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Mensajes - ds

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1
Hola

Hay un error tipográfico en el enunciado la igualdad es :

\( \displaystyle\frac{1}{1+x}+\displaystyle\frac{2}{1+x^2}...+\displaystyle\frac{2^n}{1+x^{2^n}}=\displaystyle\frac{1}{x-1}-\displaystyle\frac{2^{n+1}}{x^{2^{n+1}}-1} \)

Ahora sí

n=0

Lado izquierdo \( \displaystyle\frac{1}{1+x} \)

Lado derecho \( \displaystyle\frac{1}{x-1}-\displaystyle\frac{2^{0+1}}{x^{2^{0+1}}-1}=\displaystyle\frac{1}{x-1}-\displaystyle\frac{2}{x^2-1}=\displaystyle\frac{x+1-2}{x^2-1}=\displaystyle\frac{1}{x+1} \)

Luego se cumple la igualdad y por ende el teorema.

n+1

Supuesto verdadero para n
\( \displaystyle\frac{1}{1+x}+\displaystyle\frac{2}{1+x^2}...+\displaystyle\frac{2^n}{1+x^{2^n}}+\displaystyle\frac{2^{n+1}}{1+x^{2^{n+1}}}=\displaystyle\frac{1}{x-1}-\displaystyle\frac{2^{n+1}}{x^{2^{n+1}}-1}+\displaystyle\frac{2^{n+1}}{1+x^{2^{n+1}}}=\displaystyle\frac{1}{x-1}-2^{n+1} \ (\displaystyle\frac{2}{(x^{2^{n+1}}-1)(1+x^{2^{n+1}})})=\displaystyle\frac{1}{x-1}-\displaystyle\frac{2^{n+2}}{x^{2^{n+2}}-1} \)

Lqqd
Saludos

Muchas gracias, compañero.
En mis apuntes lo tengo justo así como en la pregunta, aun así le preguntaré a mis compañeros.
Saludos!

2
Hola a todos!

Alguien me puede ayudar con este ejercicio de inducción?

Para todo real \[ x \] distinto de \[ 1 \] y \[ -1 \] y todo natural \[ n \geq{0} \] demostrar que se cumple la siguiente identidad

\[ \dfrac{1}{1+x} + \dfrac{2}{1+x^2} + \dfrac{4}{1+x^4} +... + \dfrac{2^n}{1+x^{2^n}} = \dfrac{1}{x-1} - \dfrac{2^{n+1}}{1-x^{2^{n+1}}} \]


Entiendo que el caso base es demostrar para 0, suponemos un k arbitrario y demostramos para k+1. Ya probé con \[ n=0 \], pero al momento d de hacer \[ n=2 \], del lado izquierdo me sale un expresión muy horrible

Además, al momento de hacer la suposición para \[ k \] no sé cómo moverme, es decir qué álgebra seguir, como manipularlo. Las fracciones se me dificultan al igual que los exponentes

Alguna idea o sugerencia de como puedo seguir?

Gracias!

3
Probabilidad / Re: Rollos con distribución de Poisson
« en: 03 Febrero, 2021, 10:13 pm »
Hola.

Según entiendo los parametros son
\[ n=125 \]
\[ \mu = 5 \]
\[ \sigma = 5.5 \]

No? o me equivoco

Casi. En la distribución de Poisson la media y la varianza coinciden, de donde \[ \sigma =\sqrt[ ]{5} \]

Y lo que pide el problema es \[ P(\bar{X} <5.5) \]

Un saludo.

Sí, gracias!

4
Probabilidad / Re: Rollos con distribución de Poisson
« en: 03 Febrero, 2021, 07:17 pm »
Hola.

Utiliza el teorema central del límite, que dice que para tamaños muestrales suficientemente grandes, la media muestral se distribuye según la normal \[ N(\mu, \displaystyle\frac{\sigma }{\sqrt[ ]{n}})  \]

Un saludo.

Gracias!
Según entiendo los parametros son
\[ n=125 \]
\[ \mu = 5 \]
\[ \sigma = 5.5 \]

No? o me equivoco

5
Probabilidad / Rollos con distribución de Poisson
« en: 03 Febrero, 2021, 03:28 am »
Hola a todos!
Como puedo resolver este problema? Gracias!

Supongamos que el número de defectos que tiene un rollo de tela sigue una distribuciún de Poisson de media 5 y que para una muestra aleatoria de 125 rollos se cuenta el número de defectos encada uno de ellos.  Determinar la probabilidad de que el número promedio de defectos por rollo en la muestra sea menor a 5.5

El hint que me dan es aproximar Poisson por medio de una Normal
¿Es posible y como es?

