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Mensajes - Fernando Revilla

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  Bienvenida al foro.

Hola a todos, no se como resolver este ejercicio:
Sea \(  F_{n+3}= F_{n+1} + F_n  \) y \(  F_0=F_1=F_2=1  \). Encuentre la ecuación característica, la expansión en potencias y la función generadora.
Lo que llevo hasta ahora es la ecuación característica \(  x^3-x-1=0  \) y sus raíces \(  x_1=1.32472, x_{2,3}=-0.66236\pm{}0,56228i  \), pero que sean complejas me confunde y sinceramente no sé que mas hacer.

Dos cuestiones:

1. Si la sucesión recurrente es tal cual te la han dado existe un teorema que seguro conocerás que resuelve el problema pero cuya solución en forma cerrada es terriblemente desagradable en nuestro caso.
2. Los números de tribonacci, se definen como \(  F_{n+3}= F_{n+2} +F_{n+1} +F_n  \) (no como los has escrito) y \(  F_0,F_1,F_2  \) dados.

Quizás deberías definir el contexto de tu pregunta. Me encaja más en un trabajo de investigación que en un examen. Mira los siguientes enlaces

        https://encyclopediaofmath.org/wiki/Tribonacci_sequence
        https://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Tribonacci_number

2
Me asusta por dos motivos:
- Cuando se trata de destrucción, los gobernantes suelen tener éxito.

Necesitan tal éxito. Es un mecanismo de autodefensa. Me imagino la  cara de estupor de un gobernante en un debate ante la pregunta de un intolerante y supremacista estudiante de matemáticas antiguas:

- Señor gobernante: tras su disertación sobre el cambio climático ¿podría decirnos cual de las tres condiciones de los sistemas dinámicos caóticos no satisface el clima?

- Cuando algo fracasa en Europa luego suelen traerlo a estas latitudes.

Eso es compañerismo co-gobernante :).

3
Por tanto si es cíclico está generado por un elemento de orden \( 8 \) (y hay cuatro posibles generadores).
Muchas gracias Luis, pero no entiendo como se llega a esta conclusión

Al dar a \( x \) y a \( y \) los valores \( 0,1,2 \) obtenemos \( 9 \) matrices del tipo \( \begin{bmatrix}\hfill x&y\\ -y&x\\\end{bmatrix} \) y quitando la nula, los \( 8 \) elementos de \( B^* \), por tanto si \( (B^{\thinspace *},\cdot) \) es grupo cíclico ha de tener algún elemento de orden \( 8 \).

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d) \( gH = Hg  \) para todo \( g\in G \Leftrightarrow{} G/H = H\backslash G \).

Si \( gH = Hg  \) para todo \( g\in G \), el subgrupo \( H \) es normal, con lo cual está definido el grupo cociente \( G/H \) siendo

        \( G/H=\{gH:g\in G\}=\{Hg:g\in G\}=H \backslash G \).

5
Sean \( {G} \) un grupo y \( {H} \) un subgrupo. Demuestre que:  a) Dados \( g,l\in G \), entonces \( Hg=Hl \) o \( Hg\cap{Hl}=\emptyset \).

Sería conveniente que escribieras lo que has intentado. Te ayudo con el a). Si \( Hg\cap{Hl}\ne\emptyset \) existe \( z\in Hg\cap{Hl} \), luego \( z=h_1g=h_2l \) con \( h_1,h_2\in H \). Esto implica \( g=h_1^{-1}h_2l=hl \) con \( h\in H \). Ahora te será fácil demostrar \( Hg\subset Hl \) y \( Hl\subset Hg \).

6
Una pregunta (perdon si es muy estupida la pregunta), pero como se que los coeficientes son reales? Es porque estamos en el \( R^3 \), ó es una propiedad de polinomios característicos?

El polinomio característico de una matriz cuadrdada \( A \) es \( \chi (\lambda)=\det (A-\lambda I). \) Si \( A \) es real, \( \chi (\lambda) \) tiene coeficientes reales pues la suma y el producto son operaciones cerradas en \( \mathbb{R} \), y estas son las únicas operaciones que aparecen en la definición de determinante.

