[Scofield]

Buenas, hoy estaba jugando a póker y dado que me encanta intentar calcular probabilidades de distintos sucesos en el juego, se me ha ocurrido una situación de la que la gente se suele quejar y a mi no me ha parecido tan complicado que se de.
El caso es que el chico  tenía Q8, por ejemplo, y en la mesa aparecía "2 J 7 3 4". Entonces se quejaba de que en la mesa aparecían la J(alrededor de la Q) y el 8(alrededor del 7). También se habría quejado si la mano hubiera sido "2 K 9 3 4" por estar la K(alrededor de la Q) y el 9(alrededor del 8).

Otros ejemplos  48 -> 3 7 Q J A, 5 9 J Q K
                       Q10 ->J K 2 4 8

Entonces el problema es, ¿qué probabilidad hay de que ocurra esto, es decir, de que aparezcan justo 2 cartas que estén inmediatamente antes o después de las que tú tienes? Lo he intentado abordar pero estoy seguro de que erróneamente.
(he puesto justo 2 cartas, porque si se hace con 3 o más lo "normal" sería obtener escalera y entonces no habría queja, aunque podrían darse configuraciones, por ejemplo si tienes 37 y en la mesa aparece 2 4 6 8 J, son hasta 4 cartas alrededor)

Un saludo!

[geómetracat]

Es un poco lioso calcular las probabilidades porque depende de si en la mano inicial de dos cartas las cartas son consecutivas o hay un número de separación entre ellas, o tienen el mismo número, etc.

Te calculo la probabilidad para una mano inicial en la que los números dos cartas iniciales están separadas por al menos dos números, que es el caso más sencillo porque los cuatro números contiguos a los de la mano inicial son todos distintos. Esto se aplica por ejemplo a la mano inicial Q8, pero no a la JQ o a la 10Q. También supongo que hay un solo jugador, es decir, se te reparten 2 cartas y luego se sacan las cinco a la vista.

Editado: Efectivamente estaba mal calculado. Pongo la parte del mensaje anterior que estaba mal en spoiler y pongo después el cálculo bien hecho.

Spoiler

En este caso, si suponemos que te han repartido dos cartas y se sacan 5 a la vista de las 50 que quedan en la baraja, la probabilidad de que salgan dos contiguas a las dos que ya tenías sería, si no me he equivocado (que es posible):
\[ P=\frac{\binom{8}{1} \binom{8}{1} \binom{48}{3}}{\binom{50}{5}} \approx 0.5224 \]

La lógica es que en este caso para tener éxito (hay cartas contiguas a las dos iniciales) debe salir una de las ocho contiguas a la primera carta (2 números contiguos por cuatro palos), otra de las 8 contiguas a la segunda carta, y de las 48 que te quedan 3 cualesquiera.

Así que ya ves, en esta situación pasará lo que dices algo más de la mitad de las veces.

[cerrar]

Para calcularlo podemos considerar los sucesos:
\( A= \) sale un número contiguo al primer número de la mano,
\( B= \) sale un número contiguo al segundo número de la mano.

Lo que queremos es \( P(A \cap B) = P(A)+P(B) - P(A \cup B) \),
y usando \( P(A)=1-P(\overline{A}) \), \( P(B)=1-P(\overline{B}) \), y \( P(A \cup B)=1-P(\overline{A}\cap \overline{B}) \) se puede calcular que:
\[ P(A \cup B) = 2\left(1- \frac{\binom{50-8}{5}}{\binom{50}{5}}\right) - \left(1-\frac{\binom{50-16}{5}}{\binom{50}{5}}\right) \approx 0.328\dots  \]

Así que pasa un \( 32,8 \% \) de las veces.

[Scofield]

Es un poco lioso calcular las probabilidades porque depende de si en la mano inicial de dos cartas las cartas son consecutivas o hay un número de separación entre ellas, o tienen el mismo número, etc.

