[Ignacio Larrosa]

Se tiene  un  \( \triangle  ABC \). En el lado \( \overline{AB} \) se toma un punto \( D \) de manera  que :

1) \( \overline{AD} = \overline{BC} \)

2) \( \angle BCD = 42^\circ{} \)

3) \( \angle ABC = 84^\circ{} \)

Determinar \( \alpha = \angle BAC \)



Saludos
 

[ingmarov]

Hola maestro Ignacio

He pensado por un tiempo este problema, pero no se me ocurre la forma de resolverlo de forma sintética. ¿Nos das alguna pista?

Analíticamente sí llego

Spoiler

Revisando los triángulo podemos llegar a la siguiente ecuación

\( tan(\alpha)=\dfrac{sen(84^{\circ})}{1+\frac{sen(84^{\circ})}{tan(54^{\circ}}} \)

Utilizando calculadora se puede ver que

\( tan(\alpha)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\quad\rightarrow\quad \alpha=30^{\circ} \)

[cerrar]

Saludos

[Ignacio Larrosa]

Hola maestro Ignacio

He pensado por un tiempo este problema, pero no se me ocurre la forma de resolverlo de forma sintética. ¿Nos das alguna pista?

Analíticamente sí llego

Spoiler

Revisando los triángulo podemos llegar a la siguiente ecuación

\( tan(\alpha)=\dfrac{sen(84^{\circ})}{1+\frac{sen(84^{\circ})}{tan(54^{\circ}}} \)

Utilizando calculadora se puede ver que

\( tan(\alpha)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\quad\rightarrow\quad \alpha=30^{\circ} \)

[cerrar]

Saludos

A partir de tu expresión, utilizando que \( \cos 6^\circ{} = \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}\sqrt[ ]{5-\sqrt[ ]{5}}+\sqrt[ ]{3}\left(\sqrt[ ]{5}+1\right)}{8} \), que se puede obtener por aplicación reiterada de las fórmulas para la diferencia y/o el ángulo mitad, se obtiene igualmente el resultado de forma simbólica.

Pero no he encontrado forma de hacerlo sintéticamente. Si llamas \( d \) a la longitud de la ceviana \( CD \), se puede ver aplicando el Teorema de Ptolomeo a un trapecio isósceles de bases \( a\textrm{ y }c \), y lados no paralelos iguales a \( a \), con diagonales iguales a \( d,\textrm{ que }d^2 = c(c - a) \), pero no parece que sea de mucha ayuda.

Supongo que la solución viene por añadir segmentos que formen triángulos equiláteros, o isósceles, o semejantes a otros ... Pero como digo, de momento no lo veo. A ver si a alguien se le ocurre como.

Saludos,

[Ignacio Larrosa]

Pues ahí va la solución, basada en la aportada por Cantoriano en es.ciencia.matematicas:

Spoiler

El punto \( H \) es el centro de un polígono regular de \( 30 \) lados, tres de cuyos vértices son \( A \), \( C \) y \( G \), y del que la mayoría de líneas trazadas son diagonales.

Trigonométricamente ya se vió en mensajes anteriores como resolverlo.

[cerrar]

Saludos,