Gracias!

6
Probabilidad / Re: Variable Aleatoria lambda
« en: 02 Febrero, 2021, 10:09 pm »
La distribución exponencial de parámetro \[ \lambda \] es la variable aleatoria continua con función de densidad \[ f(x)=\begin{cases}{\lambda e^{-\lambda x}}&\text{si}& x>0\\0 & \text{si}& x\leq 0\end{cases} \].

No es una Poisson (que es discreta). A ver si con esto puedes resolver el problema.

Es distribución exponencial!, gracias, ya salió (:

7
Probabilidad / Variable Aleatoria lambda
« en: 02 Febrero, 2021, 09:02 pm »
Hola a todos!
Me pueden ayudar con esta demostración? Se los agradecería mucho

Si \[ X \] es una Variable Aleatoria exponencial de parámetro \[ \lambda \].  Probar que

\[ E(X^k)=\dfrac{k!}{\lambda^k} \]

Creo que es la distribución de Poisson pero una de las propiedades de dicha distribución es

\[ E(X^k)=\lambda E(x+1)^{k-1} \]

Lo cual es recurisivo, entonces esto significa que no es distribución de Poisson ? O si hay una equivalencia y como llego a ella? Gracias!

8
Probabilidad / Dados y monedas
« en: 15 Enero, 2021, 04:29 pm »
Hola!

Me pueden ayudar con dos simples ejercicios? Gracias

1.- Sí se lanza repetidamente un dado. ¿En promedio, cuántas veces se debe lanzar el dado para que aparezca por primera vez un número par?
Creo que es dos pues solo hay pares e impares

2.- Se lanza repetidamente una moneda. ¿En promedio, cuantas veces se debe lanzar la moneda para que salgan n águilas?
Según yo es \[ 2^n \], puesto que hay 2 posibilidades

Esas serían mis posibles respuestas, pero no estoy muy seguro

9
Probabilidad / Re: Valor de c
« en: 12 Enero, 2021, 02:22 am »
Hola.

Utiliza que:

\[ E[c^X] =c^{-1}\cdot{}P[X=-1] +c^1\cdot{}P[X=1] \]

Si no logras concluir insiste.

Un saludo.

\( \dfrac{1-p}{p} \)

Muchas gracias!

10
Probabilidad / Re: n urnas con m pelotas blancas
« en: 12 Enero, 2021, 02:18 am »
Hola a todos! Me pueden ayudar a resolver este problema? Se los agradecería mucho

Si \[ n \] pelotas son seleccionadas de una urna que contiene \[ N \] pelotas de las cuales \[ m \] son blancas. Obtener el número esperado de pelotas blancas seleccionadas.

Por lo que tengo entendido podemos definir la V.A como

\[ X= \] el numero de pelotas blancas, para a cual \[ X=X_1+...+X_m \], donde

\[ X_i \]=\begin{cases}{1}&\text{si}& \text{la i-ésima pelota blanca es seleccionada}\\0 & \text{si}& \text{en otro caso}\end{cases}

Pero me confunde un poco el no tener un fórmula y así ponerlo en el sumando, de ante mando Muchas Gracias!

De momento va bien el planteamiento, el único (pequeño) error que le veo es que debería ser \( X=X_1+\ldots +X_n \), ya que son \( n \) las bolas que sacamos de la urna (no \( m \)). Ahora tienes que

\( \displaystyle{
\operatorname{E}[X]=\operatorname{E}\left[\sum_{k=1}^n X_k\right]=\sum_{k=1}^n \operatorname{E}[X_k]=\sum_{k=1}^n \Pr [A_k]
} \)

donde \( A_k \) es el evento de que la \( k \)-ésima pelota que saquemos sea blanca. Ahora el truco está en darse cuenta de que hay una simetría inherente al problema que hace que \( \Pr [A_1]=\Pr [A_2]=\ldots =\Pr [A_n] \). Una forma de demostrarlo es por inducción, aunque es algo aparatosa, la forma intuitiva de verlo es que si ya has sacado \( k \) bolas, y no sabes cuáles han salido, entonces sacar la bola \( k+1 \) es lo mismo que considerar que ésa es la primera bola que sacas.

Con lo dicho creo que ya puedes resolver el problema.

Gracias por la ayuda pero sinceramente no entiendo que es \[ Pr \]

Además, sí, son \[ n \] las que queremos sacar, pero son \[ m \] la blancas, las disponibles, no?