Te calculo la probabilidad para una mano inicial en la que los números dos cartas iniciales están separadas por al menos dos números, que es el caso más sencillo porque los cuatro números contiguos a los de la mano inicial son todos distintos. Esto se aplica por ejemplo a la mano inicial Q8, pero no a la JQ o a la 10Q. También supongo que hay un solo jugador, es decir, se te reparten 2 cartas y luego se sacan las cinco a la vista.

Editado: Efectivamente estaba mal calculado. Pongo la parte del mensaje anterior que estaba mal en spoiler y pongo después el cálculo bien hecho.

Spoiler

En este caso, si suponemos que te han repartido dos cartas y se sacan 5 a la vista de las 50 que quedan en la baraja, la probabilidad de que salgan dos contiguas a las dos que ya tenías sería, si no me he equivocado (que es posible):
\[ P=\frac{\binom{8}{1} \binom{8}{1} \binom{48}{3}}{\binom{50}{5}} \approx 0.5224 \]

La lógica es que en este caso para tener éxito (hay cartas contiguas a las dos iniciales) debe salir una de las ocho contiguas a la primera carta (2 números contiguos por cuatro palos), otra de las 8 contiguas a la segunda carta, y de las 48 que te quedan 3 cualesquiera.

Así que ya ves, en esta situación pasará lo que dices algo más de la mitad de las veces.

[cerrar]

Para calcularlo podemos considerar los sucesos:
\( A= \) sale un número contiguo al primer número de la mano,
\( B= \) sale un número contiguo al segundo número de la mano.

Lo que queremos es \( P(A \cap B) = P(A)+P(B) - P(A \cup B) \),
y usando \( P(A)=1-P(\overline{A}) \), \( P(B)=1-P(\overline{B}) \), y \( P(A \cup B)=1-P(\overline{A}\cap \overline{B}) \) se puede calcular que:
\[ P(A \cup B) = 2\left(1- \frac{\binom{50-8}{5}}{\binom{50}{5}}\right) - \left(1-\frac{\binom{50-16}{5}}{\binom{50}{5}}\right) \approx 0.328\dots  \]

Así que pasa un \( 32,8 \% \) de las veces.

Muchísimas gracias por la respuesta. Yo a priori pensaba que sería lo "normal", es decir, cuando he leído tu primera respuesta pensaba que lo confirmaba, pero la 2da me ha roto un poco. De todas formas pensándolo mejor me parece muy lógico también ese resultado..

[geómetracat]

Sí, además este está bien seguro porque he hecho una pequeña simulación en Python y el resultado cuadra.

De todas maneras piensa que aquí estamos suponiendo un solo jugador. Si por ejemplo sois 4, la probabilidad de que haya dos cartas de las cinco a la vista que sean contiguas a las dos cartas de algún jugador será más alta.

Para calcular probabilidades de sucesos más complejos (por ejemplo, probabilidades para varios jugadores o sin restricciones a cómo estén dispuestas las dos cartas iniciales) es buena idea hacer un programa que te dé la probabilidad aproximada.

[Scofield]

Sí, además este está bien seguro porque he hecho una pequeña simulación en Python y el resultado cuadra.

De todas maneras piensa que aquí estamos suponiendo un solo jugador. Si por ejemplo sois 4, la probabilidad de que haya dos cartas de las cinco a la vista que sean contiguas a las dos cartas de algún jugador será más alta.

Para calcular probabilidades de sucesos más complejos (por ejemplo, probabilidades para varios jugadores o sin restricciones a cómo estén dispuestas las dos cartas iniciales) es buena idea hacer un programa que te dé la probabilidad aproximada.

La mesa es de 9 jugadores siempre, la probabilidad de 0.328 sería más alta en ese caso?

[geómetracat]

Sí, pero solo la probabilidad de que alguno de los 9 jugadores tenga cartas contiguas en las cinco a la vista. Esta sí sería más alta.

En cambio, la probabilidad de que un jugador en concreto (por ejemplo, tú) tenga cartas contiguas con las cinco a la vista sería la misma: 0.328 (bajo el supuesto que habíamos hecho de que los números de las dos cartas están a distancia al menos dos).