Autor Tema: Si $$A\cap B=A\cap C $$ y $$A^{c}\cap B=A^{c}\cap C$$ entonces $$C=B$$.

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12 Octubre, 2020, 11:56 pm
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w a y s

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Hola, tengo una duda acerca de este enunciado.

Yo sé que para demostrar que $$B=C$$ necesitaría utilizar tanto la intersección,$$A\cap B=A\cap C$$, como la unión, $$A\cup B=A\cup C$$.

¿Podría esto demostrarse usando solo la intersección tal como el enunciado dice? Personalmente no se me ocurre ninguna forma de hacerlo así.

Muchas gracias de antemano, saludos.

13 Octubre, 2020, 12:32 am
Respuesta #1

manooooh

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Hola

Yo sé que para demostrar que $$B=C$$ necesitaría utilizar tanto la intersección,$$A\cap B=A\cap C$$, como la unión, $$A\cup B=A\cup C$$.

Bien.

¿Podría esto demostrarse usando solo la intersección tal como el enunciado dice?

Sí. Te lo demuestro conjuntistamente y tú intenta pensar las propiedades que fui usando:

\(
\begin{align*}
&A\cap B=A\cap C\land A'\cap B=A'\cap C\implies C=B\\\hline
C&=C\cap\mathcal{U}\\
&=C\cap(A\cup A')\\
&=(A\cap C)\cup(A'\cap C)\\
&\overset{(*)}=(A\cap B)\cup(A'\cap B)\\
&=(A\cup A')\cap B\\
&=\mathcal{U}\cap B\\
&=B,
\end{align*}
 \)

donde en \( (*) \) he usado las hipótesis.

Saludos

13 Octubre, 2020, 01:22 am
Respuesta #2

w a y s

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