Autor Tema: Si $$A\setminus B \subset C$$ entonces $$A\setminus C \subset B$$

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12 Octubre, 2020, 08:58 pm
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w a y s

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Hola, tengo una duda acerca de la demostración de esta proposición , yo lo he hecho así:
   
   (Reducción al absurdo.)

   Supongamos que $$A\setminus B \subset C$$ y sea $$x\in A\setminus C$$. Entonces $$x\in A$$ y $$x\not\in C$$. Ahora o bien $$x\in B$$ o bien $$x\not\in B$$.
   Si $$x\not\in B$$, puesto que  $$x\in A$$ se tiene que $$x \in A\setminus B$$ y por hipótesis, $$x \in C$$. Pero esto se contradice con que $$x\in A\setminus C$$, por lo tanto no puede ser
   y, en consecuencia, se tiene que $$x\in B$$ y $$A\setminus C \subset B$$, que es lo que queríamos demostrar.

¿Es mi razonamiento correcto? No estoy seguro de si puedo hacer cosas como esta:

Citar
Ahora o bien $$x\in B$$ o bien $$x\not\in B$$.

Muchas gracias de antemano, un saludo.

C O R R E G I D O,  gracias manooooh

12 Octubre, 2020, 10:41 pm
Respuesta #1

robinlambada

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Hola.
Hola, tengo una duda acerca de la demostración de esta proposición , yo lo he hecho así:
   
   (Demostración directa.)

   Supongamos que $$A\setminus B \subset C$$ y sea $$x\in A\setminus C$$. Entonces $$x\in A$$ y $$x\not\in C$$. Ahora o bien $$x\in B$$ o bien $$x\not\in B$$.
   Si $$x\not\in B$$, puesto que  $$x\in A$$ se tiene que $$x \in A\setminus B$$ y por hipótesis, $$x \in C$$. pero esto se contradice con que $$x\in A\setminus C$$, por lo tanto no puede ser
   y, en consecuencia, se tiene que $$x\in B$$ y $$A\setminus C \subset B$$, que es lo que queríamos demostrar.

¿Es mi razonamiento correcto? No estoy seguro de si puedo hacer cosas como esta:

Citar
Ahora o bien $$x\in B$$ o bien $$x\not\in B$$.

Muchas gracias de antemano, un saludo.
Lo veo correcto.

Un saludo.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

12 Octubre, 2020, 10:48 pm
Respuesta #2

w a y s

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12 Octubre, 2020, 11:55 pm
Respuesta #3

manooooh

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Hola

Lo veo bien, aunque me parece que ese método no es el directo sino reducción al absurdo, espera a ver si alguien lo aclara.

Otra forma usando leyes lógicas:

\( \begin{align*}
&A\setminus B\subset C\implies A\setminus C\subset B\\\hline
\forall x\colon x\in A\setminus C&\implies x\in A\cap C'\\
&\implies x\in A\land x\in C'\\
&\implies x\in C'\land x\in A\land x\in\mathcal{U}\\
&\implies x\in C'\land[x\in A\land(x\in B\lor x\in B')]\\
&\implies x\in C'\land[(x\in A\land x\in B)\lor(x\in A\land x\in B')]\\
&\implies x\in C'\land[(x\in A\land x\in B)\lor(x\in A\cap B')]\\
&\implies x\in C'\land[(x\in A\land x\in B)\lor(x\in A\setminus B)]\\
&\implies x\in C'\land[(x\in A\land x\in B)\lor x\in C]\\
&\implies [x\in C'\land(x\in A\land x\in B)]\lor(x\in C'\land x\in C)\\
&\implies [x\in C'\land x\in A\land x\in B]\lor x\in\emptyset\\
&\implies x\in C'\land x\in A\land x\in B\\
&\implies x\in B.\\
\end{align*} \)

Saludos

12 Octubre, 2020, 11:58 pm
Respuesta #4

w a y s

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Spoiler
Hola manooooh, a mi me parece que es el directo, puesto que no estoy suponiendo que $$A\setminus B \subset C$$ y $$A\setminus C \not\subset B$$.
Igualmente yo no sé mucho acerca de esto, así que será mejor que alguien más nos lo aclare.


Muchas gracias por tu forma de hacerlo, ha sido muy ingeniosa, como siempre.
[cerrar]

Tienes razón, me he confundido, es reducción al absurdo.

Saludos.

13 Octubre, 2020, 12:56 am
Respuesta #5

robinlambada

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Hola

Lo veo bien, aunque me parece que ese método no es el directo sino reducción al absurdo, espera a ver si alguien lo aclara.

Si, lo ha demostrdo por reducción al absurdo.

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.