Ok, pero ya \( f \) R-integrable en \( [a,b] \), es continua o seccionalmente continua.
Lo de "exigir" no lo entiendo por ende.

Primero, menciona que no es distancia... ¿por qué no lo es? ¿qué es lo que falla?. Ya que debe cumplir 3 propiedades. ¿Cuál no?

Luego como hacer que si lo sea.

Disculpas que quizás la respuesta es la que me diste pero no comprendo. Como mencione soy literalmente nuevo en este tema.

Hola buenas , tengo un ejercicio parte 2) que menciona esto:

Para la distancia discreta en X, determinar en función de \( \epsilon > 0 \), las bolas \( B(x,\epsilon) \) (bola abierta) y  \( B[x,\epsilon] \)(bola cerrada).

Estaría correcto esto (?) Gracias.


Ahora lo actualizo

Gracias

Nunca lei "exhaustiva" , supongo que te refieres a sobreyectiva?

¿Si \( f_X\to Y \) es inyectiva y \( X \)es finito. ¿\( Y \) es finito?.

Borrado porque no era cierto jaja

Hola, estoy trabajando en un ejercicio sobre convergencia puntual y uniforme con \(f_n: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), donde \(f_n(x) = \arctan(nx)\) en \(\mathbb{R}\) y en \(\mathbb{R} - (-k,k)\), con \(k > 0\). Hasta el momento, he avanzado en el siguiente análisis y me gustaría confirmar su validez con ustedes.

Para la convergencia puntual, consideramos:

\[
\lim_{n \to \infty} \arctan(nx) =
\begin{cases}
\frac{\pi}{2}, & \text{si } x > 0 \\
0, & \text{si } x = 0 \\
-\frac{\pi}{2}, & \text{si } x < 0
\end{cases}
\]

Esto se obtiene aplicando el teorema que establece que si \( \lim_{x \to a} g(x) = b \) y \( f(x) \) es continua en \( x = b \), y \( \lim_{u \to b} f(u) = L \), entonces \( \lim_{x \to a} f(g(x)) = L \). (no lo voy a poner para no escribir tanto...)En este caso, la convergencia puntual significa que \(f_n(x)\) converge a \(f(x)\) para cada \(x\) en el dominio de \(f_n\). Este comportamiento se observa tanto en \(\mathbb{R}\) como en \(\mathbb{R} - (-k,k)\), excepto en \(x = 0\) debido a que \(x = 0\) no está  en el intervalo \((-k,k)\) con \(k > 0\).

Ahora, pasemos a la convergencia uniforme. Notemos que en \(\mathbb{R}\) no es convergente uniforme debido a que la continuidad no se conserva. Sin embargo, en \(\mathbb{R} - (-k,k)\), ¿cómo se procedería? ¿Habría que considerar si \(x > k\) y otro caso si \(x < -k\)? Aquí es donde me encuentro algo perdido.


Se me ocurre que de todas maneras no es uniforme? Pues si considero \( \mathbb{R} - (-k,k) \) con \( k>0 \) no es continua, pues vemos que dependiendo de si \( x>k \) o \( x<-k \), la función \( f(x) \) converge a \( \frac{\pi}{2} \) y \( -\frac{\pi}{2} \). Soy nuevo en este tema, cualquier ayuda o corrección será bienvenida.
¡Gracias!

Hola! Era tarde y estaba a punto de irme a dormir, ahora que lo leo ni yo sé por qué puse eso. Seguramente quería decir que hay elementos menores.

Hola ! Estoy intentando demostrar lo siguiente: Si \( f \) es inyectiva, \( f:X\rightarrow Y \), y \( Y \) es finito, ¿podrían ayudarme a determinar si \( X \) también es finito con este enfoque o si es necesario utilizar otro método?


Supongamos por contradicción que \( X \) es infinito. Entonces, hay una secuencia infinita de elementos en \( X \), digamos \( x_1, x_2, x_3, \ldots \).

Intento:


Dado que \( f: X \rightarrow Y \) es una función inyectiva y \( Y \) es finito, queremos demostrar que \( X \) es finito.

La definición de una función inyectiva establece que si \( f(x) = f(y) \) para dos elementos \( x, y \) en el dominio de \( f \), entonces \( x = y \).

Ahora, supongamos por contradicción que \( X \) es infinito. Esto significa que \( X \) contiene una cantidad infinita de elementos. Denotemos estos elementos como \( x_1, x_2, x_3, \ldots \).

Dado que \( f \) es inyectiva, cada elemento en \( X \) se asigna a un único elemento en \( Y \). Por lo tanto, tenemos una secuencia de elementos distintos en \( Y \), digamos \( f(x_1), f(x_2), f(x_3), \ldots \).

Como \( Y \) es finito, solo puede contener un número finito de elementos distintos. Denotemos este número finito como \( n \). Entonces, \( Y \) contiene \( n \) elementos distintos, digamos \( y_1, y_2, \ldots, y_n \).

Dado que \( f \) es una función, cada elemento \( x_i \) en \( X \) tiene una imagen \( f(x_i) \) en \( Y \). Pero como \( X \) es infinito, la secuencia \( f(x_1), f(x_2), f(x_3), \ldots \) también sería infinita. Esto implicaría que habría más de \( n \) elementos distintos en \( Y \), lo cual es una contradicción, ya que \( Y \) tiene exactamente \( n \) elementos distintos.

