[megasaw]

Saludos, tengo este ejercicio y en funciones normales sé cómo hacerlo pero en funciones vectoriales no tengo la más remota idea de qué hacer, dice así:
En la curva \(  \overrightarrow{r}(t) = (cost, sent, e^t)  \), halle el punto en el cual la tangente es paralela al plano \(   \sqrt{3}x + y = 4  \).

Como dice que la tangente es paralela al plano, el vector normal al plano será también perpendicular a la tangente, pero no sé cómo aplicarlo a esa curva, pueden ayudarme?

[ciberalfil]

Si el vector de posición de la curva es \(  \vec r(t) \) el vector tangente a la curva es \( \vec{dr}(t) \) que se obtiene diferenciando el primero. Solo tienes que imponer a continuación que dicho vector sea paralelo al plano dado y obtener así el valor de \( t \) que satisface la condición de paralelismo. Con ese valor de \( t \) hallas el punto fácilmente. ¿Sabes hacerlo? Si no te ayudo un poco más.

[megasaw]

Si el vector de posición de la curva es \(  \vec r(t) \) el vector tangente a la curva es \( \vec{dr}(t) \) que se obtiene diferenciando el primero. Solo tienes que imponer a continuación que dicho vector sea paralelo al plano dado y obtener así el valor de \( t \) que satisface la condición de paralelismo. Con ese valor de \( t \) hallas el punto fácilmente. ¿Sabes hacerlo? Si no te ayudo un poco más.

Me he perdido un poco, puedes ayudarme más?

[ciberalfil]

Vamos a ver, como ya te he dicho, el vector tangente a la curva será:

\( \vec{dr}=(-sen{t},\ cos{t},\ e^t)dt \)

Solo tienes que imponer la condición de que éste último y el vector perpendicular al plano \( (\sqrt[ ]{3},1,0) \) sean a su vez perpendiculares, es decir que su producto escalar se anule.

¿Me sigues?

[megasaw]

Vamos a ver, como ya te he dicho, el vector tangente a la curva será:

\( \vec{dr}=(-sen{t},\ cos{t},\ e^t)dt \)

Solo tienes que imponer la condición de que éste último y el vector perpendicular al plano \( (\sqrt[ ]{3},1,0) \) sean a su vez perpendiculares, es decir que su producto escalar se anule.

¿Me sigues?

Sí, la condición de ortogonalidad entre vectores, pero no me dará un escalar? y como obtendría el punto después?

[delmar]

Hola

El producto interno entre el vector tangente a la curva y el vector normal al plano, para que sean ortogonales, ha de ser cero y esto implica una condición para t, observa :

\( (-sen \ t,cos \ t,e^t) \ \cdot{ \ (\sqrt[ ]{3},1,0)}=0\Rightarrow{-\sqrt[ ]{3}sen \ t+cos \ t=0}\Rightarrow{sen \ t=\displaystyle\frac{cos \ t}{\sqrt[ ]{3}}} \) Ec. 1

Evidentemente \( cos t\neq{0} \) esto implica que la Ec. 1 se puede poner como \( tg \ t=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{3}} \) De acá despejas t, el punto \( r(t) \) que se corresponde con el t hallado, es el punto de la curva cuya tangente es paralela al plano dado.

Saludos

[megasaw]

Hola

El producto interno entre el vector tangente a la curva y el vector normal al plano, para que sean ortogonales, ha de ser cero y esto implica una condición para t, observa :

\( (-sen \ t,cos \ t,e^t) \ \cdot{ \ (\sqrt[ ]{3},1,0)}=0\Rightarrow{-\sqrt[ ]{3}sen \ t+cos \ t=0}\Rightarrow{sen \ t=\displaystyle\frac{cos \ t}{\sqrt[ ]{3}}} \) Ec. 1

Evidentemente \( cos t\neq{0} \) esto implica que la Ec. 1 se puede poner como \( tg \ t=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{3}} \) De acá despejas t, el punto \( r(t) \) que se corresponde con el t hallado, es el punto de la curva cuya tangente es paralela al plano dado.

Saludos

Muchas gracias a ambos, han sido de gran ayuda.