Rincón Matemático
Matemática => Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales => Lógica => Mensaje iniciado por: Elius en 03 Agosto, 2020, 02:53 am
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La lista de Yablo1 puede reescribirse como una sola sentencia sin alteración
semántica:
∀i ∀j Si ⟺ ∀ji [ ji > i ⟹ S ji is untrue ]
Reemplazando S2 por su definición:
S1: ∀ ji j.1 > 1 ⟹ [ ∀ j2 j2 > 2 ⟹ S j2 is untrue ] is untrue ∧
∧ ∀i [ i>2 ⟹ ∀ji ji > i ⟹ S ji is untrue ]
El corchete inicial puede reemplazarse, usando la tautología
P ⟹ Q ⟺ ~P ∨ Q, por
∀ j2 j2 >2 is untrue ∨ S j2
que por el calificativo untrue que lo precede, aplicando las leyes de De Morgan,
resulta en:
∀ j2 j2 >2 ∧ S j2 is untrue
S1: ∀ ji j.1 > 1 ⟹ [ ∀ j2 j2 >2 ∧ S j2 is untrue] is untrue ∧
∧ ∀i [ i>2 ⟹ ∀ji ji > i ⟹ S ji is untrue ]
Si continuamos la eliminación:
S1: ∀ ji ji > 1 ⟹ [ ∀ j2 j2 > 2 ∧ ∀ j3 j3 > 3 ∧ … ∧ ∀ jn jn > n ∧ …
S1: ∀i ∀ ji j.1 > 1 ⟹ ∀ ji ji > i
Esta sustitución generalizada puede ser demostrada por inducción.
1 La lista de Yablo se consigna al final.
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Esta sentencia afirma que todos los números son mayores que 2, y que todos los
números son mayores que 3, y así siguiendo. Es obviamente falsa, pues hay números
que menores que el límite impuesto en cada conjunción. Pero no es posible deducir
ninguna contradicción a partir de ella.