[Albersan]

Hola ¿qué tal?

Tengo algunas dudas, con respecto al cálculo de integrales por medio del teorema del residuo. A ver si por favor me pueden ayudar.

Utilice el teorema del residuo de Cauchy, para calcular \( \displaystyle\int_C{}^{}\displaystyle\frac{tan(z)}{z}dz \),  con  \( C:\,|z-1|=2 \).

Como    \( \displaystyle\frac{tan(z)}{z}=\displaystyle\frac{sen(z)}{z}\cdot{\displaystyle\frac{1}{cos(z)}} \)     y    \( cos(z)=0 \) en \( z=(2n+1)\displaystyle\frac{\pi}{2} \)  con \( n=0,\pm{1},\pm{2},.... \).
En la región indicada, sólamente en \( z=\displaystyle\frac{\pi}{2} \) existe un polo de orden \( 1 \) de \( \displaystyle\frac{tan(z)}{z} \).

1)  \( Res(tan(z)/z,\pi/2)=\displaystyle\lim_{z \to{\displaystyle{\pi}/2}}{(z-\displaystyle\frac{\pi}{2}})\displaystyle\frac{sen(z)}{z\cdot{cos(z)}} \). ¿Me pueden ayudar a resolver este límite?

2)  ¿Cómo puedo saber qué tipo de singularidad aislada es \( 0 \), sin desarrollar \( \displaystyle\frac{tan(z)}{z} \) en serie de Laurent?

Gracias.

[ingmarov]

Hola

Hola ¿qué tal?


Tengo algunas dudas, con respecto al cálculo de integrales por medio del teorema del residuo. A ver si por favor me pueden ayudar.

Utilice el teorema del residuo de Cauchy, para calcular \( \displaystyle\int_C{}^{}\displaystyle\frac{tan(z)}{z}dz \),  con  \( C:\,|z-1|=2 \).


Como    \( \displaystyle\frac{tan(z)}{z}=\displaystyle\frac{sen(z)}{z}\cdot{\displaystyle\frac{1}{cos(z)}} \)     y    \( cos(z)=0 \) en \( z=(2n+1)\displaystyle\frac{\pi}{2} \)  con \( n=0,\pm{1},\pm{2},.... \).
En la región indicada, sólamente en \( z=\displaystyle\frac{\pi}{2} \) existe un polo de orden \( 1 \) de \( \displaystyle\frac{tan(z)}{z} \).

1)  \( Res(tan(z)/z,\pi/2)=\displaystyle\lim_{z \to{\displaystyle{\pi}/2}}{(z-\displaystyle\frac{\pi}{2}})\displaystyle\frac{sen(z)}{z\cdot{cos(z)}} \). ¿Me pueden ayudar a resolver este límite?

2)  ¿Cómo puedo saber qué tipo de singularidad aislada es \( 0 \), sin desarrollar \( \displaystyle\frac{tan(z)}{z} \) en serie de Laurent?



Gracias

Ah, perdona es para \[ z=\dfrac{\pi}{2} \]

Spoiler

También puedes usar que:

\[ tan(z)=z+\dfrac{1}{3}z^3+\dfrac{2}{15}z^5+\dots \]

Y al dividir esta serie entre z obtienes la serie de Laurent de la expresión requerida.

[cerrar]

Saludos

[Albersan]

Gracias ingmarov,

Sí, para    \( \displaystyle\frac{tan(z)}{z}=1+\displaystyle\frac{1}{3}z^2+\displaystyle\frac{2}{15}z^4+....... \), se puede visualizar que en \( z=0 \) existe una singularidad removible, ya que su serie de Laurent (en \( z=0 \)) no tiene parte principal. Pero para el cálculo de residuos, necesito identificar los polos de la función.
¿Existe alguna forma de concluir que \( z=0 \) es una singularidad removible (y no un polo), si no se dispone de la serie de \( \displaystyle\frac{tan(z)}{z} \)?


Gracias

[Masacroso]

¿Existe alguna forma de concluir que \( z=0 \) es una singularidad removible (y no un polo), si no se dispone de la serie de \( \displaystyle\frac{tan(z)}{z} \)?

Observa que \( \tan z=\frac{\operatorname{sen}z}{\cos z} \), por tanto \( z_0\in \mathbb{C} \) es un polo de \( \frac{\tan z}{z} \) si y solo si es un polo de \( \frac{\operatorname{sen}z}{z\cos z} \), si y solo si es un polo de \( \frac1{z\cos z} \) distinto del caso \( z=0 \), si y solo si es un cero de \( z\cos z \) distinto del caso \( z=0 \), si y solo si es un cero de \( \cos z \).

¿Por qué pongo eso del caso \( z=0 \)? Porque el único punto tal que \( z\cos z=\operatorname{sen}z=0 \) es cuando \( z=0 \), por eso los polos de \( \frac{\tan z}{z} \) se corresponden con los ceros de \( z\cos z \), exceptuando el punto \( z=0 \), es decir, con los ceros de \( \cos z \).

Otra forma quizá más rápida de ver todo esto es observar que \( \frac{\tan z}{z}=\frac{\operatorname{sen}z}{z}\cdot \frac1{\cos z} \) y notar que \( \frac{\operatorname{sen}z}{z} \) es una función holomorfa en \( \mathbb{C}\setminus \{0\} \), y que el único polo o singularidad que pudiese tener es cuando \( z=0 \), pero en tal caso nos encontramos con que tal singularidad es evitable. Por tanto los únicos polos de \( \frac{\tan z}{z} \) sólo pueden provenir del factor \( \frac1{\cos z} \).

[Albersan]

Muchas gracias Masacroso,

Está todo más claro.

Gracias.