[super_eman]

Sea la función 
\( f(x,y)=\begin{Bmatrix}(x+y)sen(\displaystyle\frac{1}{x+y}) & \mbox{ si }& x+y\neq{0}\\0 & \mbox{si}& x+y=0\end{matrix} \)
    a) Probar que f es continua en (0,0). 
    b) ¿Es f diferenciable en (0,0)?.  (ayuda: investigar la existencia de deriv parciales).

[super_eman]

Yo sé que cuando no es continua se busca diferentes aproximaciones para demostrar que el límite no tiene el mismo valor que la función evaluada en ese punto, pero cuando no...no sé como arrancar-GRACIAS

[Capitan Trueno]

La función no es continua, para probarlo basta con acercarte al origen por la recta \( y=x \) Se ve fácilmente que el límite en esa dirección es 1:

\( \displaystyle\lim_{x \to 0}{2x\cdot Sen(1/2x)}=1 \)

Las derivadas parciales no son más que dos límites direccionales muy fáciles de calcular en este caso.

Salu2

[super_eman]

Tengo una duda si la función no es continua, se puede afirmar que no es diferenciable?

[Carlos Ivorra]

La función sí que es continua en \( (0,0) \). Por ejemplo, porque \( |f(x+y)|\leq |x+y| \), para todo punto \( (x,y) \). Como \( \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}x+y=0 \), lo mismo vale para \( f \).

[teeteto]

La función no es continua, para probarlo basta con acercarte al origen por la recta \( y=x \) Se ve fácilmente que el límite en esa dirección es 1:

\( \displaystyle\lim_{x \to 0}{2x\cdot Sen(1/2x)}=1 \)

Las derivadas parciales no son más que dos límites direccionales muy fáciles de calcular en este caso.

Salu2

Cuidado Capitán, el límite que daría 1 es \( 2x/\sen(2x) \).

Ese límite que pones da 0 porque el primer factor tiende a 0 y el segundo está acotado.

[Capitan Trueno]

Uy! es verdad, en que estaría pensando yo.

[super_eman]

Es diferenciable? Porque al aplicar la definición me queda\( \displaystyle\lim_{h \to{+}0}{sen(\displaystyle\frac{1}{h})} \) y ese límite no existe...

[Carlos Ivorra]

Es diferenciable? Porque al aplicar la definición me queda\( \displaystyle\lim_{h \to{+}0}{sen(\displaystyle\frac{1}{h})} \) y ese límite no existe...

Supongo que eso te saldrá al aplicar la definición de derivada parcial, de donde deduces que la función no tiene derivadas parciales en (0,0) y, por consiguiente, que no es diferenciable.

[super_eman]

Entonces, con ese razonamiento basta para decir que la función no es diferenciable en el origen?...Muchas Gracias