[Dark]

Tengo la siguiente duda: una subsucesión de una sucesión de Cauchy es también de Cauchy?

Yo creería que si porque dado que una subsucesión de una sucesión es simplemente una selección de términos de la sucesión original en un orden diferente, los términos de la subsucesión también deben acercarse entre sí a medida que aumentan los índices, lo que significa que también forman una sucesión de Cauchy.

[Masacroso]

Tengo la siguiente duda: una subsucesión de una sucesión de Cauchy es también de Cauchy?

Yo creería que si porque dado que una subsucesión de una sucesión es simplemente una selección de términos de la sucesión original en un orden diferente, los términos de la subsucesión también deben acercarse entre sí a medida que aumentan los índices, lo que significa que también forman una sucesión de Cauchy.

Sí, es cierto. Prueba a demostrarlo, no es nada difícil, sólo que tienes que tener una definición clara (formal) de lo que es una subsucesión que te voy a dejar aquí para que intentes la demostración: se dice que \( \{y_k\}_{k\in\mathbb{N}} \) es una subsucesión de \( \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) cuando existe una función estrictamente creciente \( \varphi :\mathbb{N}\to \mathbb{N} \) tal que \( y_k=x_{\varphi (k)} \) para todo \( k\in \mathbb{N} \).

En este contexto es usual denotar \( \varphi (k) \) como \( n_k \) o \( n(k) \).

[Dark]

Supongamos que tenemos una sucesión de Cauchy $$(x_n)$$ y consideramos una subsucesión $$(x_{n_k})$$.

Dado que $$(x_n)$$ es una sucesión de Cauchy, para cualquier $$\varepsilon > 0$$, existe un número natural $$N$$ tal que para todo par de índices naturales $$m, n > N$$, se cumple que $$d(x_m, x_n) < \varepsilon$$.

Ahora, como $$(x_{n_k})$$ es una subsucesión de $$(x_n)$$, podemos decir que cada término  de la subsucesión $$x_{n_k}$$  es uno de los términos de $$(x_n)$$. Por lo tanto, si seleccionamos dos índices $$n_k, n_l > N$$ para la subsucesión, entonces los correspondientes términos $$x_{n_k}$$ y $$x_{n_l}$$ también están más allá del índice $$N$$ en la sucesión original.

Entonces, podemos concluir que $$d(x_{n_k}, x_{n_l}) < \varepsilon$$.

[Masacroso]

Supongamos que tenemos una sucesión de Cauchy $$(x_n)$$ y consideramos una subsucesión $$(x_{n_k})$$.

Dado que $$(x_n)$$ es una sucesión de Cauchy, para cualquier $$\varepsilon > 0$$, existe un número natural $$N$$ tal que para todo par de índices naturales $$m, n > N$$, se cumple que $$d(x_m, x_n) < \varepsilon$$.

Ahora, como $$(x_{n_k})$$ es una subsucesión de $$(x_n)$$, podemos decir que cada término  de la subsucesión $$x_{n_k}$$  es uno de los términos de $$(x_n)$$. Por lo tanto, si seleccionamos dos índices $$n_k, n_l > N$$ para la subsucesión, entonces los correspondientes términos $$x_{n_k}$$ y $$x_{n_l}$$ también están más allá del índice $$N$$ en la sucesión original.

Entonces, podemos concluir que $$d(x_{n_k}, x_{n_l}) < \varepsilon$$.

 

Casi perfecta la demostración, diría que habría que asegurar que tales \( n_k,n_l>N \) existen. Es decir, implícitamente en la demostración se hace uso de la función \( \varphi  \) de la definición formal de subsucesión que dejaba antes cuando se dice implícitamente que se pueden tomar tales \( n_k,n_l>N \) para un \( N\in \mathbb{N} \) arbitrariamente grande.