[energy]

Demostrar que:

Sea \( A\subset{\mathbb{R}^n} \) y \( B=\left\{{x\in{\mathbb{R}^n}"\exists{y\in{A}}"d(x,y)<1, y }\right\} \) Demostrar que B es abierto, veo que son como recubrimientos del conjunto A que lo hacen abierto, y veo que para elegir el radio tomar un mínimo pero no veo mucho por que radio tengo que ir.

Demostrar que :

\( A+B=\left\{{x+y\in{\mathbb{R}^n}:x\in{A},y\in{B}}\right\}
 \) es abierto
con A y B subconjuntos de R^n, aquí no se ni por donde empezar, necesitaria una pista.

[Héctor Manuel]

Para el primero, haz un dibujo en \( \mathbb{R}^2 \) y confía en tu intuición. (Pista: toma la distancia del punto al conjunto y divídela entre dos)

Para el segundo, creo que no escribiste el enunciado completo.


Saludos.

[energy]

Gracias, era demostrar que es abierto, voya pensar el primero

[Héctor Manuel]

Es que el segundo, tal como lo has puesto, es falso.

Saludos.

[energy]

Perdón, con A abierto. Y en el primero no se como formalizar la distancia del punto al conjunto, pongo mín {d(x,y), x en B e y en A}

[Luis Fuentes]

Hola

Perdón, con A abierto. Y en el primero no se como formalizar la distancia del punto al conjunto, pongo mín {d(x,y), x en B e y en A}

No hay que usar ningún mínimo.

En realidad hay una forma inmediata de probar lo que te piden si ya te han explicado y puedes usar la probiedad que afirma que la unión de abiertos es abierta.

Basta que compruebes entonces que:

\( B=\displaystyle\bigcup_{x\in A}B(x,1) \)

donde \( B(x,1) \) es la bola abierta de centro \( x \) y radio \( 1 \).

Si quieres hacerlo de otra forma ten en cuenta que dado \( y\in B \) existe \( x\in A \) tal que \( r=d(x,y)<1 \). Comprueba entonces que \( B(y,1-r)\subset B \) a través de la desigualdad triangular:

\( d(z,x)\leq d(z,y)+d(y,x) \)

Para el segundo comprueba primero que el conjunto:

\( A+y=\{x+y|y\in A\} \)

es abierto (por distancias y bolas ó usando el homeomorfismo\(  f:R^n\longrightarrow{}R^n, \quad f(x)=x+y \)).

Después utiliza de nuevo que la unión de abiertos es abierta y:

\( A+B=\displaystyle\bigcup_{y\in B}A+y \)

Saludos.