Autor Tema: Problema de Wetzel e hipótesis del continuo

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

21 Enero, 2021, 08:04 pm
Leído 465 veces

Eparoh

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 291
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola a todos, el siguiente problema se conoce como problema de Wetzel:

Citar
Sea \( \mathcal{F}=\{f_i : \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C}: i \in I\} \) una familia de funciones holomorfas indexadas por un cierto conjunto \( I \), y tales que para cada \( z \in \mathbb{C} \) el conjunto \( \{f_i(z): i \in I\} \) es numerble. ¿Es entonces \( \mathcal{F} \) numerable?

Sorprendentemente, esta proposición es equivalente a la negación de la hipótesis del continuo como demostró Paul Erdös en este artículo, y mi pregunta es concretamente sobre dicha demostración (la cual realmente estoy consultando en el libro Proofs from THE BOOK de Martin Aigner y Günter M. Ziegler.

En la segunda parte, cuando se supone que la hipótesis del continuo es cierta, se puede dotar a los complejos de un buen orden de la forma

\( \mathbb{C}=\{z_\alpha: 0 \leq \alpha < \omega_1\} \)

(donde \( z_\alpha < z_\beta \) si, y solo si, \( \alpha < \beta \)) y se busca demostrar que existe una familia de funciones enteras distintas

\( \mathcal{F}=\{f_\beta: 0 \leq \beta < \omega_1\} \)

que cumplen que para cada \( \alpha < \beta \)

\( f_\beta(z_\alpha) \in D \hspace{5mm} (1) \)

siendo \( D=\{p+qi \in \mathbb{C}: p,q \in \mathbb{Q}\} \)

Así, si existe una familia de funciones con estas condiciones, tendremos que para cada \( z_\alpha \in \mathbb{C} \) el conjunto \( \{f_\beta(z_\alpha): 0 \leq \beta < \omega_1\} \) es numerable y por tanto como el cardinal de \( \mathcal{F} \) es el del continuo, concluimos que la respuesta a la pregunta es negativa.

Ahora, para demostrar la existencia de dicha familia se emplea inducción transfinita y hasta donde yo entiendo lo que se hace es lo siguiente:

Sea \( P(\gamma) \) la propiedad que nos dice que existe una familia de funciones enteras \( \mathcal{F}_{\gamma}=\{f_\beta: 0 \leq \beta < \gamma\} \) cumpliendo (1), y se prueba que, si \( P(x) \) es cierta para cada ordinal \( x < \gamma < \omega_1 \), entonces \( P(\gamma) \) es cierta. Por tanto, por inducción transfinita tendríamos que \( P(\gamma) \) es efectivamente cierta para cada ordinal \( 0 \leq \gamma < \omega_1 \) pero lo que queremos es demostrarlo concretamente para el ordinal \( \omega_1 \) y no veo como esto lo demuestra.

Quiero decir, por ejemplo si suponemos en los números naturales una cierta propiedad \( P \) y demostramos que si de suponer que \( P(m) \) es cierto para cada \( 0 \leq m < n < 10 \)entonces se concluye que \( P(n) \) es cierto, tenemos por inducción que \( P(m) \) es cierto para cada natural entre \( 0 \) y \( 9 \), pero no por ello la propiedad es cierta para \( 10 \).

No tengo un gran conocimiento sobre números ordinales y tal vez esto me esté jugando una mala pasada, ¿alguien sabe en que estoy equivocándome con lo anterior?

Un saludo y muchas gracias por las respuestas.

21 Enero, 2021, 08:44 pm
Respuesta #1

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,344
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Lo que hace ahí es construir la sucesión de funciones por recursión (usando el teorema de recursión transfinita). Es decir, construye cada función \[ f_\gamma \] supuestas construidas las anteriores. Esto te acaba dando el conjunto \[ \mathcal{F} \]. Fíjate que el paso \[ \omega_1 \] no tiene sentido, pues no hay función \[ f_{\omega_1} \].

