Autor Tema: Propiedades de un subconjunto H

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29 Enero, 2021, 04:09 pm
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Hauss

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Hola, tengo un problema que me resulta muy ambiguo, pues no comprendo que es lo que se me pide concretamente, pero he hecho un intento de acuerdo a lo que he entendido:

Sea \( H\subset \mathbb R \). ¿Qué propiedades de H expresan las siguientes fórmulas?

\( \text{a) }(\forall x\in \mathbb R)(\exists y\in H)(x<y) \)

\( \text{b) }(\forall x\in H)(\exists y\in \mathbb R)(x<y) \)

\( \text{c) }(\forall x\in H)(\exists y\in H)(x<y) \)

Lo que he intentado ha sido lo siguiente:

a) Aquí haciendo un dibujo lo que he notado es que H no está acotado superiormente
b) En un principio creía que esto implicaba que H tenia la misma cardinalidad que los reales, pero vi que no, tomando por ejemplo \( H=\{0\} \), así que está aun no la tengo
c) En esta creo que si se sigue que H tiene la misma cardinalidad que los reales

No sé si estoy en lo correcto o si esas son las propiedades del conjunto H o tiene algunas más simples, espero me puedan ayudar

29 Enero, 2021, 04:16 pm
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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Hola, tengo un problema que me resulta muy ambiguo, pues no comprendo que es lo que se me pide concretamente, pero he hecho un intento de acuerdo a lo que he entendido:

Sea \( H\subset \mathbb R \). ¿Qué propiedades de H expresan las siguientes fórmulas?

\( \text{a) }(\forall x\in \mathbb R)(\exists y\in H)(x<y) \)

\( \text{b) }(\forall x\in H)(\exists y\in \mathbb R)(x<y) \)

\( \text{c) }(\forall x\in H)(\exists y\in H)(x<y) \)

Lo que he intentado ha sido lo siguiente:

a) Aquí haciendo un dibujo lo que he notado es que H no está acotado superiormente

Correcto.

b) En un principio creía que esto implicaba que H tenia la misma cardinalidad que los reales, pero vi que no, tomando por ejemplo \( H=\{0\} \), así que está aun no la tengo

La propiedad b) no dice nada de \( H \). Es una propiedad que cumplen todos los subconjuntos de \( \mathbb R \).

c) En esta creo que si se sigue que H tiene la misma cardinalidad que los reales

No, eso no es cierto. Esa propiedad la cumple, por ejemplo, \( H=\mathbb N \). Lo que afirma es que \( H \) no tiene máximo elemento, pero no impide que pueda estar acotado y tener supremo.