\( v=\dfrac{e}{t} \), eso es cierto. Sin embargo, si consideramos un espacio de tiempo muy chiquitito... t -> 0...instantáneo:
\( v=\displaystyle\lim_{t \to 0}{\dfrac{e}{t}}=\dfrac{de}{dt} \)
Es la derivada. Te recomiendo que "comprendas y entiendas" el concepto de derivada, y entenderlo es poder expresar cosas como derivadas sin tener que hacer el límite ni nada, simplemente por la idea de derivada, igual que pones \( 3^4 \) sin tener que sumar 3, 3 veces, y hacer esto mismo cuatro veces
Partiendo de eso, despejas el espacio "de" e integras ambos miembros de la ecuación, como te han indicado más arriba. Puedes hacerlo como te ha indicado Fernando Revilla, con una integral indefinida, o con una definida. Yo prefiero hacerlo con definidas, que hace que uno comprenda (al menos, yo) el problema mejor
así:
\( \displaystyle\int_{e=0}^{e=S}de=\displaystyle\int_{t=0}^{t=4}(4t+1)dt \)
\( S=[\dfrac{4t^2}{2}+t]|_{t=0} ^{t=4} \)
¿Entiendes esta integración? Integro ambos miembros desde cuando aún no he empezado (t=0) y aún no he recorrido nada (e=0)...
...hasta cuando he recorrido S (nuestra incógnita, e=S) y llevo 4 segundos (t=4). Es cuestión de poner cada límite de integración acorde y en armonía entre los dos miembros: t=0, e=0; e=S, t=4. Es como, ¿qué ocurre cuando t=0? que e=0. ¿Y cuando t=4? que e=S. Distintas formas de ver lo mismo
Remarco la idea de que es importantísimo que domines el concepto de derivada. Derivar, sabe cualquiera
Con saberse las reglas, hasta mi hermano pequeño puede derivar...
... Entender lo que es la derivada, no. Te recomiendo graficarte muuchas funciones, ver la derivada, ver que es la pendiente de la recta tangente y todas las cosas que te han enseñado sobre ella, pero comprendiéndolo totalmente. Y extrapolándolo a la física, a ver si puedes
