\( x_{n+1} = 1/2(x_n + \displaystyle\frac{\alpha}{x_n}) \)
con \( x_1>\sqrt(\alpha) \) y \( \alpha >0 \).
Veremos primero que la sucesión está acotada inferiormente por \( \sqrt(\alpha) \). Es decir, que \( \forall{n} \; x_n> \sqrt(\alpha) \).
Lo veremos por inducción:
Para el caso base es inmediato por hipotesis, porque \( x_1>\sqrt(\alpha) \).
para el paso inductivo, suponemos que vale para n y vemos que vale para n+1:
basta con ver que la resta \( x_{n+1} - \sqrt{\alpha} \) es mayor o igual a cero:
pero consideremos la función \( f(x) = 1/2 (x+\alpha/x) \), cuya derivada es \( f'(x) = 1/2(1-\displaystyle\frac{\alpha}{x^2}) \). si la evaluamos en \( x> \sqrt{\alpha} \), su derivada es negativa allí y cero cuando \( x= \sqrt{\alpha} \). esto implica que \( f(x) > f(\sqrt{\alpha}) \) (es decir, la función es creciente)
\( x_{n+1} - \sqrt{\alpha}= 1/2 (x_n + \displaystyle\frac{\alpha}{x_n})- \sqrt{\alpha} = f(x_n)-\sqrt{\alpha} > f(\alpha)-\sqrt{\alpha}= 0 \). Esto es lo que queríamos ver.
Ya probamos el otro día que la sucesión es decreciente (usando las dos cotas)
Como es decreciente y esta acotada inferiormente, sabemos que tiende a un límite \( L \)
este límite ha de cumplir :
\( L = \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{x_n} =\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{x_{n+1}} = \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty} {1/2(x_n+\alpha/x_n)} = 1/2(L+\alpha/L) \)
pasando el \( 1/2 L \) restando
obtenemos \( 1/2 L = \alpha/(2L) \)
esto implica que \( L^2 = \alpha \)
por lo tanto el límite no ha de ser otro que \( \sqrt{\alpha} \)
