Autor Tema: Congruencias

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24 Enero, 2021, 11:24 am
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alvarez

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¡Hola matemáticos!

Me he topado por la red con este problema de Congruencias y no sé muy bien cómo resolverlo. He empezado relativamente poco con este tema, así que supongo que será por eso.

Sea p un primo impar. Un entero \( a \) no divisible por \( p \) se llama un resto cuadrático módulo \( p \) si la ecuación \( x^2\equiv a \) (mod \( p \)) tiene solución.

(1) Prueba que si \( a \) es un entero no divisible por \( p \) y la ecuación \( x^2\equiv a \) (mod \( p \)) tiene solución, entonces tiene exactamente dos soluciones. ¿Cuáles son los restos cuadráticos módulo \( 11 \)?.

(2) Para un entero \( a \) no divisible por \( p \), prueba que \( a^{\frac{p-1}{2}} \) es siempre congruente con \( 1 \) o con \( -1 \), y que es congruente con \( 1 \) si y sólo si \( a \) es un resto cuadrático módulo \( p \) (Indicación: para probar una de las implicaciones, considera todas las parejas \( (x,y) \) con \( xy\equiv a \) (mod \( p \)) y utiliza la Congruencia de Wilson vista en el ejercicio 16 del tema 7).

(3) Prueba que \( -1 \) es cuadrático módulo \( p \) si y sólo si \( p\equiv 1 \) (mod \( 4 \)).

Si podéis darme indicaciones para saber cómo resolverlo, os estaría muy agradecidos.

Un saludo.

Mensaje corregido desde la administración.

24 Enero, 2021, 01:08 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

 En particular no debes de usar imágenes para colocar el enunciado de un problema; deberías de haberlo escrito directamente en el mensaje, usando LaTeX para las fórmulas.

 Por esta vez te hemos corregido el mensaje desde la administración.

 En cuanto al problema, a la hora de enfocar su resolución habría saber exactamente que resultados previos conoces. Eso hará que algunos razonamientos puedan ser más directos o hay que dar más rodeos o probar otras cosas previamente.

Citar
Me he topado por la red con este problema de Congruencias y no sé muy bien cómo resolverlo. He empezado relativamente poco con este tema, así que supongo que será por eso.

Sea \( p \) un primo impar. Un entero \( a \) no divisible por \( p \) se llama un resto cuadrático módulo \( p \) si la ecuación \( x^2\equiv a \) (mod \( p \)) tiene solución.

 Una forma bastante autocontenida:

 1) Si no lo has hecho ya prueba que el conjunto de enteros módulo \( p \), con \( p \) primo es un cuerpo. Básicamente lo único no trivial es que demostrar que todo elemento tiene inverso multiplicativo. Es decir que dado \( a \) no múltiplo de \( p \), existe \( b \) tal que \( ab=1+kp \). Lo único que hay que usar es que, por el algoritmo de Euclides, si \(  mcd(a,p)=1 \) existen enteros positivos.

 2) La ecuación \( x^2\equiv a \) equivale a \( x^2-a\equiv 0 \) (ya no escribiré el mod \( p \); se presupone).

 3) Dada una solución \( x_0 \), la ecuación se puede escribir como:

\( x^2-a\equiv 0\quad \Leftrightarrow{}\quad x^2-x_0^2\equiv 0\quad \Leftrightarrow{}\quad (x-x_0)(x+x_0)\equiv 0 \)

 4) De lo anterior es inmediato que \( -x_0 \) es también solución; comprueba que \( -x_0\not\equiv x_0 \) (ya tienes dos soluciones) y deduce, usando esta versión de la ecuación \( (x-x_0)(x+x_0)\equiv 0 \) que no hay más.

 Completa los detalles; intenta el resto. Indica que cosas sabes sobre congruencias. Por ejemplo en el ejericio (2) te indican que uses la Congruencia de Wilson. ¿Sabes de qué habla?.

Saludos.

28 Enero, 2021, 07:26 pm
Respuesta #2

alvarez

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Hola, muchas gracias. Perdón por no usar los símbolos y subir la imagen. Revisaré tus sugerencias y te comentaré sobre a ello.

1) Esa demostración sí la he dado, gracias.

4) Y sí, también conozco la congruencia de Wilson.