[Zaragoza]

Hola, tengo algunos problemas tratando de encontrar el módulo y argumento principal de $$(-2+2i)^{(-3-4i)}$$, he trabajado con teoría compleja pero de manera abstracta y no he hecho mucho este tipo de cuentas. Por favor, agradecería que me ayuden de manera detallada. Gracias de antemano.

[ingmarov]

Hola

A ver, si \( z=\rho \cdot e^{i\theta} \)   entonces  \( |z|=\rho,  arg(z)=\theta \)

Entonces pon base y exponente en forma exponencial (basta solamente con la base). Y trata de poner el resultado de forma en que puedas identificar directamente el módulo y el argumento.

Saludos

[Zaragoza]

Hola

A ver, si \( z=\rho \cdot e^{i\theta} \)   entonces  \( |z|=\rho,  arg(z)=\theta \)

Entonces pon base y exponente en forma exponencial (basta solamente con la base). Y trata de poner el resultado de forma en que puedas identificar directamente el módulo y el argumento.

Saludos

Algo así? Sea $$z=(-2+2i)^{(-3-4i)}$$

$$
-2+2i=2{\color{red}{\sqrt 2}}(-\frac{1}{{\color{red}{\sqrt 2}}}+\frac{i}{{\color{red}{\sqrt 2}}})=2{\color{red}{\sqrt 2}}e^{3\pi i/4}\rightarrow (-2+2i)^{(-3-4i)}=({2{\color{red}{\sqrt 2}}e^{3\pi i/4}})^{(-3-4i)}=e^{3\pi}(2 {\color{red}{\sqrt 2}})^{(-3-4i)}e^{-9\pi i/4}
$$
Luego se me viene a la mente lo siguiente, pero no estoy seguro

$$
(2 {\color{red}{\sqrt 2}})^{(-3-4i)}=e^{(-3-4i)\ln 2{\color{red}{\sqrt 2}}}=e^{-3\ln 2{\color{red}{\sqrt 2}}}e^{-(4\ln 2{\color{red}{\sqrt 2}})i}\Rightarrow |z|=e^{3\pi-3\ln 2{\color{red}{\sqrt 2}}}=\frac{e^{3\pi}}{16\sqrt 2}\wedge \mathrm{Arg}(z)=-\frac{9\pi}{4}-4\ln 2{\color{red}{\sqrt 2}} +(2\pi)(2)\approx 1.34 \in]-\pi,\pi[
$$
entonces ese sería el argumento principal.

[ingmarov]

\( (-2+2i)=2\sqrt{2}e^{\frac{3\pi}{4}i} \)

Y

\[ (-2+2i)^{-3-4i}=\left(2\sqrt{2}e^{\frac{3\pi}{4}i}\right)^{-3-4i} \]

Ahora aplica propiedades de potencia

\( a^{t+u}=a^t\cdot a^u \)

\( (a\cdot b)^t=a^{t}\cdot b^t \)

Además en los complejos

\( z_1\cdot z_2=|z_1|\cdot |z_2|e^{i(arg(z_1)+arg(z_2))} \)


Saludos

[Zaragoza]

\( (-2+2i)=2\sqrt{2}e^{\frac{3\pi}{4}i} \)

Y

\[ (-2+2i)^{-3-4i}=\left(2\sqrt{2}e^{\frac{3\pi}{4}i}\right)^{-3-4i} \]

Ahora aplica propiedades de potencia

\( a^{t+u}=a^t\cdot a^u \)

\( (a\cdot b)^t=a^{t}\cdot b^t \)

Además en los complejos

\( z_1\cdot z_2=|z_1|\cdot |z_2|e^{i(arg(z_1)+arg(z_2))} \)


Saludos

Gracias por la aclaración vi mi error, y lo he corregido, podrías hecharle un vistazo?

[ingmarov]

...
$$
\ldots\rightarrow (-2+2i)^{(-3-4i)}=({2{{\sqrt 2}}e^{3\pi i/4}})^{(-3-4i)}=\color{red}e^{-3\pi}(2 {{\sqrt 2}})^{(-3-4i)}e^{-9\pi i/4}
$$
...

No sé qué hiciste allí, lo que pongo en rojo.

Podrías continuar

\( ({2{{\sqrt 2}}e^{3\pi i/4}})^{(-3-4i)}=({2{{\sqrt 2}}e^{3\pi i/4}})^{-3}\cdot ({2{{\sqrt 2}}e^{3\pi i/4}})^{-4i} \)

Me parece más fácil seguir desde allí.

No lo he resuelto hasta el final.

[Zaragoza]

Disculpa me perdí un poco, no es lo mismo qué hice?

[ingmarov]

Disculpa me perdí un poco, no es lo mismo qué hice?

Ahora lo veo, está bien.

Termino y comparamos

\( ({2{{\sqrt 2}}e^{3\pi i/4}})^{(-3-4i)}=({2{{\sqrt 2}}e^{3\pi i/4}})^{-3}\cdot ({2{{\sqrt 2}}e^{3\pi i/4}})^{-4i}=\\=\left((2\sqrt {2})^{-3}e^{-9\pi/4 i}\right)\cdot \left(e^{3\pi}(2\sqrt{2})^{-4i}\right)=\left((2\sqrt {2})^{-3}e^{3\pi}\right)\cdot \left(e^{-9\pi/4 i}e^{ln(2\sqrt{2})(-4i)}\right)=\\= \left((2\sqrt {2})^{-3}e^{3\pi}\right)\cdot e^{(-9\pi/4-4ln(2\sqrt{2}))i} \)

Revisa, me parece que está bien

Saludos

[manooooh]

Hola

Disculpa me perdí un poco, no es lo mismo qué hice?

Ahora lo veo, está bien.

Yo aun no veo que estas dos expresiones sean iguales:

\( ({2{{\sqrt 2}}e^{3\pi i/4}})^{(-3-4i)}=\color{red}e^{-3\pi}(2 {{\sqrt 2}})^{(-3-4i)}e^{-9\pi i/4} \)

y parece que WA tampoco.

Sería bueno que Zaragoza muestre los pasos que hizo.

Saludos

[ingmarov]

Hola

Disculpa me perdí un poco, no es lo mismo qué hice?

Ahora lo veo, está bien.

Yo aun no veo que estas dos expresiones sean iguales:

\( ({2{{\sqrt 2}}e^{3\pi i/4}})^{(-3-4i)}=\color{red}e^{-3\pi}(2 {{\sqrt 2}})^{(-3-4i)}e^{-9\pi i/4} \)

y parece que WA tampoco.

Sería bueno que Zaragoza muestre los pasos que hizo.

Saludos

Es que solo separó la exponencial, una elevada a -3 y otra a -4i