11
Probabilidad / n urnas con m pelotas blancas
« en: 12 Enero, 2021, 01:43 am »
Hola a todos! Me pueden ayudar a resolver este problema? Se los agradecería mucho

Si \[ n \] pelotas son seleccionadas de una urna que contiene \[ N \] pelotas de las cuales \[ m \] son blancas. Obtener el número esperado de pelotas blancas seleccionadas.

Por lo que tengo entendido podemos definir la V.A como

\[ X= \] el numero de pelotas blancas, para a cual \[ X=X_1+...+X_m \], donde

\[ X_i \]=\begin{cases}{1}&\text{si}& \text{la i-ésima pelota blanca es seleccionada}\\0 & \text{si}& \text{en otro caso}\end{cases}

Pero me confunde un poco el no tener un fórmula y así ponerlo en el sumando, de ante mando Muchas Gracias!

12
Probabilidad / Obtener el valor de E(X)
« en: 10 Enero, 2021, 08:47 pm »
Hola buen día, me pueden guiar en este problema? Gracias!

Sea \[ X \] una Variable Aleatoria con soporte en {\[ −n,−n+ 1, . . . , 0, . . . , ,n−1,n \]} para algun valor positivo \[ n \].  Supongamos que la función de masa de probabilidad satisface la propiedad de simetria la cual esta dada por \[ P(X=−k) =P(X=k) \] si \[ k∈N \].
Obtener el valor de \[ E(X). \]

Creo que su valor es 0 ya que se van cancelando todos los términos, pero no estoy seguro. Entonces, como es?

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Probabilidad / Re: Ejemplo de momento
« en: 29 Diciembre, 2020, 12:22 am »
El ejemplo típico es la distribución de Cauchy.

Para probarlo basta con calcular \[ E[X]=\int_{-\infty}^\infty xf(x)dx \], con \( f(x) \) la función de densidad, y ver que diverge.

Es un buen ejemplo!

Pero hay alguno otro mas sencillo de demostrar?
Creo que su función de distribución es un poco... "pesada"

Gracias!

14
Probabilidad / Ejemplo de momento
« en: 23 Diciembre, 2020, 12:11 am »
Hola a todos!
Me podrían dar un ejemplo de una variable aleatoria que no tenga el primer momento finito?
Y como se podría demostrar

Llevo rato pensando pero no se me ocurre algún ejemplo 🤔

Gracias!

15
Teoría de números / Máximo común divisor
« en: 01 Diciembre, 2020, 03:23 pm »
Hola buen dìa!

Me podrían ayudar a resolver el siguiente problema? Por favor!

Demuestra que si

\( mcd(a, b) = 1 \Rightarrow{mcd(a + 2b, 2a + b) = 1  \vee 3} \)

Gracias!

16
Probabilidad / N bolas en n cajas
« en: 20 Noviembre, 2020, 07:03 pm »
Hola buen día
Me podrían ayudar con este problema? Se los agradecría mucho :)

Se piensa distribuir \[ n \] bolas distintas en \[ n \] diferentes cajas y donde cada uno de los \[ n^n \] acomodosposibles es igualmente probable.  ¿Cuál es la probabilidad de que la Caja # 1 este vacía?

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Probabilidad / Desigualdad de Boole
« en: 12 Noviembre, 2020, 12:35 am »
Me pueden ayudar a resolver este problema? Se los agradecería mucho
Sea P la probabilidad, Probar que

\( P(A_i) = 1 \) para toda   \[  i \geq{1} \Rightarrow{  P\Bigg(\bigcap\limits_{i=1}^{\infty} A_i \Bigg)=1 }  \]

HInt: Usar la desigualdad de boole Boole

Gracias!

18
Si, perfecto, perdón por la demora!
Gracias!

Bueno, en realidad sería para \[ N \], esto ocuparía tomar un caso especial para el 0?
Segun yo no, pero no estoy seguro

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Hola buen día!

Me podrían ayudar como es que se demuestra este tipo de problemas? Por favor

\(  a < b\Rightarrow{a+c < b+c}  \)

\[   a<b \wedge c \in{P} \Rightarrow{ac < bc } \]

Si \[ a < b \wedge b < c\Rightarrow{a < c} \]

Si \[  a\neq 0 \Rightarrow{} a^2\in{P}  \]

\[ mcd(a, b) =mcd(a, ac+b) \]


Es decir, como hay qué hacerlo, que piezas debo mover, etc...
Se los agradecería mucho.

20
Jaja bien, iré poniendo retos más difíciles

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