De todas maneras, en lo que dices tú, fíjate que si los \[ \mathcal{F}_\gamma \] cumplen que \[ \mathcal{F}_\gamma \subset \mathcal{F}_{\gamma'} \] para todo \[ \gamma < \gamma' \] entonces \[ \mathcal{F} := \bigcup_{\gamma < \omega_1} \mathcal{F}_\gamma \] cumple lo pedido.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

21 Enero, 2021, 11:02 pm
Respuesta #2

Eparoh

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 291
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola, ¿te importaría por favor enunciar exactamente como sería el teorema de recursión  transfinita y como se aplica exactamente en este caso?
Porque, la verdad es que me estoy haciendo un lío :/

Un saludo.

22 Enero, 2021, 09:35 am
Respuesta #3

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,344
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Los detalles son un poco técnicos. Lo importante es tener en cuenta que funciona igual que la recursión en \[ \Bbb N \]: si dados valores \[ f_\beta \] para \[ \beta<\gamma<\omega_1 \] construyes \[ f_\gamma \], tienes construido \[ f_\beta \] para todo \[ \beta<\omega_1 \].

Vamos con los detalles. La versión general del teorema de recursión es como sigue. Sea \[ G:V \to V \] una función definible (\[ V \] es la clase de todos los conjuntos, y que sea definible quiere decir que hay una fórmula \[ \phi(x,y) \] que representa \[ y=G(x) \]). Entonces existe una única función (definible) \[ F:\Omega \to V \] (\[ \Omega \] es la clase de todos los ordinales) tal que \[ F(\alpha)=G(F|_\alpha) \] para todo \[ \alpha \in \Omega \].

Entonces para lo que quieres hacer, se define \[ G:V \to V \] como la función que a un conjunto que sea una sucesión de la forma \[ \langle f_\alpha:\alpha<\gamma\rangle \] donde \[ \gamma < \omega_1 \] y se cumplen todas las condiciones del problema sobre las funciones \[ f_\alpha \], \[ G(\langle f_\alpha:\alpha<\gamma\rangle)=f_\gamma \] (la que se construye en la prueba). Y si \( x \) es un conjunto que no es de la forma anterior, \[ G(x)=\emptyset \] (o cualquier otro conjunto, cómo lo definas aquí es irrelevante).

Por el teorema de recursión existe \[ F:\Omega \to V \] tal que \[ F(\alpha)=G(F|_\alpha) \]. Si sigues la definición de \[ G \] esto quiere decir que \[ F(\alpha)=f_\alpha \] para todo \[ \alpha<\omega_1 \]. Por tanto, la imagen \[ F[\omega_1]=\{F(\alpha):\alpha<\omega_1\} \] es el conjunto que buscamos.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

22 Enero, 2021, 06:34 pm
Respuesta #4

Eparoh

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 291
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola, muchas gracias por la respuesta, pero sigo teniendo bastantes dudas  :-\

Para definir la función \( G \), tienes que suponer a priori que para cada ordinal \( \gamma<\omega_1 \) existe al menos un conjunto de la forma \( \langle f_\alpha:\alpha<\gamma\rangle \) que cumple lo deseado, ¿no?
Porque si no, a partir de cierto ordinal, \( F(\alpha) \) podría ser simplemente el conjunto vacío, ¿no?

Y, fijándome mejor, lo que puse en mi primer comentario sobre la inducción transfinita para intentar demostrar esto no es cierto, pues lo que se demuestra en el artículo es lo que comentas, que si existe un conjunto de esta forma, entonces puedes construir una \( g_\gamma \) distinta que cumpla las condiciones que deseamos, que no es lo mismo que yo dije sobre la inducción, pues si \( \gamma \) es un ordinal límite no funciona el argumento inductivo que plantee, ¿verdad?

Un saludo y gracias por la ayuda.


