Autor Tema: Numerabilidad

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29 Enero, 2021, 03:18 pm
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Hauss

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Hola, tengo el siguiente problema:

Sea \( S\subset \mathbb R \) no numerable. Demuestre que existe \( t\in \mathbb R \) tal que \( S\cap (-\infty, t) \) y \( S\cap (t,\infty) \) son ambos no numerables.

Intuitivamente es fácil ver que existe tal \( t \), tomándolo de modo que la intersección no es vacía y como la intersección es no vacía y de modo que no nos quede un conjunto con un solo punto tendremos que es no numerable. Lo que me cuesta trabajo es ¿Cómo mostrar que existe dicha \( t \)? Espero me puedan ayudar, de antemano muchas gracias.

29 Enero, 2021, 03:40 pm
Respuesta #1

argentinator

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Supongamos que todo \(t\in S\) cumple que \(A=S\cap (-\infty,t),B=S\cap (t,\infty)\) son numerables.
Elijgamos un tal \(t\).
Entonces, \(S\) es numerable, por ser unión de \(A,B,\{t\}\), que son tres conjuntos numerables.
Contradicción con la hipótesis.

29 Enero, 2021, 03:53 pm
Respuesta #2

Hauss

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Muchas gracias!

29 Enero, 2021, 04:10 pm
Respuesta #3

Carlos Ivorra

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Supongamos que el resultado es falso, es decir, que para todo \( t \), uno de los conjuntos \( A\cap(-\infty, t) \) o \( S\cap (t, +\infty) \) es numerable.

Tenemos que

\( \displaystyle S=\bigcup\limits_{n\in\mathbb Z}(S\cap [n,n+1]) \)

Si todos los conjuntos \( S\cap [n,n+1] \) fueran numerables, \( S \) sería unión numerable de conjuntos numerables, y sería numerable. Por lo tanto existe un \( n\in \mathbb Z \) tal que \( X_0=S\cap [n,n+1] \) es no numerable.

En particular, \( S\cap (n,+\infty) \) es no numerable, luego \( S\cap (-\infty, n) \) es numerable. Igualmente \( S=(n+1, +\infty) \) es numerable. Llamemos

\( S_0=(S\cap (-\infty, n))\cup(S\cap (n+1+\infty)) \),

 que es numerable. Así \( S=S_0\cup X_0 \), con \( S_0 \) numerable y, llamando \( a_0=n \), \( b_0=n+1 \), tenemos que \( X_0\subset [a_0, b_0] \) no numerable.

Llamamos \( c_0 = (a_0+b_2)/2 \) y consideramos los conjuntos \( A_0=S\cap (-\infty, c_0) \), \( B_0=S\cap (c_0, +\infty) \). Por hipótesis, uno de los dos es no numerable y el otro numerable.

Si el no numerable es \( A_0 \), entonces \( X_1=S\cap [a_0, c_0] \) también es no numerable, pues

\( A_0=S\cap (-\infty, c_0) = (S\cap (-\infty, a_0))\cup (S\cap [a_0, c_0]) \)

y el primer conjunto es numerable, porque está contenido en \( S_0 \), mientras que \( S_1=S\cap [c_0, b_0] \) es numerable, porque está contenido en \( B_0 \).

Llamamos \( a_1=a_0 \), \( b_1=c_0 \), con lo que ahora tenemos que

\( S=S_0\cup S_1\cup X_1 \),  \( X_1\subset [a_1, b_1]  \) no numerable,   \( S_1 \) numerable.

Si el conjunto no numerable era \( B_0 \) en lugar de \( A_0 \) razonamos análogamente, pero tomando ahora \( X_1 = S\cap [c_0, b_1] \), \( S_1= S\cap [a_0, c_0] \), \( a_1=c_0 \), \( b_1=b_0 \) y tenemos exactamente la misma conclusión.

Repetimos el proceso tomando \( c_1 = (a_1+b_1)/2 \). Todo vale exactamente igual, lo que nos lleva a una descomposición

\( S=S_0\cup S_1\cup S_2\cup X_2 \),  \( X_2\subset [a_2, b_2]  \) no numerable,   \( S_2 \) numerable.

En general construimos así una sucesión \( \{S_n\}_n \) de conjuntos numerables y una sucesión de intervalos encajados \( \{[a_n, b_n]\}_n \) de longitud \( 1/2^n \) de modo que \( X_n=S\cap [a_n, b_n] \) es no numerable y

\( S=\bigcup\limits_{i=0}^n S_n\cup X_n \)

Ahora bien, por el teorema de los intervalos encajados, existe un número real \( \alpha \) tal que \( \bigcap\limits_{n=0}^\infty [a_n, b_n]=\{\alpha\} \), luego \( \bigcap\limits_{n=0}^\infty X_n\subset \{\alpha\} \). Esto hace que

\( S = \bigcup\limits_{n=0}^\infty S_n\cup \bigcap\limits_{n=0}^\infty X_n \) sea numerable

y tenemos una contradicción.

29 Enero, 2021, 04:10 pm
Respuesta #4

Carlos Ivorra

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Supongamos que todo \(t\in S\) cumple que \(A=S\cap (-\infty,t),B=S\cap (t,\infty)\) son numerables.
Elijgamos un tal \(t\).
Entonces, \(S\) es numerable, por ser unión de \(A,B,\{t\}\), que son tres conjuntos numerables.
Contradicción con la hipótesis.