7
La respuesta dudo sea tan sencilla, yo todavia no la hallé, me cuesta creer que haya una regla general para n cifras con m números en subconjunto,  mi tara ocurre cuando esos m se pueden subdividir en sub grupos de i elementos cada uno, tienes variable el número de grupos el número de elementos del grupo y su orden relativo.

La respuesta para \( n \) cifras con \( k \) ceros y \( n-k \) unos sería permutaciones con repetición de \( n \) elementos de los cuales \( k \) son del tipo \( 0 \) y \( n-k \) del tipo \( 1 \), es decir  \( PR_{n}^{k,n-k}=\displaystyle\frac{n!}{k!(n-k)!}=\binom{n}{k} \). Como comenta sugata, no hace falta usar combinatoria para el total de números: \( 2\cdot 2\cdot \ldots \cdot 2=2^n. \). Además, como comprobación:

        \( 2^n=(1+1)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}1^{n-k}1^k=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}=\sum_{k=0}^nPR_{n}^{k,n-k} \).


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Posiblemente entiendas mejor la siguiente demostración. Si tienes alguna duda, pregunta.


Teorema. Todo espacio metrizable es normal.
 
Demostración. Sea \( X \) metrizable con distancia \( d. \) Sean \( A,B \) subconjuntos cerrados disjuntos de \( X. \)
Para cada \( a\in A \) elijamos una bola \( B(a,\epsilon_a) \) tal que \( B(a,\epsilon_a)\cap B=\emptyset. \) Esta bola existe pues \( X-B \)
es abierto. De la misma manera para cada \( b\in B \) elijamos una bola \( B(b,\epsilon_b) \) tal que \( B(b,\epsilon_b)\cap A=\emptyset. \)
Denotemos

        \( \displaystyle G=\bigcup_{a\in A}B(a,\epsilon_a/2),\quad H=\bigcup_{b\in B}B(b,\epsilon_b/2). \)

Los conjuntos \( G \) y \( H \) son abiertos tales que \( A\subset G \) y \( B\subset H. \) Veamos que \( G\cap H=\emptyset \) lo cual demostrará
que \( X \) es normal. En efecto, si existiera \( c\in G\cap H \) entonces

        \( c\in B(a,\epsilon_a/2)\cap B(b,\epsilon_b/2) \)

para algún \( a\in A \) y algún \( b\in B. \) Usando la desigualdad triangular,

        \( d(a,b)\le d(a,c)+d(c,b) < \dfrac{\epsilon_a+\epsilon_b}{2}. \)

Si \( \epsilon_a\le \epsilon_b \) entonces \( d(a,b) < \epsilon_b. \) Si ocurriera esto, \( a\in B(b,\epsilon_b). \) Si \( \epsilon_b\le \epsilon_a \) entonces \( d(a,b) < \epsilon_a \) con lo cual
\( b\in B(a,\epsilon_a). \) Ninguna de las dos situaciones anteriores es posible pues \( B(a,\epsilon_a)\cap B=\emptyset \) y \( B(b,\epsilon_b)\cap A=\emptyset \).

9
Cálculo 1 variable / Re: Límite Exponencial
« en: 30 Abril, 2021, 06:33 pm »
Desconocía esta propiedad. Imagino que la demostración no será difícil...

Sí, es fácil. Al aplicar el típico método de tomar logaritmos, basta usar \( \log f(x)\sim f(x)-1 \) para \( f(x)\to 1 \).

10
Cálculo 1 variable / Re: Límite Exponencial
« en: 30 Abril, 2021, 05:58 pm »
  Otra forma, si \( L=\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)} \) presenta la indeterminación \( 1^\infty \), entonces se verifica \( L=e^\lambda \) siendo \( \lambda=\displaystyle\lim_{x\to a}\;\left(f(x)-1\right)g(x). \). En nuestro caso,

        \( 2=\lambda=\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(\displaystyle\frac{\sqrt{x^2+x+1}}{x}-1\right)\frac{ax^{2}+1}{x}=\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^2+x+1}-x\right)\cdot \frac{ax^{2}+1}{x^2} \)
        \( \underbrace{=}_{\text{Métod. del conjug.}}\ldots=\color{red}\dfrac{1}{2}\color{black}\cdot a \)

con lo cual, \( a=\color{red}4 \).

P.D. Corregido, gracias Luis.

