[cristianoceli]

Hola, necesito ayuda con estos dos ejercicio si me explican el primero creo que podré hacer los siguientes que son parecidos.

Asignar un valor, cuando sea posible, (a) al área de la región R, y (b) al volumen del sólido S que se obtiene al girar R alrededor del eje X.

a) \( R= \{ (x,y) / 0 \leq{x} \leq{1} , 0 \leq{y} \leq{\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{x}}}   \}    \)
b) \( R= \{ (x,y) / 0 \leq{x} \leq{1} , 0 \leq{y} \leq{\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ 3]{x}}}   \}    \)

De verdad no entiendo muy bien la función.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Pero el ejercicio es muy standard. En general si tienes una función \( f:(0,1]\longrightarrow{}R \) positiva, la región:

\(  R=\{(x,y)|0\leq x\leq 1,\quad 0\leq y\leq f(x)\} \)

 es la región del plano comprendida entre las curvas \( x=0,\quad x=1,\quad y=0,\quad y=f(x) \).

 Su área es la integral:

\(  \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx \)

 La del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje \( OX \) es:

\(  \pi \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)^2dx \)

 El pequeño matiz en tu caso es estudiar con cuidado si las integrales implicadas existen, ya la función que se integra no es acotada.

Saludos.

[cristianoceli]

Hola

 Pero el ejercicio es muy standard. En general si tienes una función \( f:(0,1]\longrightarrow{}R \) positiva, la región:

\(  R=\{(x,y)|0\leq x\leq 1,\quad 0\leq y\leq f(x)\} \)

 es la región del plano comprendida entre las curvas \( x=0,\quad x=1,\quad y=0,\quad y=f(x) \).

 Su área es la integral:

\(  \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx \)

 La del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje \( OX \) es:

\(  \pi \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)^2dx \)

 El pequeño matiz en tu caso es estudiar con cuidado si las integrales implicadas existen, ya la función que se integra no es acotada.

Saludos.

Muchas gracias el_manco si el ejercicio ubiera dicho al área de la región R, y (b) al volumen del sólido S que se obtiene al girar R alrededor del eje Y. ¿Ubiese sido conveniente ocupar el método de las arandelas y no el de los discos como tu lo has ocupado?

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Muchas gracias el_manco si el ejercicio ubiera dicho al área de la región R, y (b) al volumen del sólido S que se obtiene al girar R alrededor del eje Y. ¿Ubiese sido conveniente ocupar el método de las arandelas y no el de los discos como tu lo has ocupado?

Pero en realidad el método de las arandelas no es más que usar dos veces el de los discos. No obstante en este caso no es necesario.

La región \( R \) puede escribirse como:

\( R=\{(x,y)|1\leq y<\infty,\quad 0<x<\dfrac{1}{y^2}\} \)

El volumen de revolución al girar alrededor del eje \( OY \) sería:

\( \pi\displaystyle\int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{y^4}dy \)

Saludos.

[cristianoceli]

Hola

Muchas gracias el_manco si el ejercicio ubiera dicho al área de la región R, y (b) al volumen del sólido S que se obtiene al girar R alrededor del eje Y. ¿Ubiese sido conveniente ocupar el método de las arandelas y no el de los discos como tu lo has ocupado?

Pero en realidad el método de las arandelas no es más que usar dos veces el de los discos. No obstante en este caso no es necesario.

No tenia idea que el método de las arandelas es aplicar dos veces el de los discos  . Todos los días se aprende algo nuevo.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

No tenia idea que el método de las arandelas es aplicar dos veces el de los discos  . Todos los días se aprende algo nuevo.

Pero simplemente ten en cuenta que una arandela puede construirse tomando un disco y retirando de su interior otro disco más pequeño; en términos de áreas, restando el área de dos discos concéntricos.

Saludos.