Por lo tanto, nuestra suposición inicial de que \( X \) es infinito debe ser falsa. Entonces, concluimos que \( X \) es finito.


Saludos

¡Hola!
Estoy algo confundido, así que volveré a explicarlo.

Estoy considerando el caso I, donde \( x_0 - y_0 < x_1 - y_1 \), que se define como \( I = \{(x_0,y_0);(x_1,y_1)\} = \{(x,y) / y < x - (x_0 - y_0) \) o \( y = x - (x_0 - y_0) \) con \( y > y_0 \) intersectado con \( \{(x,y) / y > x - (x_1 - y_1) \) o \( y = x - (x_1 - y_1) \) con \( y < y_1 \).

Ya he demostrado que \( I = \emptyset \), considerando el caso 2) donde \( x_0 - y_0 = x_1 - y_1 \) con \( y_0 < y_1 \), donde \( x_1 = x_0 + 1 \) y \( y_1 = y_0 + 1 \). Ese no es el problema, ya que aquí todo es incompatible, es decir, relacioné uno y lo relacioné con ambos del otro lado, y así sucesivamente.  Por ende I=vacio

Por ende, aquí concluyo que si \( (x,y) \) pertenece a \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \), entonces \( (x-1,y-1) \) es su predecesor inmediato. Solo tiene predecesores inmediatos con \( x \geq 1 \) y \( y \geq 1 \) ya que \( \mathbb{N} \) .

El problema radica en el caso 1), \( x_0 - y_0 < x_1 - y_1 \). Entonces, afirmo que \( I = \emptyset \) si \( x_1 - y_1 = x_0 - y_0 + 1 \), es decir, esto me permite hacer que las dos rectas sean consecutivas, por ende, no tendrían elementos de por medio y serían predecesoras sus elementos. Pero no logro hacer que las cuentas me fallen en esta parte (en particular los casos que les voy a dar a continuacion por que los otras dos opciones si las logre con el caso 1). Tomé \( \{(x,y) / y < x - (x_0 - y_0) \) y luego si \( y = x - (x_1 - y_1) \) con \( y < y_1 \), algo tendrá que fallar, ¿no? supongo que es tomando y< y_1 pues , la otra parte se cumple

Ahora que lo pienso, también me he atascado con \( y = x - (x_0 - y_0) \) con \( y > y_0 \)... ¿y si \( y > x - (x_1 - y_1) \)? Recuerda, considerando el caso 1) \( x_0 - y_0 < x_1 - y_1 \).  y con \( x_1 - y_1 = x_0 - y_0 + 1 \)

¡Gracias y saludos!

Gracias, Delmar, por tu contribución. En cuanto pueda, haré otra pregunta sobre topología en la sección correspondiente, te espero por ahi (?) xD . Saludos

A ver, porque esta muy resumido lo tuyo. Lo que entiendo es lo siguiente.


Dada la sucesión de funciones \( f_n(x) \), definidas como sigue:

\[
f_n(x) = \begin{cases}
n^2x & \text{si } x \in [0, \frac{1}{n}) \\
-n^2x + 2n & \text{si } x \in [\frac{1}{n}, \frac{2}{n}) \\
0 & \text{si } x \in [\frac{2}{n}, +\infty)
\end{cases}
\]

Se requiere demostrar que \( f_n(x) \) converge puntualmente a \( f(x) = 0 \) en el intervalo \( [0,1] \).

Demostración:

1. Si \( x = 0 \): Cuando \( x = 0 \), independientemente del valor de \( n \), \( f_n(0) = 0 \). Esto se debe a que para cualquier \( n \), la primera condición en la definición de \( f_n(x) \) se cumple, ya que \( 0 \) pertenece al intervalo \( [0, \frac{1}{n}) \). Entonces, \( f_n(0) = n^2 \cdot 0 = 0 \). Dado que para cualquier \( n \), \( f_n(0) \) es siempre cero, se sigue que \( \lim_{n \to \infty} f_n(0) = 0 \).

2. Si \( 0 < x \leq 1 \): Para este caso, consideremos un \( x \) en este intervalo. Dado que \( x \) no es cero, existe un \( N \) tal que \( 2/N < x \). Esto significa que para \( n \geq N \), \( x \) estará en el intervalo \( [\frac{1}{n}, \frac{2}{n}) \). En este intervalo, la segunda condición en la definición de \( f_n(x) \) se cumple (??) , por lo que \( f_n(x) = 0 \). En otras palabras, para \( n \) suficientemente grande (es decir, \( n \geq N \)), la función \( f_n(x) \) es cero para \( x \) en el intervalo \( (0,1] \).

En ambos casos, para todo \( x \) en el intervalo \( [0,1] \), se tiene \( \lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0 \). Por lo tanto, la sucesión de funciones \( f_n(x) \) converge puntualmente a \( f(x) = 0 \) en el intervalo \( [0,1] \).



Estaría correcto asi?



Y la parte de las integrales como seria?