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Entonces ¿es correcto como apliqué la adición?
1) \( (A-B)\times{C}\subseteq{}(A\times{C})-(B\times{C}) \)
\( (x,y)\in{\left[ (A-B)\times{C}\right]}\underbrace{\Rightarrow{}}_{(1)}x \in{(A-B)} \wedge y\in{C}\underbrace{\Rightarrow{}}_{(2)} x \in{(A\cap{B')} \wedge y \in{C}} \underbrace{\Rightarrow{}}_{(3)} (x \in{A \wedge x \in{B'}) \wedge y\in{C}}\underbrace{\Rightarrow{}}_{(4)} \)
\( (x \in{A} \wedge y \in{C}) \wedge (x \in B') \underbrace{\Rightarrow{}}_{(5)}(x \in{A} \wedge y \in{C}) \wedge (x \not\in B) \underbrace{\Rightarrow{}}_{(6)} (x \in{A} \wedge y \in{C}) \wedge (x \not\in B \vee y \not\in C)\underbrace{\Rightarrow{}}_{(7)} \)
\( (x \in{A} \wedge y \in{C}) \wedge (x,y)\not\in (B\times{C})\underbrace{\Rightarrow{}}_{(1)}(x,y) \in{(A\times{C}) \wedge (x,y)\not\in (B\times{C}) }\underbrace{\Rightarrow{}}_{(5)} \)
\( (x,y) \in{(A\times{C}) \wedge (x,y) \in (B\times{C})'} \underbrace{\Rightarrow{}}_{(3)}(x,y) \in{(A\times{C})\cap{(B\times{C})'}}\underbrace{\Rightarrow{}}_{(2)}(x,y) \in{(A\times{C})-{(B\times{C})}} \)

Es correcto pero innecesario. Basta:

        \( (x \in{A} \wedge y \in{C}) \wedge (x \not\in B) \underbrace{\Rightarrow}_{\text{Def. prod. cart.}} (x \in{A} \wedge y \in{C}) \wedge (x,y)\not\in (B\times{C}) \).

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El tema,es que la definición de producto cartesiano me dice \( (a,b)\in{(A\times{B})}\Longleftrightarrow{a \in{A}}\wedge b \in{B} \) entonces no puedo, según cátedra decir que si \( x\not\in B  \) por definición de producto cartesiano \( (x,y) \not\in(B\times{C}) \).

Tal vez alguien de la cátedra no pasó una buena noche  :)

        \( \begin{aligned}
(x,y)\in A\times B&\Rightarrow x\in A\wedge y\in B\\
&\Rightarrow\left[\neg\left(x\in A\wedge y\in B\right)\Rightarrow \neg \left((x,y)\in A\times B\right)\right]\\
&\Rightarrow \left[\neg (x\in A)\vee \neg (y\in B)\Rightarrow (x,y)\notin A\times B\right]\\
& \Rightarrow \boxed{\left[(x\notin A)\vee (y\notin B)\Rightarrow (x,y)\notin A\times B\right]}
\end{aligned} \)

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   Bienvenido al foro.

¿Cómo puedo hallar el límite de las siguiente función que no sea aplicando la regla L'Hopital? \(  \displaystyle\lim_{x \to 0}{\displaystyle\frac{(Senx)^{2}}{x}}  \)

Usando el conocido límte \( \displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{\sen x}{x}=1 \), queda

        \( \displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{(\sen x)^2}{x}=\lim_{x \to 0}\displaystyle\left(\frac{\sen x}{x}\cdot \sen x \right)=1\cdot 0=0. \)

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Sea \( (X,d) \) un espacio metrico y \( F,G \) dos cerrados disjuntos de \( X \). Pruebe que hay dos abiertos  \( U,V  \) tal que  \( F\subset{U} , G \subset{V} \) y \( U\cap{V} = \emptyset \)

Es un conocido teorema de demostración nada trivial: Todo espacio métrico es un espacio topológico normal. ¿Seguro que lo han propuesto como problema? No obstante, mira el archivo anexo.


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Entendí muy bien la dinámica de la resolución. Sin embargo quiero solicitarle me pueda compartir material con ejercicios y soluciones de esta forma.

En https://fernandorevilla.es/algebra/ (apartado de aplicaciones lineales) puedes encontrar material, y seguro que también en otros sitios.

Muchisimas gracias, de verdad, talento casi nulo tengo pero me estoy esforzando.