22 Enero, 2021, 07:24 pm
Respuesta #5

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,344
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Para definir la función \( G \), tienes que suponer a priori que para cada ordinal \( \gamma<\omega_1 \) existe al menos un conjunto de la forma \( \langle f_\alpha:\alpha<\gamma\rangle \) que cumple lo deseado, ¿no?
Porque si no, a partir de cierto ordinal, \( F(\alpha) \) podría ser simplemente el conjunto vacío, ¿no?
Para definir G no necesitas suponer nada. Si te fijas en lo que dije:
Entonces para lo que quieres hacer, se define \[ G:V \to V \] como la función que a un conjunto que sea una sucesión de la forma \[ \langle f_\alpha:\alpha<\gamma\rangle \] donde \[ \gamma < \omega_1 \] y se cumplen todas las condiciones del problema sobre las funciones \[ f_\alpha \], \[ G(\langle f_\alpha:\alpha<\gamma\rangle)=f_\gamma \] (la que se construye en la prueba). Y si \( x \) es un conjunto que no es de la forma anterior, \[ G(x)=\emptyset \] (o cualquier otro conjunto, cómo lo definas aquí es irrelevante).
Esto define \[ G \] independientemente de si existen o no sucesiones de funciones de longitud \[ \lambda \] que cumplan lo pedido. Por tanto, el teorema de recursión te da la existencia de una función \[ F \] sin suponer nada a priori.

Otro tema es lo que dices después, que si no existiera tendrías \[ F(\alpha)=\emptyset \] para algún \[ \alpha < \omega_1 \].
Para ver que eso no es así y tienes realmente la familia buscada puedes probar por inducción transfinita que \[ F|_\alpha \] es una sucesión que cumple las condiciones para todo \[ \alpha<\omega_1 \].

Citar
Y, fijándome mejor, lo que puse en mi primer comentario sobre la inducción transfinita para intentar demostrar esto no es cierto, pues lo que se demuestra en el artículo es lo que comentas, que si existe un conjunto de esta forma, entonces puedes construir una \( g_\gamma \) distinta que cumpla las condiciones que deseamos, que no es lo mismo que yo dije sobre la inducción, pues si \( \gamma \) es un ordinal límite no funciona el argumento inductivo que plantee, ¿verdad?

Sí. Para un ordinal límite funcionaría si puedes asegurar que las familias están contenidas cada una en las siguientes, pues entonces puedes tomar la unión en el paso límite. Pero en general tal como lo pusiste no está claro y no se puede asegurar.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

22 Enero, 2021, 08:02 pm
Respuesta #6

Eparoh

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 291
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Vale, creo que ya lo pillo.
Solo una última cosa (o eso espero  :laugh:), deberíamos definir \( G(\emptyset) \) como una función constante o alguna función que cumpla la propiedad que buscamos, para que \( F(0) \) sea esta función y de ahí se pueda hacer la recursión y obtener lo deseado, ¿o vuelvo a confundirme?

EDITO: Me explico mejor.
Si fuera \( G(\emptyset)=\emptyset \) entonces

\( F(0)=G(F|_0)=G(\emptyset)=\emptyset \)

Así,

\( F(1)=G(F|_1)=G(\{F(0)\}=G(\{\emptyset\})=\emptyset \)

y se ve claramente que siempre vamos a obtener ya el conjunto vacío.

Un saludo.

22 Enero, 2021, 08:36 pm
Respuesta #7

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,344
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Puedes hacerlo si quieres, pero no es estrictamente necesario. Tal como hemos definido \[ G \], \[ \emptyset \] es una sucesión de las que cumplen las condiciones (la sucesión vacía). Entonces el argumento de Erdős proporciona una función \[ f_0 \] que cumple lo pedido, que por definición de \[ G \] es \[ G(\emptyset) \].
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

22 Enero, 2021, 08:39 pm
Respuesta #8

Eparoh

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 291
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Puedes hacerlo si quieres, pero no es estrictamente necesario. Tal como hemos definido \[ G \], \[ \emptyset \] es una sucesión de las que cumplen las condiciones (la sucesión vacía). Entonces el argumento de Erdős proporciona una función \[ f_0 \] que cumple lo pedido, que por definición de \[ G \] es \[ G(\emptyset) \].

Eso había pensado, pero no sabía como aplicar el argumento de Erdös para la sucesión vacía :/

EDITO: Vale nada, supongo que para la sucesión vacía el argumento es simplemente tomar la función como la constante \( \varepsilon_0 \), ¿no?

22 Enero, 2021, 08:46 pm
Respuesta #9

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,344
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
EDITO: Vale nada, supongo que para la sucesión vacía el argumento es simplemente tomar la función como la constante \( \varepsilon_0 \), ¿no?

Exacto. En este caso el argumento de Erdős te da una función constante, que claramente cumple las condiciones.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)