Hola
Hola.
\( A^3+ B^3 = (A+B) ((A+B)^2-3AB) \). Trato o tratamos de encontrar el porque de que A y B compartan factor común. En este caso concreto, \( A^3+ B^3 = (A+B) ((A+B)^2-3AB) \), para cumplir conjetura, \( (A+B) ((A+B)^2-3AB) \) es potencia. Si no es potencia no hablamos de la Conjetura de Beal.
Si de acuerdo. Estamos bajo el supuesto de que:
\( (A+B) ((A+B)^2-3AB)=C^m \)
para algún \( C \) sin factores primos comunes con \( A \) y \( B \) y queremos ver que eso es imposible; que nos lleva a una contradicción. Si eres capaz de probar tal imposibilidad tendríamos demostrada la conjetura de Beal (al menos el caso particular de exponente \( 3 \) de los dos primeros enteros).
Lo que pasa que hasta ahora no has sido capaz en absoluto de probar tal imposibildiad.
Nos guste o no nos guste, \( (A+B) ((A+B)^2-3AB) \) esta expresión, hablamos de la Conjetura de Beal, al adoptar forma de potencia, si o si, el factor \( (A+B) \) esta.
¿Qué tipo de argumento matemático es "si o si?. No obstante
si entendemos bien la afirmación estoy de acuerdo con ella. De manera precisa:
i) Dado que \( A \) y \( B \) son coprimos, es fácil ver que \( (A+B) \) y \( ((A+B)^2-3AB) \) también son coprimos.
ii) Por otro lado por el teorema fundamental de la aritmética \( C \) se puede escribir como producto de primos:
\( C=\underbrace{p_1^{k_1}\ldots p_s^{k_2}}_{C_1}\underbrace{q_1^{n_1}\ldots q_s^{n_s}}_{C_2} \)
de esos primos unos serán factores de \( (A+B) \) (les he llamado \( p_i \)) y otros de \( ((A+B)^2-3AB) \) (les he llamado \( q_i \))
y por tanto:
De (i) y (ii) se deduce que:
\( (A+B)((A+B)^2-3AB)=C^m=(C_1)^m(C_2)^m \)
con \( C_1^m=A+B \) y \( C_2^m=((A+B)^2-3AB) \).
Por lo tanto, solo puede adoptar una de estas formas.
a. \( (A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)^m \).
Esa primera forma correspondería ya queda claro de lo que he dicho antes que no puede darse (a no ser que \( m=1 \))
b. \( (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n) \).
Está segunda forma tampoco. Sólo si \( n=1 \).
Es decir en ningún caso aparece en \( C^m \) el factor \( (A+B) \) elevado a una potencia mayor que uno.
Si puede darse sin embargo el caso que indico. Y no has sido capaz de demostar que es imposible (¡yo tampoco soy capaz, eh, qué si fuese tendría una prueba de la conjetura de Beal y ni la tengo ni aspiro a tenerla!).
Suponiendo que \( A \) y \( B \) son coprimos, es decir, sin factores primos comunes, (\( A+B \) y \( ((A+B)^2-3AB) \) también son coprimos) lo que se deduce de que \( (A+B) ((A+B)^2-3AB)=C^m \) sea potencia es que \( C \) se debe de descomponer \( C=C_1C_2 \) en dos factores coprimos \( C_1 \) y \( C_2 \) de manera que:
\( A+B=C_1^m \)
\( (A+B)^2-3AB=C_2^m \)
l
Opción que no he profundizado. ¿Puede usted facilitarnos algún ejemplo que cumpla con \( C^m \)?
No te entiendo. ¿Un ejemplo exactamente de qué y en qué condiciones?. Desde luego no puedo ponerte un ejemplo de \( (A+B) ((A+B)^2-3AB)=C^m \) con \( A,B,C \) coprimos porque entonces tendría un contraejemplo a la conjetura de Beal y probaría que es falsa; como es lógico no tengo tal contraejemplo. Nadie lo ha encontrado. Pero eso no prueba la conjetura, pero si hace sospechar a todo el mundo que es cierta.
Saludos.
