[Constanza]

Hola a todos, no se como resolver este ejercicio:

Sea \(  F_{n+3}= F_{n+1} + F_n  \) y \(  F_0=F_1=F_2=1  \). Encuentre la ecuación característica, la expansión en potencias y la función generadora.

Lo que llevo hasta ahora es la ecuación característica \(  x^3-x-1=0  \) y sus raíces \(  x_1=1.32472, x_{2,3}=-0.66236\pm{}0,56228i  \), pero que sean complejas me confunde y sinceramente no sé que mas hacer.

Gracias

[Fernando Revilla]

  Bienvenida al foro.

Hola a todos, no se como resolver este ejercicio:
Sea \(  F_{n+3}= F_{n+1} + F_n  \) y \(  F_0=F_1=F_2=1  \). Encuentre la ecuación característica, la expansión en potencias y la función generadora.
Lo que llevo hasta ahora es la ecuación característica \(  x^3-x-1=0  \) y sus raíces \(  x_1=1.32472, x_{2,3}=-0.66236\pm{}0,56228i  \), pero que sean complejas me confunde y sinceramente no sé que mas hacer.

Dos cuestiones:

1. Si la sucesión recurrente es tal cual te la han dado existe un teorema que seguro conocerás que resuelve el problema pero cuya solución en forma cerrada es terriblemente desagradable en nuestro caso.
2. Los números de tribonacci, se definen como \(  F_{n+3}= F_{n+2} +F_{n+1} +F_n  \) (no como los has escrito) y \(  F_0,F_1,F_2  \) dados.

Quizás deberías definir el contexto de tu pregunta. Me encaja más en un trabajo de investigación que en un examen. Mira los siguientes enlaces

        https://encyclopediaofmath.org/wiki/Tribonacci_sequence
        https://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Tribonacci_number

[Constanza]

  Bienvenida al foro.

Hola a todos, no se como resolver este ejercicio:
Sea \(  F_{n+3}= F_{n+1} + F_n  \) y \(  F_0=F_1=F_2=1  \). Encuentre la ecuación característica, la expansión en potencias y la función generadora.
Lo que llevo hasta ahora es la ecuación característica \(  x^3-x-1=0  \) y sus raíces \(  x_1=1.32472, x_{2,3}=-0.66236\pm{}0,56228i  \), pero que sean complejas me confunde y sinceramente no sé que mas hacer.

Dos cuestiones:

1. Si la sucesión recurrente es tal cual te la han dado existe un teorema que seguro conocerás que resuelve el problema pero cuya solución en forma cerrada es terriblemente desagradable en nuestro caso.
2. Los números de tribonacci, se definen como \(  F_{n+3}= F_{n+2} +F_{n+1} +F_n  \) (no como los has escrito) y \(  F_0,F_1,F_2  \) dados.

Quizás deberías definir el contexto de tu pregunta. Me encaja más en un trabajo de investigación que en un examen. Mira los siguientes enlaces

        https://encyclopediaofmath.org/wiki/Tribonacci_sequence
        https://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Tribonacci_number

Que raro, hace un par de dias tuve un examen y no logré realizar este ejercicio y lo anoté exactamente como aparecía.

Muchas gracias de todas formas

[Fernando Revilla]

Que raro, hace un par de dias tuve un examen y no logré realizar este ejercicio y lo anoté exactamente como aparecía. Muchas gracias de todas formas

Bien, el planteamiento del problema es tan simple como el siguiente: dado que la ecuación \( x^3-x-1=0 \) tiene una solución real \( x_1 \) y las complejas conjugadas \( x_2=a+bi \), \( x_3=a-bi \) con \( b>0 \) la solución general de la ecuación en diferencias es por un conocido teorema:

        \( F_n=C_1x_1^n+\rho^n(C_2\cos n\theta +C_3\sen n\theta),\quad \rho=\sqrt{a^2+b^2},\; \theta=\arctan \displaystyle\frac{b}{a}. \)

Entonces ¿quiere el examinador que se den soluciones cerradas? Si es así, se puede pero las soluciones son tan desagradables que no sería razonable valorar al examinado por tamañas cuestiones técnicas. Si el examinador permite soluciones aproximadas ¿qué teoría de cálculo numérico se admite?

Conclusión: no tengo todos los datos para captar el espíritu de lo que se pide. Podrías, si quieres, "comentar los posibles comentarios" de tu profesor al respecto. Ardo en deseos .   

[Luis Fuentes]

Hola

Hola a todos, no se como resolver este ejercicio:

Sea \(  F_{n+3}= F_{n+1} + F_n  \) y \(  F_0=F_1=F_2=1  \). Encuentre la ecuación característica, la expansión en potencias y la función generadora.

Lo que llevo hasta ahora es la ecuación característica \(  x^3-x-1=0  \) y sus raíces \(  x_1=1.32472, x_{2,3}=-0.66236\pm{}0,56228i  \), pero que sean complejas me confunde y sinceramente no sé que mas hacer.

Si nos ceñimos a las preguntas:

- La ecuación característica es esta: \(  x^3-x-1=0  \).
- La "expansión en potencias" no estoy seguro a que se refiere.
- La función generadora es la serie de potencias que tiene como coeficiente la sucesión dada:

\( f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{}F_nx^n \)

Multiplicando por \( x^{n+3} \) y aplicando el sumatorio en:

\( F_{n+3}=F_{n+1}+F_n \)

se tiene:

\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{}F_{n+3}x^{n+3}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{}F_{n+1}x^{n+3}+\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{}F_{n}x^{n+3} \)

\( f(x)-F_0-F_1x-F_2x^2=x^2(f(x)-F_1)+x^3f(x) \)
\( f(x)-1-x-x^2=x^2f(x)-x^2+x^3f(x) \)
\( f(x)-x^2f(x)-x^3f(x)=1+x \)

de donde:

\( f(x)=\dfrac{1+x}{1-x^2-x^3} \)

Saludos.

[Fernando Revilla]

- La "expansión en potencias" no estoy seguro a que se refiere.

Di por supuesto que se refería a \( F_n=C_1x_1^n+\rho^n(C_2\cos n\theta +C_3\sen n\theta),\quad \rho=\sqrt{a^2+b^2},\; \theta=\arctan \displaystyle\frac{b}{a}. \)