[manooooh]

Hola!

Demostrar o dar un contraejemplo:

Sean \( R,S \) dos relaciones de orden en \( A \). Entonces si \( R\subseteq S \) y \( S \) es orden parcial (OP), entonces \( R \) es OP.

Nosotros vamos a considerar que un orden es parcial cuando NO es total. Por otro lado, los órdenes (u órdenes amplios) pueden ser parciales o totales.


Intuyo que es Verdadero.

Un OP es una relación de orden, o sea que un OP debe cumplir solamente las 3 propiedades: reflexiva, antisimétrica y transitiva, ¿verdad?

En ese caso, hay que probar que \( R \) es:

1) Reflexiva.
2) Antisimétrica.
3) Transitiva.

1) \( \forall(x,x)\in A\colon(x,x)\in S \) por ser \( S \) un OP, en particular reflexiva.

Por definición de relación inversa, \( (x,x)\in S^{-1} \).

Como \( R\subseteq S \) es equivalente a \( S^{-1}\subseteq R^{-1} \) (*), luego \( (x,x)\in R^{-1} \).

¿Esto es cierto siempre? ¿Cómo se demuestra?

Finalmente, por definición de relación inversa, \( (x,x)\in R \), que es lo que queríamos demostrar.

2) Debemos demostrar: \( \forall x,y\in A\colon(x,y)\in R\land(y,x)\in R\implies x=y \).

En efecto, si \( (x,y)\in R\land(y,x)\in R \), como \( R\subseteq S \), \( (x,y)\in S\land(y,x)\in S \), y al ser \( S \) antisimétrica, \( x=y \).

3) Debemos ver que: \( \forall x,y,z\in A\colon(x,y)\in R\land(y,z)\in R\implies(x,z)\in R \).

Si \( (x,y)\in R\land(y,z)\in R \), como \( R\subseteq S \), \( (x,y)\in S\land(y,z)\in S \), y al ser \( S \) transitiva, \( (x,z)\in S \).

Luego \( (z,x)\in S^{-1} \). Luego por (*), se tiene que \( (z,x)\in R^{-1} \), de donde \( (x,z)\in R \).

¿Está bien?

Gracias!!
Saludos

AGREGADO. Me acaban de aclarar esto, me parece que va en contra de la gran mayoría de autores pero nos debemos ceñir a esa definición.

[manooooh]

Hola

Creo que lo tengo.

Supongamos por reducción al absurdo que \( R \) NO es orden parcial (es orden total). Luego se verifica que \( xRy\vee yRx \) para todo \( x,y\in A \). Como está incluido en \( S \), \( xSy\vee ySx \), que contradice el hecho de que \( S \) sea orden parcial.

¿Está bien?

Saludos

[geómetracat]

Supongamos por reducción al absurdo que \( R \) NO es orden parcial (es orden total). Luego se verifica que \( xRy\vee yRx \) para todo \( x,y\in A \). Como está incluido en \( S \), \( xSy\vee ySx \), que contradice el hecho de que \( S \) sea orden parcial.

¿Está bien?

Sí, está bien.

Lo que haces en el primer mensaje no lo entiendo. No tienes que demostrar que \( R \) es una relación de orden, pues ya te lo dicen como hipótesis. Y además, es falso que si \( S \) es una relación de orden y \( R \subseteq S \) entonces \( R \) es de orden. Por ejemplo, considera como \( R \) la relación vacía, que está contenida en cualquier otra relación pero no es de orden si \( A \neq \emptyset \).

En lo que pones, es falso que \( R \subseteq S \) sea equivalente a \( S^{-1} \subseteq R^{-1} \). De hecho, lo que es cierto es que \( R \subseteq S \) es equivalente a \( R^{-1}\subseteq S^{-1} \). En efecto, si suponemos \( R \subseteq S \) tenemos que \( (x,y)\in R^{-1} \) implica \( (y,x)\in R \subseteq S \) luego \( (x,y)\in S^{-1} \). Luego tenemos que \( R^{-1}\subseteq S^{-1} \). La otra implicación se prueba igual.