Autor Tema: Proposiciones lógicamente equivalentes

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14 Abril, 2020, 07:13 am
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YeffGC

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Hola amigos soy malo para la logica y pues tengo este ejercicio que ya lo intente con todas las equivalencias y nada haber si me hechan una manita

Demostrar si son logicamente equivalentes

1) \( \forall{x} [\lnot p(x)\longrightarrow{r(x)}] \wedge \lnot\left\lbrace\exists{x}[q(x)\wedge\lnot r(x)]\right\rbrace \)

2)\( \forall{x}[(p(x)\longrightarrow{q(x)})\longrightarrow{r(x)}] \)

14 Abril, 2020, 01:14 pm
Respuesta #1

Bobby Fischer

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Hola,

Como ya sabemos que todas son función de \( x \), llamemos \( p=p(x), q=q(x), r=r(x) \).

\( \neg[\exists x(q\wedge \neg r)]\Longleftrightarrow \forall x(\neg q \lor r)\Longleftrightarrow \forall x (q\rightarrow r) \)

Ahora se pueden unificar. Así quedaría la primera afirmación:

\( \forall x[(\neg p\rightarrow r)\wedge (q\rightarrow r)] \)

Ahora desarrollando la segunda (dando el cuantificador por sobreentendido)

\( (p\rightarrow q)\rightarrow r \)

\( (\neg p\lor q)\rightarrow r \)

\( \neg(\neg p\lor q)\lor r \)

\( (p\wedge \neg q)\lor r \)

\( (p\lor r)\wedge (\neg q \lor r) \)

\( (\neg p \rightarrow r)\wedge (q\rightarrow r) \)

Con el cuantificador:

\( \forall x[(\neg p \rightarrow r)\wedge (q\rightarrow r)] \)

Saludos.