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Sea \( f(x)=0,5x^4+ax^3+bx^2+cx+d \), cuyo mínimo global es cero.
Sea \( g(x)=2x^4e^{-x} \) tal que \( h(x)=f(g(x)) \) satisface lo siguiente:
a) \( h(x)=0 \) tiene cuatro raíces reales y distintas.
b) \( h(x) \) tiene un mínimo local cuando \( x=0 \)
c) \( h(x)=8 \) tiene seis raíces reales y distintas.
Calcule el valor de \( f^{'}(5) \)
1) Si el mínimo global de \( f(x) \)es cero, tiene una raíz donde también se anula la derivada, es decir, una raíz doble. Además o bien no tiene más raíces o bien si tiene más raíces es otra doble, porque en otro caso cerca de esa raíz tomaría valores negativos lo cual contradice la condición de mínimo global.
2) La función \( g(x) \) tiene un mínimo en \( x=0 \) y un máximo en \( x=4 \). Se puede ver entonces que:
- Siempre toma valores no negativos.
- Alcanza una sola vez valores mayores que \( g(4) \).
- Alcanza exactamente dos veces el valor \( g(4) \).
- Alcanza exactamente tres veces los valores en \( (0,g(4)) \)
- Alcanza una única vez el valor \( g(0)=0 \).
3) Como \( h(x)=f(g(x)) \) tiene cuatro raíces y \( g(x) \) toma cada valor como máximo tres veces, \( f(x) \) tiene que tener más de una raíz.
4) Como consecuencia de (3) y (1), \( f(x) \) tiene dos raíces dobles, es decir, es de la forma: \( f(x)=0.5(x-p)^2(x-q)^2 \).
5) Como \( h(x)=f(g(x)) \) tiene cuatro raíces, \( p \) es un valor que es tomado tres veces por \( g(x) \) y \( q \) un valor que es tomado una sóla vez por \( g(x) \). Es decir \( p\in (0,g(4)) \) y \( q=0 \) ó \( q>g(4) \).
6) Sabemos que \( h(x) \) tiene un mínimo local en \( x=0 \). Se puede ver que:
\( h'(0)=h''(0)=h'''(0)=0 \) y \( h''''(0)=-48pq(p+q) \)
Para que sea un mínimo \( h''''(0)\geq 0 \). Teniendo en cuenta los rangos de \( p,q \) vistos en (5), se deducimos que: \( q= \)0.
Es decir tenemos \( f(x)=0.5x^2(x-p)^2. \)
7) Para analizar \( h(x)=8 \) (nos dice que tiene seis soluciones) estudiamos \( f(g(x))=8 \). Equivale a:
\( g(x)^2(g(x)-p)^2=16\quad \Leftrightarrow{}\quad g(x)(g(x)-p)=4 \) ó \( g(x)(g(x)-p)=-4 \)
Resolviendo:
i) \( g(x)=\dfrac{p\pm \sqrt{p^2+16}}{2} \)
ii) \( g(x)=\dfrac{p\pm \sqrt{p^2-16}}{2} \)
i) Da dos soluciones para \( g(x) \). Una positiva \( x_1 \) y otra negativa. La negativa no puede ser, porque \( g(x) \) toma valores no negativos. Dado que \( g(x) \) a lo sumo repite un valor tres veces, a lo sumo tenemos aquí tres soluciones.
ii) a)Si \( p<4 \) no da mas soluciones. No puede ser.
b) Si \( p>4 \) da dos soluciones. Una \( x_2 \) menor que \( p \) y otra \( x_3<x_1 \) mayor que \( p \). La menor que \( p \) está en \( (0,p)\subset (0,g(4)) \) y por tanto corresponde a tres valores de \( g(x) \).
La mayor que \( p \) no puede dar lugar a tres soluciones, por tanto \( x_3\geq g(4) \). Entonces \( x_1>x_3>x_4 \). Y así \( g(x)=x_1 \) sólo tiene una solución. Tenemos \( g(x)=x_2 \) con tres soluciones; \( g(x)=x_1 \) con una solución, y por tanto \( g(x)=x_3 \) debería de tener dos soluciones, es decir, \( x_3=g(4) \). Es decir:
\( g(4)^2(g(4)-p)^2=16 \)
De donde:
\( p=\dfrac{g(4)^2-4}{g(4)}<g(4) \) ó \( p=\dfrac{g(4)^2+4}{g(4)}>g(4) \) (pero esta segunda no puede ser porque dijimos que \( p<g(4) \))
Y para la primera \( p=\dfrac{g(4)^2-4}{g(4)}<g(4) \) se puede ver entonces que la solución positiva de \( g(x)=\dfrac{p\pm \sqrt{p^2+16}}{2} \) sería \( x_1=g(x)=g(4) \). Pero habíamos dicho que tenía que ser \( x_1>g(4) \), así que no puede ser.
iii) c) Si \( p=4 \) entonces la segunda ecuación tiene una única solución \( p \). \( g(x)=p=4\in (0,g(4)) \) tiene tres soluciones. Y volviendo a la otra solución:
\( g(x)=\dfrac{4+\sqrt{4^2+16}}{2}\in (0,g(4)) \)
da lugar a otras tres soluciones. También nos vale. Así que la única posibilidad es:
\( \boxed{f(x)=0.5x^2(x-4)^2} \)
Saludos.
