Me extraña muchísimo que, transcurridos tantos días desde el 18 de mayo en que el administrador puso esta colección de ejercicios, nadie haya enviado ninguna solución.
Para romper el fuego, empiezo con los dos primeros.
1. Dos triángulos tienen la misma base BC y los vértices A y A’ están en una paralela a BC. Comparar sus áreas.
Figura
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=46208.0;attach=8754)
Los triángulos ABC y A'BC (ver figura adjunta), que tienen la misma base, tienen iguales sus alturas AH y AH'; luego tienen iguales sus áreas, esto es, son equivalentes.
2. A y B son puntos fijos de una recta. Situar un punto C de una paralela a esa recta para que el área del triángulo ABC sea la mayor posible.
Sea cual sea la posición del punto C en la paralela a AB, todos los triángulos formados son equivalentes, por tener alturas iguales.
Saludos.
De acuerdo fernandodm, el rectángulo y el cuadrado tienen áreas iguales.
Figura
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=46208.0;attach=8755)
Fíjate cómo se puede resolver el problema sin hacer cálculos (adjunto).
Traza la diagonal BD. Observarás que el cuadrado ABCD está formado por cuatro triángulos rectángulos iguales y también el rectángulo ACFE; luego ésta también tiene área unidad.
Más o menos así pueden hacerse casi todos los propuestos en esta sección, gráficamente, sin cálculos.
Un saludo.
5. En un paralelogramo se trazan las diagonales. Comparar las áreas de los cuatro triángulos formados.
Figura
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=46208.0;attach=8756)
Hacemos este ejercicio teniendo en cuenta el resultado del ejercicio 3: una mediana de un triángulo lo divide en dos triángulos equivalentes.
Sea el paralelogramo ABCD, cuyas diagonales AC y BD se cortan en O, centro del paralelogramo.
Se sabe (se debe saber) que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio; entonces DO es una mediana del triángulo ADC, por lo que los triángulos AOD y DOC son equivalentes. Análogamente para los otros pares.
Saludos.
En adelante, designaré con (XYZ) el área de la figura XYZ.
Figura
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=46208.0;attach=8757)
(ABM)=(AMC) porque AM es mediana del triángulo ABC
(EBM)=(EMC) porque EM es mediana del triángulo EBC
Restando ambas expresiones resulta: (ABE)=(AEC)
Intentemos hacerlo de otra manera.
Se han trazado las tres medianas de un triángulo. ¿Qué relación hay entre las áreas de los seis triángulos formados?
Figura
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=46208.0;attach=8758)
Con (X) designo el área de la figura X. Para este ejercicio tener en cuenta el resultado del ejercicio 3.
(1)=(2), (3)=(4), (5)=(6)
Por otra parte: (1)+(2)+(3)=(1)+(2)+(6), de donde (3)=(6).
Análogamente se demuestra (1)=(4), (3)=(6)
Los seis triángulos tienen áreas iguales, es decir, son equivalentes.
Se consideran los triángulos que tienen dos lados de longitudes fijas. ¿Cuál de esos triángulos es el que tiene el área máxima?
Figura
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=46208.0;attach=8759)
Sea el triángulo ABC (archivo adjunto) en el que los lados AB y AC tienen longitudes fijas; tomando como baso AB, el área será máxima cuando sea máxima la altura CH, y esto ocurre cuando el triángulo es rectángulo: el ABC'.
Otra forma: el área viene dada por 1/2 (AB·AC sen A); como AB y AC son fijos, el área será máxima cuando sea máximo sen A, esto es, cuando A=90º.
9.¿Qué relación hay entre las áreas de los triángulos sombreados?
Figura
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=46208.0;attach=8760)
Los triángulos ABD y ACD tienen la misma base AD es igual altura (distancia de B y C a AD), luego son equivalentes.
Se de ambos triángulos restamos el triángulo AED, resultan los triángulos sombreados, que serán equivalentes.
10. Un triángulo equilátero y un hexágono regular tienen el mismo perímetro. Hallar la relación entre sus áreas.
Figura
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=46208.0;attach=8761)
Si los dos polígonos tienen el mismo perímetro, el lado del triángulo equilátero será doble del lado del hexágono.
Entonces los dos polígonos se pueden descomponer en triángulos equiláteros iguales, 6 el hexágono y 4 el triángulo.
La relación de las áreas del hexágono y del triángulo será 3/2
12. El hexágono regular estrellado de la figura está formado por dos triángulos equiláteros de 36 u.s. cada uno. ¿Cuál es la superficie del hexágono sombreado?
Figura
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=46208.0;attach=8762)
Cada triángulo equilátero de los que forman el hexágono estrellado tiene 9 triángulos pequeños; cada uno medirá 4 u.s.
El hexágono sombreado está formado por 6; luego su área será 24 u.s.
13. Construir un cuadrado cuya área sea doble que la de otro dado. Idem mitad.
Figura
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=46208.0;attach=8763)
Si ABCD es el cuadrado dado, el AEFC, de lado la diagonal de aquel, tiene área doble: el primero está formado por dos triángulos rectángulos isósceles iguales y el segundo por cuatro.
Y el MNPQ, cuyos vértices son los puntos medios de los lados, tiene área mitad: el ABCD está formado por ocho triángulos y el otro por cuatro.
15. Hallar el área de un cuadrilátero conociendo las longitudes de las diagonales, que son perpendiculares.
Figura
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=46208.0;attach=8764)
Designamos con [XYZ] el área de la figura XYZ.
[ABCD]=[ADC]+[ABC]=1/2(AC·OD)+1/2(AC·OB)=1/2 AC(OD+OB)=1/2 (AC·DB)
Resulta que el área es igual al semiproducto de las diagonales.
16. Dado un trapecio rectángulo: a) dividirlo en dos figuras de igual área. b) dividirlo en cuatro figuras iguales.
Figura
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=46208.0;attach=8765)
Ver figura adjunta
17. Prolongamos cada lado de un triángulo ABC una longitud igual al lado, obteniéndose el triángulo KLM. Comparar las áreas de los triángulos KLM y ABC.
Figura
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=46208.0;attach=8766)
Se basa este problema en que una mediana de un triángulo divide a éste en dos triángulos equivalentes.
Entonces: el tr 1 es equivalente al ABC porque AB es mediana del triángulo KBC.
El tr 1 y el 2 también lo son porque KB es mediana del triángulo KAL.
Y así con los demás.
Se llega a que el área del triángulo KLM es 6 veces la del ABC.
18. M es el punto medio de la diagonal AC de un cuadrilátero ABCD. Comparar las áreas de los cuadriláteros ABMD y CBMD.
Figura
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=46208.0;attach=8767)
Los triángulos 1 y 2 son equivalentes por ser DM mediana del triángulo DAC.
Análogamente son equivalentes el 3 y 4.
La suma de 1 y 3 será igual a la suma de 2 y 4.
19. ¿Qué relación hay entre el área del rectángulo y el área del romboide?
Figura
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=46208.0;attach=8768)
El triángulo 1 tiene la misma base y doble altura que el rectángulo; luego son equivalentes. Igual el 2.
El triángulo 3 tiene doble base y la misma altura que el rectángulo; son equivalentes. Igual el 4.
Entonces el área del romboide es 5 veces la del rectángulo.