Autor Tema: No puedo factorizar este polinomio

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

07 Agosto, 2018, 02:58 am
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Oruiz

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Un saludo para todos.

Agradezco a quien me pueda ayudar a factorizar: \( 3m^2-7mn+2n^2+19m-13n+20
 \)

Cordial saludo.

07 Agosto, 2018, 05:01 pm
Respuesta #1

hméndez

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Un saludo para todos.

Agradezco a quien me pueda ayudar a factorizar: \( 3m^2-7mn+2n^2+19m-13n+20
 \)

Cordial saludo.

Vamos a suponer que sea factorizable en  \( \mathbb{Z} \):

\( 3m^2-7mn+2n^2+19m-13n+20\equiv{}(3m+an+b)(m+cn+d) \)
                                                     \(  \equiv{}3m^2+(a+3c)\,mn+(b+3d)\,m+a\,c\,n^2+(ad+bc)\,n+b\,d \)

A resolver en \( \mathbb{Z} \):

\( a+3c=-7 \)       (1)
\( b+3d=19 \)       (2)
\( a\,c=2 \)              (3)
\( a\,d+b\,c=-13 \)  (4)
\( b\,d=20 \)            (5)


Ensayando soluciones...
Nos fijamos en (3) y tanteamos con \( a=-1 \) y \(  c=-2 \) y se satisface (3) y (1)
Nos fijamos en (5) y tanteamos con \( b=4 \) y \(  d=5 \), se satisface (5) y (2)
probamos (4) con los valores anteriores y tambien se satisface.

Una factorización es:

\( (3m-n+4)(m-2n+5) \)

Saludos

08 Agosto, 2018, 03:07 am
Respuesta #2

Oruiz

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hméndez,

Muchísimas gracias por tu amable explicación. Me podrías indicar, por favor, cómo se llama el método que has utilizado?.


Cordial saludo,



08 Agosto, 2018, 06:10 am
Respuesta #3

hméndez

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hméndez,

Muchísimas gracias por tu amable explicación. Me podrías indicar, por favor, cómo se llama el método que has utilizado?.


Cordial saludo,




No se trata de ningun método de factorización en especial, eso no fue más que resolver un problema de coeficientes indeterminados.

Saludos
 

08 Agosto, 2018, 10:11 am
Respuesta #4

feriva

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hméndez,

Muchísimas gracias por tu amable explicación. Me podrías indicar, por favor, cómo se llama el método que has utilizado?.


Se puede decir que él utiliza varias técnicas. Y la técnica central que emplea para resolverlo yo la conozco como “identificación de coeficientes”; creo que es el nombre más común. Es cuando hace esto:

\( a+3c=-7 \)      (1)

\( b+3d=19 \)       (2)

\( a\,c=2 \)              (3)

\( a\,d+b\,c=-13 \)  (4)

\( b\,d=20 \)            (5)

Es decir, iguala los coeficientes de “m cuadrado”, de “mn”, etc., todos los que hay en esta ecuación

\( 3m^{2}-7mn+2n^{2}+19m-13n+20
  \)

con los que hay en la otra. Tienen que tener el mismo valor porque tenemos las mismas variables tanto aisladamente como combinadas en forma de producto; por ejemplo, en un polinomio cualquiera y con una sola variable podríamos tener:

Si \( ax^{3}+bx^{2}+x+c=dx^{3}+ex
  \)

se tiene a=d, porque son los coeficientes de “x cubo”, y sólo hay una “x cubo” a cada lado. Asimismo, como en la derecha falta la x al cuadrado, b=0; también se ve que e=1 y que c=0.

Esto es a lo que se llama identificación de coeficientes.

En el caso del problema no hay datos suficientes, pero se prueban valores.

Saludos.

08 Agosto, 2018, 02:54 pm
Respuesta #5

Oruiz

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feriva,

Me queda muy claro. Te doy infinitas gracias.

Cordial saludo.


hmèndez,

Reitero mi agradecimiento.


Cordial saludo,