Autor Tema: Problema de Wetzel e hipótesis del continuo

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22 Enero, 2021, 09:44 pm
Respuesta #10

Eparoh

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Muchas gracias por toda la ayuda, esta parte ya está entendida, aunque ahora que la entendí, revisando con cuidado el argumento de Erdös para construir la función \( f_\gamma \), no veo tan claro y sencillo como se argumenta que es posible elegir los \( \varepsilon_n \) de modo que la función sea analítica y cumpliendo las dos condiciones que se desean para ella.

Para ver que es analítica eligiendo los \( \varepsilon_n \) adecuadamente había pensado en utilizar el test-M de Weirstrass para ver que converge uniformemente en los compactos de \( \mathbb{C} \), pero de esta forma para cada compacto cada vez con mayor diametro necesitaría un valor cada vez más pequeño de \( \varepsilon_n \) pues los polinomios que componen los sumandos no están acotados, así que no se por donde seguir.

Respecto a como tomarlos para ver que \( f_\gamma(w_n) \not = g_n(w_n) \) si entiendo que puedes tomar primero \( \varepsilon_0 \) de modo que se cumpla para \( n=1 \), después tomar \( \varepsilon_1 \) para que se cumpla para \( n=2 \), y así sucesivamente aunque como no se ver lo demás, tampoco estoy muy seguro de como encajaría todo.

Y, el argumento de la densidad de \( S \) si que no tengo ni idea :/

¿Tienes alguna idea de como se ve esto?

Un saludo y de verdad, muchas gracias por la ayuda que siempre ofreces por este rincón de internet ;)

23 Enero, 2021, 12:17 am
Respuesta #11

geómetracat

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La verdad es que cuando leí la prueba pensé que era razonable, pero no me puse a verficarlo en detalle. Me ha costado un poco, pero creo que sale bien.

Para ver que es analítica tu idea de usar el test M es buena, solamente hay que tomar los \[ \epsilon_n \] con cuidado. Si los eliges bien no es cierto que deban depender del diámetro del compacto. En detalle, sea \[ C_n=\max\{1,|w_1|,\dots,|w_n|\} \]. Si queremos ver la convergencia uniforme en el disco cerrado de radio \[ R \], tenemos que el sumando \[ n \]-ésimo \[ \epsilon_n(z-w_1)\dots(z-w_n) \] está acotado en módulo por \[ |\epsilon_n|(R+C_n)^n \]. Si tomamos \[ \epsilon_n \] de forma que \[ 0<|\epsilon_n|<\frac{1}{C_n^n n!} \], se tiene que el sumando \[ n \]-ésimo está acotado en módulo por \[ \frac{1}{n!}(1+R/C_n)^n \leq \frac{1}{n!}(1+R)^n  \], y la suma de esto último da \[ e^{1+R} \]. Como la serie converge independientemente del valor de \[ R \], la serie converge uniformemente en todos los compactos, y por tanto la función es entera.

Ahora falta ver que podemos tomar los \[ \epsilon_n \] de forma que se cumplan las dos condiciones \[ f_\gamma(w_n)\in S \] y \[ f_\gamma(w_n)\neq g_n(w_n) \]. Esto se consigue escogiendo los \[ \epsilon_n \] secuencialmente uno después del otro. Fíjate primero que el valor de \[ f_\gamma(w_n) \] depende únicamente de \[ \epsilon_0,\dots,\epsilon_{n-1} \], por tanto las elecciones de los \[ \epsilon \] posteriores no van a cambiar el valor de \[ f_\gamma(w_n) \]. Ahora supón que hemos elegido los \[ \epsilon_0,\dots,\epsilon_{n-1} \] de forma que se cumplen las condiciones para \[ w_0,\dots,w_n \] y además cumplen las cotas de más arriba necesarias para la convergencia a una función entera. Vamos a ver que podemos escoger un \[ \epsilon_n \] de manera que se cumplan las condiciones para \[ w_{n+1} \].

En efecto, \[ f_\gamma(w_{n+1})=\sum_{i=0}^n \epsilon_i \prod_{j=1}^i (w_{n+1}-w_j)=A+\epsilon_nB \], donde \[ A,B \] son constantes una vez fijados \[ \epsilon_0,\dots,\epsilon_{n-1} \]. Si el parámetro \[ \epsilon_n \] se mueve en el abierto \[ 0<|\epsilon_n|<\frac{1}{C_n^n n!} \] el valor \[ f_\gamma(w_{n+1}) \] se mueve en un abierto de \[ \Bbb C \]. Ahora, como \[ S \] es denso en \[ \Bbb C \], necesariamente existe un valor de \[ \epsilon_n \] que cumpla  \[ 0<|\epsilon_n|<\frac{1}{C_n^n n!} \] tal que \[ f_\gamma(w_{n+1})\in S \] y \[ f_\gamma(w_{n+1})\neq g_{n+1}(w_{n+1}) \]. Esto acaba la prueba.

Un saludo y de verdad, muchas gracias por la ayuda que siempre ofreces por este rincón de internet ;)
De nada!  ;) La verdad es que yo también aprendo bastante con estas cosas (y practico cosas que tengo un poco oxidadas). Este teorema no lo conocía y me ha parecido muy bonito.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

23 Enero, 2021, 03:38 pm
Respuesta #12

Eparoh

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Gracias de nuevo, está ahora todo bien claro.
Al final, no era un argumento tan complicado pero claro solo cuando te lo muestran como haces tu  ;D

La verdad es que si es un teorema muy bonito y para mi muy sorprendente como algo tan sencillo de enunciar puede ser equivalente a la hipótesis del continuo (bueno, a su negación).

Un saludo.