre hay un racional entre dos irracionales. Por simplicidad supón que \( 0<x<y \). Entonces \( y-x>0 \), luego existe un número natural \( m>1/(y-x) \), lo que equivale a que \( 1/m<y-x \). Considera el mínimo número natural que cumple \( mx<n \), de modo que \( x<n/m \). Entonces \( n/m<y \), porque si fuera \( y\leq n/m \), entonces \( x<y-1/m\leq n/m-1/m=(n-1)/m \), luego \( mx<n-1 \), en contra de la minimalidad de \( n \).

Si \( x<0<y \) te sirve \( r=0 \) y si \( x<y<0 \) aplica lo anterior a \( 0<-y<-x \).

31 Enero, 2021, 01:57 pm
Respuesta #5

feriva

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Siempre hay un racional entre dos irracionales. Por simplicidad supón que \( 0<x<y \). Entonces \( y-x>0 \), luego existe un número natural \( m>1/(y-x) \)...

Ah, sí, es verdad; en ese punto me había atrancado un poco y por eso no acababa de verlo (por una cuestión de conceptos, de estar seguro de cómo se definen o consideran algunas cosas).

De todas formas, a ver si he razonado bien.

\( y-x \) es la diferencia entre dos números reales y, por tanto, por la cerradura es un real. Por otra parte, \( (y-x)^{-1}
  \) es la inversa de un real y, entonces, es también un real. La parte entera de un real positivo es siempre un número natural, con lo que si quitamos la mantisa y añadimos 1, por ejemplo, tenemos un número natural mayor que \( (y-x)^{-1}
  \). ¿Es correcto?

Gracias, Carlos.

31 Enero, 2021, 02:01 pm
Respuesta #6

Carlos Ivorra

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De todas formas, a ver si he razonado bien.

\( y-x \) es la diferencia entre dos números reales y, por tanto, por la cerradura es un real. Por otra parte, \( (y-x)^{-1}
  \) es la inversa de un real y, entonces, es también un real. La parte entera de un real positivo es siempre un número natural, con lo que si quitamos la mantisa y añadimos 1, por ejemplo, tenemos un número natural mayor que \( (y-x)^{-1}
  \). ¿Es correcto?

Sí, es correcto. Más rápidamente, si \( \alpha \) es un número real, entonces \( E[\alpha]\leq \alpha <E[\alpha]+1 \), luego siempre hay un número entero mayor que un número real dado, que será un número natural si \( \alpha\geq 0 \) (e incluso si \( \alpha<0 \), trivialmente hay números naturales mayores). En realidad, lo usual es que para probar la existencia de la parte entera tengas que probar antes que todo número real se puede superar por un número natural. Eso es la propiedad arquimediana de \( \mathbb R \).

31 Enero, 2021, 02:07 pm
Respuesta #7

feriva

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Sí, es correcto. Más rápidamente, si \( \alpha \) es un número real, entonces \( E[\alpha]\leq \alpha <E[\alpha]+1 \), luego siempre hay un número entero mayor que un número real dado, que será un número natural si \( \alpha\geq 0 \) (e incluso si \( \alpha<0 \), trivialmente hay números naturales mayores). En realidad, lo usual es que para probar la existencia de la parte entera tengas que probar antes que todo número real se puede superar por un número natural. Eso es la propiedad arquimediana de \( \mathbb R \).

Muchas gracias, Carlos. Tenía en el olvido la propiedad arquimediana, que es tan importante.

Saludos.

31 Enero, 2021, 08:16 pm
Respuesta #8

Marcos Castillo

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¡Hola Carlos, feriva!

Mañana respondo. :-X El plan es imprimir el hilo, estudiar un poco, y plantear las dudas.

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

31 Enero, 2021, 09:50 pm
Respuesta #9

feriva

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¡Hola Carlos, feriva!

Mañana respondo. :-X El plan es imprimir el hilo, estudiar un poco, y plantear las dudas.

¡Un saludo!

Pues te cuento por qué había tenido esa duda y así quizá me adelanto a alguna duda tuya sobre la que puedas llegar a consultar.

Si x es un número real y tenemos

\( \triangle x\rightarrow0;\, x+\triangle x=x
  \), esto supone \( \, x=x-\triangle x
  \), es decir, \( x-\triangle x
  \) es el mismo número real que “x” (igual que al sumarlos) y no reparé en ello.

Porque un mismo número real, si es irracional (y si es racional también) puede ser, morfológicamente hablando, distinto de sí mismo, puede tener cifras transfinitas, sin valor, pero diferentes; sin embargo, son como adornos a la hora de considerar el elemento del conjunto, no cambian el número. Esto es, si restas esas dos versiones morfológicamente distintas del mismo número real, da un infinitesimal (que sólo interactúa en el análisis real al hacer derivadas y cosas así, pues todos los infinitesimales son el número real cero).

Por tanto, la diferencia entre dos reales distintos es un real distinto de cero. Y su inverso también pertenece a R; por muy grande que pueda ser en caso de que los reales estén muy cerca en valor y la diferencia sea muy pequeña.

Una vez que hemos reparado en eso, y analizada la demostración que ha puesto Carlos, no cabe duda de que entre dos reales cualesquiera siempre hay un número racional.

Y, visto lo cual, es igualmente claro que a cada número real le corresponde una pareja única de conjuntos; la que forman los conjuntos de racionales que están a cada lado del corte.

Yo creo que, si lo piensas un poco, se ve bastante claro. El próximo día hay que ir pensando ya en ver cómo se hacen operaciones con esos conjuntos...

Saludos.