¡Bah!, no seas modesto. Si te esfuerzas el talento aparece de forma natural. Trabaja el material y plantea las dudas.

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Me fastidia profundamente la palabra "determinar" en los enunciados. Determinar ¿en términos de qué? Así que le doy la razón a Luis. Más aún, la respuesta podría haber sido: el núcleo está formado por todas las matrices que se transforman en la matriz nula y la imagen, ... . Si hubieran pedido por ejemplo una base del núcleo, las condiciones  \( 2a_{11}-a_{12}=0 \) y \( a_{13}+2a_{12}=0 \) equivalen a \( a_{11}=\lambda \), \( a_{12}=2\lambda \), \( a_{13}=-4\lambda \) con \( \lambda\in\mathbb{R} \) no imponiendose ninguna condición para el resto de los \( a_{ij} \), por tanto:

    \( \ker T:\begin{bmatrix}{\lambda}&{2\lambda}& -4\lambda\\{\beta}&{\gamma}&\mu\end{bmatrix}=\lambda\begin{bmatrix}{1}&{2}& -4\\{0}&{0}&0\end{bmatrix}+\ldots+\mu \begin{bmatrix}{0}&{0}& 0\\{0}&{0}& 1\end{bmatrix},\quad \lambda,\ldots, \mu\in\mathbb{R}. \)

Los cuatro matrices anteriores generan a \( \ker T \) y son linealmente independientes, por tanto forman base de \( \ker T \). Como \( \ker T\ne \left\{{0}\right\} \), \( T \) no es inyectiva. Además,

        \( \dim \operatorname{Im}T=\dim M_{2\times 3}(\mathbb{R})-\dim\ker T=6-4=2\ne \dim M_{2\times 2}(\mathbb{R})\Rightarrow \operatorname{Im}T\ne M_{2\times 2}(\mathbb{R})\Rightarrow T\text{ no es sobre.} \) 

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Se considera la superficie de ecuación \( f(x,y)=25-ax^2-by^2 \). Hallar los valores de \( a \) y \( b \) para que la derivada de la función en el punto \( A(3,-4) \) tenga un valor máximo de 10 en la dirección de \( A \) al origen de coordenadas. Con los valores obtenidos, hallar la ecuación del plano tangente a la superficie en los puntos en los que sea horizontal.

Utiliza el método que aparece en https://fernandorevilla.es/2014/04/11/una-derivada-direccional-maxima/. Veamos que obtienes.

P.D. Por favor, no escribas los títulos en mayúsculas.

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En cuanto a la opinión de Carlos, ya se pronuncio al respecto hace años, no creo que halla cambiado de parecer, en esencia.
https://www.uv.es/ivorra/documentos/Violencia.html

Creo que ya comenté en el foro que es uno de los mejores artículos que he leido en mi vida. Sólo que no lo entenderán ni los idiotos ni las idiotas. En resumen, les idiotes.

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Me pregunto si sería extrapolable para la comprensión intuitiva del último teorema de Fermat su comprobación para

        \( x^{\mathbf G}+y^{\mathbf G}=z^{\mathbf G} \)

siendo \( \mathbf G \) el número googolplex y para algunos \( x,y,z \) mayores que \( \mathbf G \) :).

Bueno, aquí se mezclan varias cosas. Si he tomado un ejemplo "relativamente grande" no es porque ello aporte nada en sí, sino para mostrarle a Pie cómo se puede trabajar con congruencias sin necesidad de manejar números grandes, que era algo secundario en su pregunta, pero que puede resultarle interesante.

Sí Carlos, está clara tu intención. Pero el asunto de las comprobaciones concretas de una hipotética propiedad es relativo. El famoso polinomio \( p(n)=n^2+n+41 \) que genera primos desde \( 0 \) a \( 39 \) y que no lo hace para \( n=40 \) puede llevar al intento de demostrar una propiedad que es falsa, como lo demuestra el teorema de Goldbach (https://fernandorevilla.es/2020/10/30/polinomio-que-genera-primos/).

Entiendo el interés de tu exposición del trato "amigable" hacia las calculadoras pero sigo sin ver (y esto lo debería explicar Pie) en que modo puede ayudar a la comprensión intuitiva un algoritmo que comprueba en casos concretos una propiedad ya demostrada.

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