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Matemática => Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales => Teoría de Conjuntos => Mensaje iniciado por: w a y s en 12 Octubre, 2020, 11:56 pm

Título: Si $$A\cap B=A\cap C $$ y $$A^{c}\cap B=A^{c}\cap C$$ entonces $$C=B$$.
Publicado por: w a y s en 12 Octubre, 2020, 11:56 pm
Hola, tengo una duda acerca de este enunciado.

Yo sé que para demostrar que $$B=C$$ necesitaría utilizar tanto la intersección,$$A\cap B=A\cap C$$, como la unión, $$A\cup B=A\cup C$$.

¿Podría esto demostrarse usando solo la intersección tal como el enunciado dice? Personalmente no se me ocurre ninguna forma de hacerlo así.

Muchas gracias de antemano, saludos.
Título: Re: Si $$A\cap B=A\cap C $$ y $$A^{c}\cap B=A^{c}\cap C$$ entonces $$C=B$$.
Publicado por: manooooh en 13 Octubre, 2020, 12:32 am
Hola

Yo sé que para demostrar que $$B=C$$ necesitaría utilizar tanto la intersección,$$A\cap B=A\cap C$$, como la unión, $$A\cup B=A\cup C$$.

Bien.

¿Podría esto demostrarse usando solo la intersección tal como el enunciado dice?

Sí. Te lo demuestro conjuntistamente y tú intenta pensar las propiedades que fui usando:

\(
\begin{align*}
&A\cap B=A\cap C\land A'\cap B=A'\cap C\implies C=B\\\hline
C&=C\cap\mathcal{U}\\
&=C\cap(A\cup A')\\
&=(A\cap C)\cup(A'\cap C)\\
&\overset{(*)}=(A\cap B)\cup(A'\cap B)\\
&=(A\cup A')\cap B\\
&=\mathcal{U}\cap B\\
&=B,
\end{align*}
 \)

donde en \( (*) \) he usado las hipótesis.

Saludos
Título: Re: Si $$A\cap B=A\cap C $$ y $$A^{c}\cap B=A^{c}\cap C$$ entonces $$C=B$$.
Publicado por: w a y s en 13 Octubre, 2020, 01:22 am
Muchas gracias manooooh, por tu respuesta.