No, esto no vale. Lo contrario de la hipótesis no es que los dos conjuntos sean numerables, sino que al menos uno de ellos lo sea.

29 Enero, 2021, 04:43 pm
Respuesta #5

geómetracat

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Una solución más corta. Sea \[ a \] el ínfimo de los \[ t \] tales que \[ S \cap (-\infty,t) \] es no numerable, y \[ b \] el supremo de los \[ t \] tales que \[ S \cap (t,+\infty) \] es no numerable (\[ a \] puede ser \[ -\infty \] y \[ b \] puede ser \[ +\infty \]). Es fácil de ver que \[ S \cap (-\infty,a) \] y \[ S \cap (b,+\infty) \] son ambos numerables (o finitos). En efecto, \[ S \cap (-\infty, a) = \bigcup_{n=1}^\infty (S \cap (-\infty, a-\frac{1}{n})) \], que es unión numerable de conjuntos numerables y por tanto numerable. Análogamente con \[ S \cap (b,+\infty) \].

Observemos que como \[ S \] es no numerable necesariamente \[ a\leq b \] (en caso contrario \[ S \] sería numerable por ser unión de dos conjuntos numerables). Además, debe ser \[ a<b \] pues si \[ a=b \] tendríamos que \[ S=(S \cap (-\infty,a)) \cup \{a\} \cup (S \cap (a,+\infty)) \] sería numerable.
Ahora basta con tomar cualquier \[ t \] con \[ a<t<b \] y ya estamos.

La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

29 Enero, 2021, 07:01 pm
Respuesta #6

Carlos Ivorra

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Una variante simplificada de mi prueba anterior:

Para cada número natural \( n \) fijo,

\( \displaystyle S=\bigcup\limits_{k\in \mathbb Z}\left(S\cap \left[\frac{k}{2^n},\frac{k+1}{2^n}\right]\right) \),

luego existe al menos un \( k \) tal que \( S\cap \left[\frac{k}{2^n},\frac{k+1}{2^n}\right] \) es no numerable (o \( S \) sería unión numerable de conjuntos numerables).

Si existen dos valores \( k<k' \) que cumplan esto, entonces \( t = k'/2^n \) cumple lo requerido, porque

\( \displaystyle S\cap \left[\frac{k}{2^n},\frac{k+1}{2^n}\right]\subset S\cap (-\infty,t) \),   \( \displaystyle S\cap \left(\frac{k'}{2^n},\frac{k'+1}{2^n}\right]\subset S\cap (t, +\infty) \),

luego ambos conjuntos son no numerables.

Vamos a ver que no puede darse el caso contrario, es decir, que para todo \( n \) exista un único \( k_n \) tal que \( I_n = \left[\frac{k_n}{2^n},\frac{k_n+1}{2^n}\right] \) cumpla que \( S\cap I_n \) es no numerable, y por lo tanto \( S\setminus I_n\subset \bigcup\limits_{k\neq k_n}\left(S\cap \left[\frac{k}{2^n},\frac{k+1}{2^n}\right]\right) \) es numerable (unión numerable de numerables).

Si \( m<n \), como \( I_n \) está contenido en un intervalo de la forma \( I=\left[\frac{k}{2^n},\frac{k+1}{2^n}\right] \), y entonces \( S\cap I_n\subset S\cap I \), luego éste es no numerable, por la unicidad tiene que ser precisamente \( I=I_m \), es decir, que se cumple \( I_n\subset I_m \). Por lo tanto, \( \{I_n\}_{n=0}^\infty \) es una familia de intervalos encajados de longitud \( 1/2^n \), luego por el teorema de los intervalos encajados existe \( \alpha\in \mathbb R \) tal que \( \bigcap\limits_{n=0}^\infty I_n=\{\alpha\} \). Entonces \( S\subset \bigcup\limits_{n=0}^\infty(S\setminus I_n)\cup \{\alpha\} \) es numerable y tenemos una contradicción.

29 Enero, 2021, 07:41 pm
Respuesta #7

argentinator

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Supongamos que todo \(t\in S\) cumple que \(A=S\cap (-\infty,t),B=S\cap (t,\infty)\) son numerables.
Elijgamos un tal \(t\).
Entonces, \(S\) es numerable, por ser unión de \(A,B,\{t\}\), que son tres conjuntos numerables.
Contradicción con la hipótesis.

No, esto no vale. Lo contrario de la hipótesis no es que los dos conjuntos sean numerables, sino que al menos uno de ellos lo sea.

Bueno, estoy teniendo un 2021 horrible.
 :banghead: :banghead: :banghead:

29 Enero, 2021, 07:46 pm
Respuesta #8

Carlos Ivorra

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Bueno, estoy teniendo un 2021 horrible.
 :banghead: :banghead: :banghead:

Eso es que estás oxidado. Tú vuelve a participar en el foro y verás cómo te pones a tono enseguida, que aquí se echa en falta tu presencia.

29 Enero, 2021, 09:52 pm
Respuesta #9

Hauss

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Muchas gracias a todos por sus respuestas, me sirven mucho para aprender como atacar este tipo de problemas.